陳登國，高召寧，趙光明，李順順，趙呈星

(1.安徽理工大學 深部煤礦采動響應與災害防控國家重點實驗室,安徽 淮南 232001;2.安徽理工大學 煤礦安全高效開采省部共建教育部重點實驗室,安徽 淮南 232001)

當巷道開挖后，圍巖初始應力平衡狀態(tài)發(fā)生破壞，在巷道圍巖應力重新分布作用下，靠近巷道表面圍巖開始進入塑性破壞狀態(tài)，巷道圍巖表面位移也將增大。如果不及時采取有效的支護措施，巷道將會發(fā)生變形失穩(wěn)[1-4]。國內外眾多學者對巷道圍巖應力分布進行了相關研究，文獻[5]把巷道圍巖劃分為彈性區(qū)及塑性區(qū)，運用R.Fenner公式對巷道圍巖應力分布進行求解，之后KASTNER H對R.Fenner公式作了重要修正。文獻[6-8]考慮圍巖軟化、擴容特性得到了圍巖彈性塑性解并對巷道圍巖的穩(wěn)定性進行了分析。而錨桿作為煤礦巷道支護中一種重要的支護結構，眾多學者也對在錨桿支護下的巷道圍巖穩(wěn)定性控制做出了許多的研究分析，并取得大量研究成果。文獻[9-10]采用現(xiàn)場工程實驗、微觀結構識別等研究手段得出支護體與圍巖在力學特性上的不耦合是造成巷道失穩(wěn)的主要原因;文獻[11-12]通過數(shù)值模擬試驗建立了考慮初期支護安全性的圍巖穩(wěn)定評價新方法；文獻[13]通過數(shù)值模擬來驗證提高錨桿預緊力對巷道圍巖穩(wěn)定性的作用機理;文獻[14]由錨桿與圍巖之間的力學效應，采用均勻化方法推導了錨桿支護作用下圓形巷道復合巖體圍巖應力分布解析式，并分析了圍巖與錨桿的耦合關系;文獻[15]通過圍巖穩(wěn)定性評價方法建立了深部圍巖與加固體力學分析模型，將錨桿與錨固范圍內的圍巖形成的復合體等效為共同支護體;文獻[16]通過對圍巖彈塑性介質中全長錨固錨桿的錨固界面應力分布和變化特征進行分析，揭示了巷道開挖初期支護結構的力學效應對巷道圍巖穩(wěn)定性的影響;文獻[17]對預應力錨桿支護機理進行分析，提出通過對錨桿施加高預緊力的方法，提高圍巖自身強度，使錨桿與圍巖形成自承載結構來維持巷道的穩(wěn)定性；文獻[18]提出了“錨固復合承載體”概念，并推導出錨固復合承載體強度的計算方法。

綜上所述，對于現(xiàn)有錨桿與圍巖耦合作用的分析通常是將錨桿支護阻力均勻作用于巷道表面，但對于巷道深部圍巖來講，錨桿與巷道深部圍巖相互耦合作用會形成承載體，錨桿與錨固范圍內的圍巖共同維持巷道穩(wěn)定。為此，筆者在已有研究成果的基礎上，基于Mohr-Coulomb準則，在圍巖處于極限平衡狀態(tài)條件下，結合兩線段力學模型，研究錨桿支護巷道的力學特性。通過考慮錨桿施加的預緊力結合平衡微分方程計算出錨固承載層范圍內的切向應力，并根據(jù)靜力平衡方程得出圍巖在錨固承載層范圍內等效支護力的表達式。在該基礎上建立了錨桿支護作用下圓形巷道塑性區(qū)半徑及巷道圍巖位移解析解，并對錨桿支護前后圓形巷道的塑性區(qū)半徑和圍巖位移進行了比較，在考慮錨固承載層的條件下分析了錨桿長度、預緊力，間排距對巷道圍巖穩(wěn)定性的影響。

1 巷道圍巖力學模型

1.1 巷道圍巖受力模型

為便于分析，現(xiàn)假設巷道處于原巖應力為p0的均勻應力場下，巷道圍巖為均質各向同性的連續(xù)介質，巷道半徑為r0，巷道塑性區(qū)半徑為rp。為分析巷道圍巖應力分布及力學特征，巷道圍巖應滿足以下力學假定[19]:

