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半?yún)?shù)模型在開采沉陷預(yù)計中的應(yīng)用

2020-04-17 11:50:34朱玉明馬衛(wèi)驕高秀明劉忠偉
金屬礦山 2020年3期
關(guān)鍵詞:正則灰色矩陣

成 樞 朱玉明 馬衛(wèi)驕 高秀明 劉忠偉

(1.山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266590;2.山東省核工業(yè)二四八地質(zhì)大隊,山東青島266041;3.山東泰豐控股集團有限公司王家寨煤礦,山東泰安271204)

由于參數(shù)模型具有很強的假設(shè)性,需要滿足一些假設(shè)條件,比如:觀測誤差中只有偶然誤差,平差模型線性化后的微小量可忽略不計等。所以,當(dāng)參數(shù)假定與實際偏差較大時,平差模型的參數(shù)估值精度降低。由于參數(shù)模型的局限性,相關(guān)學(xué)者引入非參數(shù)模型理論。非參數(shù)模型取消了變量之間在函數(shù)關(guān)系形式上的假設(shè),其函數(shù)模型表示任意的函數(shù)關(guān)系,因此放寬了函數(shù)形式的限制[1-3],但是非參數(shù)模型的模型解釋能力較低且觀測數(shù)據(jù)的維度受到限制。因此,針對參數(shù)模型與非參數(shù)模型各自的局限性,相關(guān)學(xué)者將二者結(jié)合到一起構(gòu)建了半?yún)?shù)模型。

在20世紀80年代,Engle等針對氣候條件改變對電力需求變化的影響提出了半?yún)?shù)模型[4-6]。半?yún)?shù)模型作為一種重要的統(tǒng)計模型,數(shù)學(xué)模型中包含參數(shù)部分與非參數(shù)部分,克服了單一的參數(shù)模型與非參數(shù)模型的不足[7]。當(dāng)觀測值中存在無法忽略的模型誤差時,半?yún)?shù)模型在數(shù)學(xué)模型方面相對于參數(shù)模型更符合客觀實際;在數(shù)值求解方面可以分別求解參數(shù)向量、非參數(shù)向量和偶然誤差,因此被廣泛應(yīng)用于測量數(shù)據(jù)處理中。

本研究采用礦區(qū)地表沉降實測數(shù)據(jù)建立半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型,考慮到模型誤差問題,灰色Verhulst 模型的時間響應(yīng)序列的系數(shù)求取可以采用半?yún)?shù)模型,根據(jù)半?yún)?shù)模型估值準則設(shè)計不同計算方案構(gòu)建半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型,求解時間響應(yīng)序列中的參數(shù),并進行沉降預(yù)計結(jié)果對比和精度分析。

1 半?yún)?shù)灰色Verhulst模型

1.1 半?yún)?shù)模型

通常影響觀測值的因素有很多,然而經(jīng)典平差模型不考慮系統(tǒng)誤差與粗差的影響。當(dāng)模型誤差無法忽略且其性態(tài)十分復(fù)雜時,可以在函數(shù)模型中加入一個待定量,用來描述觀測量與影響因素之間函數(shù)關(guān)系不明確的部分,這種平差模型即為半?yún)?shù)模型[4,7]。

半?yún)?shù)模型的函數(shù)模型和隨機模型分別為

式中,L 為n 維觀測向量;X 為t 維參數(shù)向量;B 為列滿秩設(shè)計矩陣;S 為n 維非參數(shù)向量;Δ 為n 維誤差向量;為方差因子;P為Δ的權(quán)矩陣。

半?yún)?shù)模型在函數(shù)模型表達式中添加了非參數(shù)部分,相對于參數(shù)模型而言,在模型誤差無法忽略時,半?yún)?shù)模型具有更大的優(yōu)越性:在模型建立方面,數(shù)學(xué)模型與客觀實際更為接近;在數(shù)值解算方面,可求出模型誤差與偶然誤差。

由式(1)可知,半?yún)?shù)模型的誤差方程為

在最小二乘準則VTPV=min 下構(gòu)造條件極值函數(shù)得到的法方程為

由于待定參數(shù)個數(shù)多于誤差方程個數(shù),因此基于最小二乘準則構(gòu)建的半?yún)?shù)模型的法方程唯一解不存在,需要在VTPV=min基礎(chǔ)上附加最優(yōu)化準則,構(gòu)成補償最小二乘法則[8]:

