王丹

摘要：又是一屆高三復(fù)習(xí)，在一輪快要結(jié)束，模擬考試接踵而至的時候，怎樣用好模擬試題，有針對性的調(diào)整復(fù)習(xí)策略，快速提升復(fù)習(xí)效率是之后的復(fù)習(xí)要想的、要做的。

關(guān)鍵詞：反思復(fù)習(xí)策略函數(shù)的性質(zhì)學(xué)生主體性參與

中圖分類號：G632.479文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2020）04-073-2

7月8號、9號我校高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)文科卷中有這樣一道試題：

問題：對于函數(shù)f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的“不動點”，若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”。函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x︱f（x）=x}，B={x︱f[f（x）]=x}

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=Φ，求證：B=Φ;

（2）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B ，并分析能否根據(jù)中的結(jié)論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉一反例。

一、考后試卷講評

教師：這次考試的第20題得分率“超低”，其它的試題帶有一定的方向性和模式化。打個比方，我們做過的復(fù)習(xí)如同為你準(zhǔn)備了一個工具箱：榔頭，鉗子、螺絲刀、扳手、電筆等等。但是這道題，有同學(xué)翻遍了自己的工具箱，找不到合適的工具去解決?，F(xiàn)在老師將為數(shù)不多的同學(xué)的考試時的解答過程以及試卷提供的答案都寫在黑板上，請同學(xué)們再次反觀此題，“難”在何處？

部分學(xué)生的解答：

學(xué)生1：令f（x）=x，即就是ax2+bx+c=x，A=Φ即就是△=（b-1）2-4ac<0。

再令f[f（x）]=x，即就是a（ax2+bx+c）+b（ax2+bx+c）=x，（應(yīng)該證明此方程無解，可是化簡太繁瑣，不知道下面應(yīng)該怎么做。）

學(xué)生2：同上面，令f（x）=x，即就是ax2+bx+c=x，A=Φ，即就是△=（b-1）2-4ac<0。

令t=ax2+bx+c，于是方程a（ax2+bx+c）+b（ax2+bx+c）+c=x變?yōu)閍t+bt+c=0計算其△=（b-1）2-4ac<0。

學(xué)生3：假設(shè)B≠Φ，則存在x使得方程f[f（x）]=x有解，則與題設(shè)A=Φ矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立，∴B=Φ

學(xué)生4：f[f（x）]=a[f（x）]2+bf（x）+c=x

即a[f（x）]2+bf（x）+c-x=0又∴x=f（x）

∴a[f（x）]2+（b-1）f（x）+c=0其△=（b-1）2-4ac<0

故B=Φ

學(xué)生5：（1）空

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}，根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論知A=B成立。因為若f（x）=x則x=f（x）有代入f[f（x）]=x中，又得f（x）=x，故A=B成立。

學(xué)生6：（1）同上

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能斷定A=B成立，取函數(shù)y=1x，知集合A={x︱f（x）=x}={-1，1}。集合B={x︱f[f（x）]=x}={x︱x=x}={x︱x≠0，x∈R}，故A≠B。

標(biāo)準(zhǔn)答案為：

（1）由A=Φ得方程ax2+bx+c=x無實數(shù)解，則△=（b-1）2-4ac<0。

①當(dāng)a>0時，二次函數(shù)y=f（x）-x，即函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像恒在x軸的上方。

所以對于任意的x∈R，f（x）-x>0恒成立，

即對任意的x∈R，f（x）>x恒成立，

對于實數(shù)f（x），則有f[f（x）]>f（x）成立，

所以對于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ。

②當(dāng)a<0時，同理易得B=Φ。

綜上對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)A=Φ時B=Φ。

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能判斷集合A=B成立，舉例：函數(shù)如表中所給

則集合A≠B

學(xué)生參與講評：

將所有本由教師看到的信息暴露到學(xué)生眼前，很快，得分率非常低，考試后抱怨此題“太難”的孩子發(fā)現(xiàn)了諸多問題：

學(xué)生1：標(biāo)準(zhǔn)答案的證明中方程ax2+bx+c=x無實數(shù)解，則△=（b-1）2-4ac<0好像對于后面證明當(dāng)A=Φ時B=Φ就沒有多大關(guān)系？