Mohr-Coulomb屈服準則:

(1)

軸對稱條件下的平衡微分方程:

(2)

式中，σθ為圍巖的切向應力，MPa;σr為圍巖的徑向應力，MPa;φ為圍巖的內摩擦角，(°);r為距巷道中心的距離，m;c為圍巖的黏聚力，MPa。

幾何方程:

(3)

平面應變問題的本構方程:

(4)

式中，εθ為圍巖的切向應變;εr為圍巖的徑向應變;E為圍巖的彈性模量，GPa;ν為泊松比。

對于彈性區(qū)(r=rp)圍巖的應力

(5)

對于修正的Fenner解在彈塑性交界面(r=rp)時塑性區(qū)應力為

(6)

根據(jù)Fenner解的結果:

(7)

巷道開挖后，圍巖位移可以表示為

(8)

當r=r0時，巷道壁的位移為

(9)

式中，rp為塑性區(qū)的半徑，m;G為圍巖的剪切模量，GPa;u0(r)為巷道圍巖表面位移，mm。

1.2 錨固承載層等效強度參數(shù)

為了控制巷道圍巖穩(wěn)定性，常采用錨桿對巷道進行支護。錨桿支護后，錨桿自身不僅能夠有效的提高巷道圍巖的穩(wěn)定性，而且由于錨桿與巷道圍巖的耦合作用，巷道圍巖的自承能力能夠得到充分發(fā)揮。巷道在錨桿支護下的力學模型如圖1所示。圖中,lθ為錨桿環(huán)向間距;lr為巷道軸向錨桿排距;rm為錨桿橫截面半徑。本文將錨桿與圍巖耦合作用形成的錨固承載層看成均勻的復合巖體，并將黏聚力、內摩擦角、彈性模量作為基本隨機變量，由于錨桿與圍巖耦合作用下，錨固承載層范圍內黏聚力、內摩擦角、彈性模量都將增大，通過參數(shù)等效公式并引入錨桿密度因子便可計算得到等效后的復合巖體材料參數(shù)[20-21]。

圖1 錨桿支護示意Fig.1 Bolt support schematic diagram

錨固承載層的彈性模量是由巖石的彈性模量和錨桿的彈性模量共同影響的，結合圖1(c)，(d)，根據(jù)截面積所占比重可以得到錨固承載層范圍內的彈性模量:

(10)

即

(11)

式中,E*為錨固承載層等效彈性模量;Eb為錨桿彈性模量。

(12)

式中，f為屈服軌跡梯度;f*為錨固承載層作用下的屈服軌跡梯度;φ*為錨固承載層范圍內的黏聚力，MPa。

圖2 主應力坐標系中的屈服軌跡Fig.2 Yield locus in principal stress space

影響錨固承載層的強度主要包括錨桿及圍巖參數(shù)等，其中錨桿參數(shù)包括錨桿間排距、錨桿長度L、錨桿橫截面半徑等參數(shù)，圍巖參數(shù)包括黏聚力，內摩擦角，彈性模量等，這些參數(shù)共同影響錨固承載層的強度。考慮錨桿間排距對結構體強度的影響，定義錨桿密度因子α[20]為

(13)

式中，μ為錨桿和巖石之間的摩阻系數(shù)，與錨桿表面的粗糙程度有關，使用非螺紋錨桿時，取tan(φ/2)，使用螺紋錨桿時，取tanφ。

根據(jù)錨桿密度因子的定義，得出巷道支護前后屈服軌跡的關系為

f*=(1+α)f

(14)

屈服軌跡在主應力軸上的單軸抗壓強度σc為

(15)

屈服軌跡截距在巷道支護前后的關系[23]表達式為

(16)

結合主應力坐標系中的屈服軌跡(圖2)并借助反三角公式得到錨桿支護后錨固承載層的等效摩擦角φ*和等效黏聚力c*分別為

(17)