式中,R 為正則矩陣;α 為正則化參數(shù)(或稱為平滑因子),其主要作用是在極小化過程中,在二次型VTPV和起到平衡作用[9-10]。

根據(jù)式(2)和式(4)以及構(gòu)造條件極值的拉格朗日乘數(shù)法,構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)為

式中,λ1為拉格朗日常數(shù)。

由式(6)可得:

結(jié)合式(2)和式(7),可得到基于補償最小二乘估計準則的半?yún)?shù)模型誤差方程的法方程:

由于矩陣R為正定矩陣,因此基于補償最小二乘估計構(gòu)建的法方程是正定可逆矩陣,法方程有唯一解,對式(8)求解可得:

式中,M為光滑矩陣;H為帽子矩陣。

正則矩陣選取根據(jù)實際情況,構(gòu)造方法一般有時間序列法、距離法和樣條函數(shù)法等;正則矩陣選取一般有L曲線法、信噪比值法、效率法等[7,12]。

當(dāng)法方程系數(shù)矩陣接近奇異時,應(yīng)當(dāng)采用半?yún)?shù)嶺估計準則:

式中,k 是在X 與V 的正則化參數(shù),稱為嶺參數(shù),嶺參數(shù)的構(gòu)造方法一般有L曲線法[7,13]、U曲線法[14-15]等,參數(shù)求解方法與式(6)相同,在此不做贅述;Q一般取單位矩陣。

1.2 灰色Verhulst模型

設(shè)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)序列為

通過原始數(shù)據(jù)累加弱化原始數(shù)據(jù)序列的波動性和隨機性,生成1-AGO序列

根據(jù)GM(1,1)模型的建模方法,得到灰色Verhulst模型的一階白化非線性微分模型為

式中,a,b為灰色Verhulst模型待計算參數(shù)。

若按最小二乘法,解得待求參數(shù)估值為

將參數(shù)估值a,b 代入微分方程求解得到灰色Verhulst模型的時間響應(yīng)序列[16]:

最后還原數(shù)列得到模型的預(yù)測值:

從測量平差的角度分析,式(14)求取待求參數(shù)與參數(shù)平差的法方程求解形式相同。在只考慮偶然誤差的情況下,可以采用最小二乘準則求解灰色Verhulst 模型一階白化非線性微分方程中的參數(shù)最優(yōu)估值。若模型誤差不可忽略,可考慮采用半?yún)?shù)模型求解一階白化非線性微分方程的參數(shù)估值,進而建立半?yún)?shù)灰色Verhulst模型進行預(yù)計。

1.3 半?yún)?shù)灰色Verhulst模型檢驗

建立半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型時應(yīng)當(dāng)進行模型檢驗,驗證所建立的模型是否符合實際情況。半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型檢驗主要包括采用半?yún)?shù)模型求解一階白化非線性微分方程中參數(shù)估值的假設(shè)檢驗以及灰色模型的精度檢驗。其中,半?yún)?shù)模型檢驗采用線性假設(shè)法[17],灰色模型精度檢驗結(jié)果等級劃分如表1所示[18]。

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2 算例分析

2.1 試驗數(shù)據(jù)

以某礦區(qū)地表沉降監(jiān)測為例,跟據(jù)相關(guān)設(shè)計,礦區(qū)九采區(qū)共有5 個回采工作面,其中,7265 工作面回采走向長度D1=909 m,傾向長度D2=186 m,煤層厚度m=4.15 m,煤層傾角θ=0~12°(平均7°),傾斜面積168 334 m2,工業(yè)儲量106 萬t,工作面標(biāo)高-678~-743 m,地面高程34.1~37.5 m,2017年2月中旬開采,2018 年1 月12 日回采結(jié)束,回采量88.2 萬t,回采率85%。

依據(jù)《測量規(guī)程》和“三下”開采規(guī)范,結(jié)合九采區(qū)的覆巖巖性,選取巖移角值參數(shù)布設(shè)觀測線。

7265 工作面觀測期間,觀測站97 號測點具有最大下沉速度Vmax,最大下沉值達到Wmax=1 241 mm。選取97 號沉降監(jiān)測點的14 期觀測數(shù)據(jù)得到的累計沉降值W(表2)建立預(yù)計模型。以原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)建立預(yù)計模型,并以最后4期數(shù)據(jù)進行預(yù)計值與實際值對比,作為精度檢核依據(jù)。

