孫雨含，甘顯豐，李 安

（1.華北理工大學(xué)冶金與能源學(xué)院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學(xué)生命科學(xué)院，河北 唐山 063210；3.華北理工大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，河北 唐山 063210；4.華北理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063210）

二氧化硅具有穩(wěn)定的物理、化學(xué)特性。熔、沸點(diǎn)較高，一般不和酸反應(yīng)。和熱的濃強(qiáng)堿溶液或熔化的堿反應(yīng)生成硅酸鹽和水，跟多種金屬氧化物在高溫下反應(yīng)生成硅酸鹽。不管是從物理性質(zhì)還是化學(xué)性質(zhì)來說，二氧化硅都是一種很好的非金屬材料，研究其熔化規(guī)律[1]很有必要。但由于高溫熔化池的溫度超過1500℃，若以直接接觸的方式對(duì)高溫熔化池內(nèi)二氧化硅進(jìn)行溫度測(cè)定，會(huì)導(dǎo)致儀器壽命變短。因此，相關(guān)研究小組使用一種具有放大效果的裂片CCD視頻拍攝系統(tǒng)，對(duì)二氧化硅在時(shí)間序列中的定值率進(jìn)行了分析，實(shí)現(xiàn)了對(duì)二氧化硅受熱熔化過程的追蹤。為了充分了解二氧化硅的熔化行為，實(shí)驗(yàn)給出純二氧化硅顆粒和直徑為8mm的剛玉坩堝，并研究在8mm的剛玉材料的坩堝中，二氧化硅受熱熔融。由于二氧化硅顆粒形狀不規(guī)則，受熱面積不均勻而導(dǎo)致其在熔煉過程中的位置不斷變化。因此，我們可以根據(jù)二氧化硅在熔化過程中的質(zhì)心變化位置建立模型來分析二氧化硅熔融行為。

1 質(zhì)心的確定

質(zhì)量中心簡(jiǎn)稱質(zhì)心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認(rèn)為質(zhì)量集中于此的一個(gè)假想點(diǎn)。在一個(gè)N維空間中的質(zhì)量中心，我們查閱資料可知。再將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，以導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的方法，得到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，即將代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理中[2]，得到。

繼而我們對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以得到系統(tǒng)每一項(xiàng)為各部分所受到的力。由于內(nèi)力都是成對(duì)出現(xiàn)且大小相等方向相反，所以，當(dāng)內(nèi)部某一點(diǎn)的內(nèi)力為零時(shí)，即可推出質(zhì)心的位置。

2 質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡

在這里，我們不考慮二氧化硅顆粒運(yùn)動(dòng)時(shí)，與坩堝產(chǎn)生的靜摩擦力、粘性力，以及剛玉坩堝加熱二氧化硅時(shí)，對(duì)二氧化硅的加熱溫度不變。所以在高溫熔融狀態(tài)下[3]，不規(guī)則的二氧化硅顆粒由于形狀不同，導(dǎo)致各個(gè)地方受熱不均，使得二氧化硅受到不同方向的力導(dǎo)致二氧化硅發(fā)生位移。我們采用具有放大效果的裂片CCD視頻拍攝系統(tǒng)來拍攝二氧化硅熔化過程的位置分布，每隔一秒拍攝一張，完全熔化共需114s。我們利用MATLAB的圖像重疊函數(shù)，將114張照片疊加在一起，觀察二氧化硅的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。我們把114張照片中的所有質(zhì)心用點(diǎn)標(biāo)出，并且畫出質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡。以剛玉坩堝的邊緣作為橫縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系和網(wǎng)格線，并把質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡用坐標(biāo)表示，如圖1所示。

圖1 質(zhì)點(diǎn)位置示意圖

3 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型的建立與求解

觀察質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，我們可以得出質(zhì)心位置隨時(shí)間的變化不是一個(gè)線性的關(guān)系。為了形象的表示出質(zhì)心大多數(shù)的運(yùn)動(dòng)軌跡，我們了利用SPSS軟件進(jìn)行回歸分析[4，5]，綜合多種函數(shù)進(jìn)行擬合分析，可以得到擬合曲線圖，如圖2所示。

首先，根據(jù)時(shí)間的順序我們可以觀察到，在0到60秒的時(shí)間內(nèi)，利用一次函數(shù)擬合比較符合質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡，方程為y=0.316x+3.695。

圖2 質(zhì)心擬合示意圖

其次，在61秒到100秒時(shí)間內(nèi)，利用二次函數(shù)擬合比較符合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律。得到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程y’=-0.069x2+1.122x+2.196。

最后，在101到114秒的時(shí)間內(nèi)，由于二氧化硅熔融態(tài)過多，固態(tài)比較少，質(zhì)量較輕，導(dǎo)致移動(dòng)速度過快，運(yùn)動(dòng)軌跡的范圍變大，運(yùn)動(dòng)更加劇烈。因此，后段時(shí)間，我們重新進(jìn)行回歸分析，擬合計(jì)算，多種擬合函數(shù)相比較，可以得出一次函數(shù)的擬合度相對(duì)較高。最后得到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為y”=-2.097x+24.645。

4 結(jié)論

我們建立的質(zhì)點(diǎn)迭變模型是基于大學(xué)物理中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與軌跡方程的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新的利用SPSS回歸分析函數(shù)進(jìn)行迭變擬合。綜合冪函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、增長(zhǎng)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等進(jìn)行擬合，得到不同相關(guān)性的擬合曲線。并且，建立平面直角坐標(biāo)系，以公式的形式表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。三個(gè)熔化階段的方程分別為y=0.316x+3.695、y’=-0.069x2+1.122x+2.196、y”=-2.097x+24.645。