2 錨固承載層等效力學分析

2.1 錨固承載層等效支護力

相關研究表明[24]，在靜水壓力狀態(tài)下的水平圓形巷道，當巷道埋深大于或等于20倍巷道半徑，此時可忽略巷道影響范圍內巖石的重力。當巷道開挖后圍巖會發(fā)生一定的變形，通常采用錨桿支護提高圍巖穩(wěn)定性。在對巷道圍巖進行有規(guī)律的錨桿群布置時，通過對圍巖的擠壓和黏結作用，巷道圍巖與錨桿會形成一個承載環(huán)。在巷道中的錨桿群布置支護作用下，相鄰錨桿之間會形成一個六邊形的壓密區(qū)，由于錨桿之間形成的壓密區(qū)相互連接，會形成一個連續(xù)、穩(wěn)定的均勻壓縮帶[18]。壓縮帶附近的巖體在錨桿支護與預應力作用下處于三向受壓狀態(tài)，圍巖強度得到較大提升，從而形成能承受一定荷載的穩(wěn)定結構，即錨固承載層。錨固承載層受力示意圖及其力學模型分別如圖3，4所示，其中，pi為圍巖均布力下的初始支護力，MPa;r1為圍巖彈性區(qū)到巷道中心的距離，m。

圖3 錨固承載層受力Fig.3 Force diagram of anchorage bearing layer

圖4 錨固承載層力學模型Fig.4 Mechanical model of anchorage bearing layer

(18)

假設錨固承載層在外載荷作用下處于極限平衡狀態(tài)，根據(jù)Mohr-Coulomb準則并結合錨固承載層沿巷道表面垂直方向上的靜力平衡方程，可推導出錨固承載層外邊界所能提供的支護強度[13]，即錨固承載層等效支護力pib的計算公式:

(19)

(20)

半橫截面錨桿的根數(shù)N為

(21)

錨桿支護強度計算公式:

(22)

式中，Q0為錨桿的預緊力，kN。

2.2 錨固承載層的體積力模型及應力分析

本文假設錨桿完全處于巷道圍巖塑性區(qū)，將對全長錨固錨桿施加的預緊力看成容重f(r)，并假定其在圍巖中均勻分布，全長錨固錨桿在巷道斷面上呈軸對稱分布，塑性區(qū)范圍內錨桿受力示意圖如圖5所示，其中，Q(r)為錨桿軸向力，kN。

圖5 錨桿受力示意Fig.5 Bolt stress diagram

對全長錨固錨桿施加的預緊力為Q0，取錨桿上一微段的厚度dr的單元體，假設錨桿與圍巖之間是一個整體且沒有產(chǎn)生相對滑移，錨桿預緊力Q0沿錨桿長度方向呈線性分布，根據(jù)錨桿微單元體的力學[25]平衡條件可得

(23)

式中，Q0(r)為預緊力Q0引起的錨桿軸力，kN。

此微段的容重dFV為

(24)

則在施加預緊力條件下全長錨固錨桿徑向容重可表示為

(25)

錨固區(qū)范圍內圍巖應滿足:

(26)

由Mohr-Coulomb屈服準則，在極坐標中錨固承載層的切向應力σθ滿足:

(27)

聯(lián)立式(26)可知

(28)

式(28)為一階線性微分方程，由非齊次線性方程的解可得

(29)

結合邊界條件在r=r0時，σr=pi，可得錨固區(qū)的應力

(30)

可以求得

(31)

由式(19)可得

(32)

3 等效巷道力學參數(shù)

錨桿和圍巖耦合作用下形成的錨固承載層實質上是支撐巷道深處圍巖的承載結構，因此可將圓形巷道內的支護阻力pi轉化為等效支護力pib，同時巷道半徑也由r0轉化為r0+b:

(33)

式中，rpib為錨固承載層作用下的塑性區(qū)半徑，m。

(34)

當r=r0時，巷道圍巖表面位移為

(35)

巷道圍巖塑性區(qū)應力分布可表示為

(36)

4 算例分析

為了進一步研究錨固承載層對巷道圍巖穩(wěn)定性分析的影響，現(xiàn)進行算例分析。假設某圓形巷道埋深532 m，巷道半徑r0=3 m，原巖應力p0=12 MPa，彈性模量E=2.6 GPa，泊松比ν=0.3，巷道圍巖黏聚力c=0.6 MPa，內摩擦角φ=35°;錨桿直徑=32 mm，錨桿長度L=2.2 m，圍巖與錨桿間的摩阻系數(shù)μ=0.7，lr=800 mm;lθ=800 mm，錨桿預緊力Q0=75 kN，由上述參數(shù)代入式(20)可得錨固承載層厚度b約為1.5 m，將上述參數(shù)代入式(17)可得錨桿與圍巖共同作用下的相關參數(shù)見表1，由式(22)可計算出初始支護阻力pi為0.118 MPa。由式(32)可得等效均布力形式下的等效支護力pib。