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2.2 計算結(jié)果對比及分析

若根據(jù)礦區(qū)沉降實測數(shù)據(jù)建立半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型,首先要判定系數(shù)矩陣B 的復(fù)共線性[19-20]。經(jīng)計算,系數(shù)矩陣B 存在較強的復(fù)共線性,因此半?yún)?shù)模型中估值準則只需要考慮半?yún)?shù)嶺估計準則。

基于半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型在無粗差數(shù)據(jù)時設(shè)計了以下3種計算方案:①灰色Verhulst模型;②半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型,其中正則矩陣采用時間序列一階差分法;③半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型,其中正則矩陣采用時間序列二階差分法。正則化參數(shù)按Xu函數(shù)法確定取值α=2.436,嶺參數(shù)按U 曲線法確定取值k=0.334。經(jīng)過不同方案計算,并以最后4 期的實測值作為預(yù)計效果的評價標(biāo)準,得到了不同平差模型的預(yù)計結(jié)果以及殘差值如表3所示。

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由表3可知:通過采用不同半?yún)?shù)回歸模型對97號監(jiān)測點進行累計沉降預(yù)計時,方案1預(yù)計誤差絕對值的最大值為33 mm,方案2 預(yù)計誤差絕對值的最大值為15 mm,方案3 預(yù)計誤差絕對值的最大值為34 mm,3 種方案的均方誤差經(jīng)計算分別為37.68 mm、14.82 mm 和35.92 mm。因此方案2 建立的半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型求取時間響應(yīng)式參數(shù)的精度最高,在3 種方案中的均方誤差最小,相應(yīng)的預(yù)計下沉曲線更加符合實測數(shù)據(jù)的變化趨勢。

由表3 中方案2 和方案3 對比可知:當(dāng)正則矩陣采用時間序列法確定時,方案2得到的預(yù)計結(jié)果優(yōu)于方案3。因此,本次實測數(shù)據(jù)中采用半?yún)?shù)模型的估值準則計算灰色Verhulst 模型一階白化非線性微分方程的待求參數(shù)時,應(yīng)選擇時間序列一階差分法確定的正則矩陣。

在上述分析的基礎(chǔ)上,本研究進一步對實測數(shù)據(jù)進行半?yún)?shù)模型檢驗與灰色模型精度檢驗。由線性假設(shè)法計算可知,統(tǒng)計量F=87.642。由F分布表可知:F >F0.05( 14, 13 )>F0.05( 15, 13 )=2.53,因此非參數(shù)向量S 為非零向量。同時,經(jīng)計算相對誤差q=0.032,方差比C=0.394,小誤差概率P=0.615,對照灰色模型精度檢驗表(表1)可知:灰色模型精度滿足Ⅱ級(優(yōu))標(biāo)準。因此,礦區(qū)地表沉降實測數(shù)據(jù)適用于構(gòu)建半?yún)?shù)灰色Verhulst模型。

3 結(jié) 語

采用礦區(qū)沉降實測數(shù)據(jù)進行了半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型的算法驗證,基于半?yún)?shù)模型理論和礦區(qū)沉降實測數(shù)據(jù)建立了半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型。針對灰色Verhulst 模型的時間響應(yīng)序列的系數(shù)求取問題,根據(jù)正則矩陣、正則化參數(shù)以及嶺參數(shù)的選取方法,設(shè)計了多種方案計算半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型的參數(shù)估值,并進行了沉降預(yù)計結(jié)果對比和精度分析。在上述分析的基礎(chǔ)上,采用模擬數(shù)據(jù)與礦區(qū)沉降實測數(shù)據(jù)進行了模型檢驗。檢驗結(jié)果表明:礦區(qū)沉降實測數(shù)據(jù)適用于半?yún)?shù)灰色Verhulst 模型。實際應(yīng)用中,關(guān)于地表沉陷動態(tài)預(yù)計的時間函數(shù)還有Knothe時間函數(shù)、Logistic 時間函數(shù)等,對于不同地表沉陷動態(tài)預(yù)計的時間函數(shù)可進行進一步討論。

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