表1 圍巖物理參數(shù)
Table 1 Physical parameters of surrounding rock

圍巖參數(shù)數(shù)值錨固承載層參數(shù)數(shù)值E/GPa2.6E*/GPa2.76c/MPa0.6c*/MPa0.631φ/(°)35φ*/(°)37.5

4.1 錨固參數(shù)與錨固承載層厚度的關系

為了分析錨桿預緊力對錨固承載層厚度及等效支護力的影響，現(xiàn)設置錨桿預緊力Q0分別為50，75，100 kN，并結合以上參數(shù)代入式(19)可得到不同錨桿預緊力與錨固承載層厚度，等效支護力的關系曲線，如圖6(a)所示。由圖6(a)可知，在同一錨桿長度和間排距下，當預緊力不同時，隨著預緊力的不斷增大，所對應的等效支護力明顯增加。

為研究錨桿間排距對錨固承載層厚度及等效支護力的影響，現(xiàn)設置錨桿間排距分別為600 mm×600 mm，800 mm×800 mm,1 000 mm×1 000 mm，并結合表1參數(shù)代入式(19)得到錨桿間排距與錨固承載層厚度、等效支護力的關系曲線，如圖6(b)所示。由圖6(b)可知，錨桿間排距也對等效支護力有著明顯的影響，隨著錨桿間排距的減小，相同的錨固承載層所對應的等效支護力增大。為了分析錨桿長度對錨固承載層厚度及等效支護力的影響，現(xiàn)設置錨桿長度L分別為1 800，2 200，2 600 mm，結合表1參數(shù)代入式(19)，得到錨桿長度與錨固承載層厚度、等效支護力的關系曲線，如圖6(c)所示。由圖6(c)可知，錨桿長度直接影響錨固承載層的厚度，錨桿越長，錨固承載層厚度越大，所對應的等效支護力越大，但錨桿長度相較于預緊力以及錨桿間排距對錨固承載層厚度影響較小。由此可知錨桿的預緊力、間排距和長度對圍巖穩(wěn)定性有一定影響，可根據(jù)工程實際情況來確定錨桿參數(shù)，達到最佳支護效果。

4.2 等效支護力對巷道圍巖穩(wěn)定性的影響

為研究Fenner解與本文解下等效支護力對巷道圍巖表面位移的影響，將上述參數(shù)代入式(32)，(35)可得圍巖表面位移與等效支護力的關系曲線，如圖7所示。當考慮全長錨固錨桿和圍巖耦合作用下形成的錨固承載層時，錨固承載層厚度范圍內的等效摩擦角φ*、黏聚力c*以及彈性模量E*相比原參數(shù)都會增大，錨固承載層范圍內巖體強度明顯提高。

由圖7可知，等效支護力pib與巷道圍巖位移呈負相關，本文解的整體位移量比Fenner解的整體位移量明顯減小，從圖7中計算可得本文解的巷道表面位移相比于Fenner解下的巷道表面位移減少了39.81%～49.08%，因此在實際錨固支護設計時應當考慮錨固承載層的力學特性，充分發(fā)揮錨桿和圍巖的耦合作用，提高巷道圍巖的承載能力，對巷道的穩(wěn)定性更加有利。

結合式(33)可得塑性區(qū)半徑與等效支護力pib的關系曲線，如圖8所示。由圖8可知，等效支護力pib與塑性區(qū)半徑關系呈負相關性。在Fenner解下的應力解與本文考慮錨固承載層的應力解相比，由于忽略錨桿和圍巖共同作用下形成的錨固承載層，二者塑性區(qū)范圍的偏差較大。隨著等效支護力pib的增加，二者的巷道圍巖的塑性區(qū)范圍都在減小，本文解的塑性區(qū)半徑相比于Fenner解下的塑性區(qū)半徑減少了17.71%～20.51%。可以看出錨桿與圍巖耦合作用下形成的錨固承載層對于塑性區(qū)范圍的發(fā)育有一定抑制和約束，因此錨固承載層對維護巷道圍巖穩(wěn)定有重要作用。

根據(jù)式(5)，(36)可得巷道圍巖應力分布曲線圖，如圖9所示。由圖9可知:本文解相對于Fenner解巷道圍巖的切向應力明顯提高，且應力峰值位置向巷道壁發(fā)生轉移，塑性區(qū)范圍減小，應力峰值點略有升高。由于錨固承載層的存在，巷道淺部圍巖的力學強度明顯增強，應力傳遞受到抑制，在塑性區(qū)附近發(fā)生應力集中。

圖9 巷道圍巖應力分布曲線Fig.9 Stress distribution curve of surrounding rock of tunnel

在巷道圍巖彈性區(qū)內本文解相對于Fenner解的切向應力明顯降低，而徑向應力始終比Fenner解的徑向應力高，隨著距巷道距離的增大，逐漸趨于原巖應力。從分析中可知錨固承載層的存在提高了巷道圍巖的承載能力，巷道穩(wěn)定性得到提高。

4.3 錨桿參數(shù)對巷道圍巖穩(wěn)定性的影響

為分析錨桿預緊力對巷道圍巖位移以及應力的影響，并結合以上參數(shù)且錨桿間排距和長度取定值代入式(5)，(34)，(36)得到錨桿預緊力與巷道圍巖位移以及應力關系曲線，如圖10所示。由圖10可知，隨著全長錨固錨桿預緊力的增大，巷道圍巖穩(wěn)定性有著明顯提高，同時巷道圍巖變形減小，在塑性區(qū)內全長錨固錨桿預緊力越大，巷道圍巖切向應力明顯提高，且應力峰值位置向巷道表面轉移，巷道周邊圍巖的切向應力略有增加。

圖10 錨桿預緊力對巷道圍巖變形和應力的影響Fig.10 Influence of bolt preload on surrounding rock deformation and stress of roadway

為分析錨桿間排距對巷道圍巖位移以及應力的影響，并結合以上參數(shù)且錨桿預緊力和長度取定值，代入式(5)，(34)和(36)，得到錨桿間排距與巷道圍巖位移以及應力關系曲線，如圖11所示。從圖11中曲線可以看出，增大錨桿間排距對巷道圍巖的穩(wěn)定性是不利的，距巷道壁相同的距離位移量明顯增大，巷道圍巖變形明顯。從圖11中可以看出，在塑性區(qū)全長錨固錨桿間排距越小，圍巖中切向應力明顯提高，應力峰值隨著錨桿間排距的減小略有升高，而且向巷道表面轉移，巷道周邊圍巖的切向應力增大。

圖11 錨桿間排距對巷道圍巖變形和應力的影響Fig.11 Influence of bolt preload on surrounding rock deformation and stress of roadway

為分析錨桿長度對巷道圍巖位移以及應力的影響，并結合以上參數(shù)且錨桿預緊力和間排距取定值，代入式(5)，(34)和(36)，得到錨桿長度與巷道圍巖位移以及應力關系曲線，如圖12所示。圖12為錨桿長度對巷道圍巖變形和應力的影響曲線，由圖12可以分析得出，隨著錨桿長度的增大，巷道變形明顯減小，增大錨桿長度能夠提高巷道圍巖的穩(wěn)定性。由圖12可以看出，在塑性區(qū)范圍內錨桿長度越大，圍巖中切向應力明顯提高，應力峰值隨著錨桿長度減小略有升高，而且向巷道表面發(fā)生轉移，在巷道周邊圍巖的切向應力增加。

圖12 錨桿長度對巷道圍巖變形和應力的影響Fig.12 Influence of bolt length on surrounding rock deformation and stress of roadway

從上述分析可知，錨桿支護對巷道圍巖起到了一定加固作用，對圍巖進行支護后，改善了圍巖的力學性能。而錨桿長度、預緊力、間排距對巷道圍巖變形、圍巖應力有著重要影響，合理的參數(shù)可使得圍巖整體強度得以提高，抵抗變形破壞的能力明顯增強。

5 巷道圍巖錨固承載結構數(shù)值分析

為了研究錨固承載層對巷道圍巖穩(wěn)定性的影響，同時驗證理論分析的合理性，本文采用FLAC3D對巷道圍巖承載結構特征及支護作用進行數(shù)值模擬研究，邊界條件設置上表面為自由表面，其余邊界采用法向固定約束。模型尺寸沿X，Y，Z方向為50 m×30 m×50 m，其中X為巷道斷面內的水平方向，Y為水平方向，Z為垂直方向，建立如圖13所示的數(shù)值計算模型。根據(jù)錨桿間排距確定每個錨桿所作用的范圍，如圖1(d)所示。將錨桿施加的預緊力根據(jù)式(22)，(32)計算每根錨桿的均布力形式下的等效支護力。在不考慮錨桿單元數(shù)值模擬計算的工況下，以相同的開挖步序模擬巷道開挖，同時在開挖面上施加錨桿等效均布力，結合錨固力學效應下形成的圍巖錨固承載層范圍內的參數(shù)變化，對錨固承載層結構用柱形殼體網(wǎng)格(cshell)建立模型，并分組，結合表1中的巖體參數(shù)進行賦參，計算至收斂即可獲取當前開挖工況下的圍巖力學狀態(tài)。

圖13 數(shù)值計算模型Fig.13 Numerical calculation model

5.1 巷道圍巖塑性區(qū)數(shù)值模擬

從數(shù)值模擬的結果(圖14)可知Fenner解下模擬的塑性區(qū)在5.8～6.2 m，由理論計算結果可知rp=5.98 m，可以看出數(shù)值模擬結果與理論結果基本一致。對于本文考慮錨固承載層作用下的塑形區(qū)范圍，數(shù)值模擬結果的范圍在4.78～4.91 m，由式(33)計算可知rp=5.08 m，與數(shù)值模擬結果相近。

圖14 塑性區(qū)分布Fig.14 Plastic partition layout

對于本文解在考慮錨固承載層作用時，塑性區(qū)范圍明顯減小，減小了約15.1%。錨固承載層的存在對巷道塑性區(qū)范圍的發(fā)育具有明顯抑制作用，巷道圍巖強度增強，有利于巷道的維護。

圖15 最大主應力云圖Fig.15 Cloud diagram of maximum principal stress

5.2 錨固承載層應力結構分析

由圖15可知巷道圍巖在開挖后切向應力出現(xiàn)了局部集中且應力值較大。對于Fenner解下的切向應力，在巷道周圍出現(xiàn)應力集中區(qū)域，其大小約為原巖應力的1.5倍。對于本文解下的切向應力相比Fenner解下的應力略有升高，約為原巖應力的1.67倍，且本文解比Fenner解的切向應力影響范圍明顯縮小，最大主應力主要出現(xiàn)在錨固承載層附近。錨固承載層作為圍巖穩(wěn)定的主要承載體，能夠抑制圍巖的變形，巷道表面一定范圍內切向應力增大。結合理論分析可知，無論是Fenner解還是本文解都與圖9中的切向應力以及最大應力出現(xiàn)的范圍基本一致，理論分析和數(shù)值模擬的結果相近。

6 結 論

(1)基于Mohr-Coulomb準則下兩線段力學模型的修正Fenner解，結合考慮錨桿預緊力下的體積力和平衡方程，求出錨固承載層的切向應力，由錨固承載層沿巷道表面垂直方向上的靜力平衡方程，推導出錨固承載層內邊界所能提供的等效支護力，進一步計算出錨固承載層下的塑性區(qū)半徑和位移的解析解。

(2)對于錨桿支護時，在錨固承載層作用下的本文解與修正的Fenner解對比分析可知，錨固承載層的存在對巷道塑性區(qū)范圍和巷道表面位移有著較好的抑制作用，對巷道圍巖的穩(wěn)定性更加有利，結合FLAC3D數(shù)值模擬，對理論分析的結果加以驗證，得出與理論分析基本一致的結果，因此在實際錨固支護設計中應當考慮錨固承載層的存在。

(3)分析了錨桿長度、間排距、預緊力三者對等效支護力和錨固承載層厚度的影響。從文中分析可知，錨桿支護參數(shù)對改善錨固承載層力學強度起到關鍵作用，分析結果表明:錨桿長度越長、間排距越小，預緊力越大，能夠增大等效支護力，減小巷道表面位移，巷道圍巖穩(wěn)定性得以提高，但錨桿長度相較于預緊力以及錨桿間排距對錨固承載層厚度影響較小。