學(xué)生2：如果想找到一定的聯(lián)系，應(yīng)該是將函數(shù)看作是二次函數(shù)，以利于討論開口方向。

教師：很好，那如果刪去△=（b-1）2-4ac<0的判定，刪去a>0和a<0的分類呢？

學(xué)生3：

∵A=Φ，所以對于任意的x∈R，f（x）≠x恒成立，

∴對于任意實數(shù)x∈R，f（x）-x>0或f（x）-x<0成立，

若f（x）-x>0成立即對于任意x∈R，f（x）>x成立

則對于實數(shù)f（x），則有f[f（x）]>f（x）成立，

所以對于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ

若f（x）-x<0時，同理易得B=Φ。

綜上對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)A=Φ時B=Φ。

教師：這位同學(xué)說的非常好，再反思題本身，在上面的證明中，去掉函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對于任意函數(shù)f（x），都有若當(dāng)A=Φ時B=Φ。揣測這道題編者的意圖，是“多此一舉”有意讓大家誤入對二次函數(shù)的“歧途”？還是為了降低抽象度，用具體的事例詮釋函數(shù)抽象的性質(zhì)？如果我們必須被引領(lǐng)至對二次方程“根”的判定上，此題又能怎樣解答呢？

很長時間，學(xué)生陷入沉思。

教師：按照得6分的學(xué)生思路，由A=Φ得方程ax2+bx+c=x無實數(shù)解，則△=（b-1）2-4ac<0。

那么方程f[f（x）]=x即a[f（x）]2+bf（x）+c=x，此方程如果考慮到上面ax2+bx+c=x無解，即就是f（x）-x=0無解，能否從中獲取對方程a[f（x）]2+bf（x）+c=x的化簡思路呢？

學(xué)生4：老師，是不是方程中再出現(xiàn)一個f（x）-x的因式？

教師：很好，既然想到了，就試一試。

學(xué)生4：方程a[f（x）]2+bf（x）+c=x

即[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+ac+b+1]=0

方程a2x2+a（b+1）x+ac+b+1=0的△1=a2[（b-1）2-4ac-4]

所以[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+ac+b+1]=0無解，即B=Φ

教師：完美！再看第二問，對于多數(shù)同學(xué)來講，由一次函數(shù)f（x）=3x+4，不難求出其集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。但是全年級能夠大膽猜測集合A與B的關(guān)系的同學(xué)并沒有幾個，現(xiàn)在已經(jīng)不是考試氛圍了，大家能不能大膽猜想一下集合A與B的關(guān)系？

學(xué)生5：從答案中舉例的函數(shù)可以看出A={1}，B={1，2，3}，應(yīng)該AB。

教師：這位同學(xué)歸納的好，還有沒有其他同學(xué)想舉一些其他的例子？

學(xué)生6：我看到老師展示的同學(xué)考卷上所舉的例子：y=1x。我想函數(shù)y=-x是不是也能說明問題？函數(shù)y=-x+1也可以吧？

教師：不愧為文科學(xué)生，有超強的聯(lián)想能力。那能不能說說這一類函數(shù)的特點？

學(xué)生6：都關(guān)于直線y=x對稱。

教師：集合A為函數(shù)f（x）與直線y=x的交點的集合，集合B是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)關(guān)于直線y=x對稱的點的集合。被稱之為不動點和穩(wěn)定點。我們在復(fù)習(xí)研究函數(shù)的性質(zhì)時，并未研究過函數(shù)的這類性質(zhì)，使得大家感到無從下手。那函數(shù)的簡單基本性質(zhì)都有哪些？

學(xué)生齊：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性。

教師：還有嗎？

個別學(xué)生：凹凸性！

教師：很好，具有穩(wěn)定點的函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱，其實也是一種圖像對稱的性質(zhì)。它的反函數(shù)是其本身，其中不動點集合A與穩(wěn)定點B之間的關(guān)系是AB，我的問題又來了，你能夠證明AB嗎？另外，函數(shù)的這些性質(zhì)用文字語言怎么表征？用符號語言怎么表征？用圖形語言怎么表征？都留作課后作業(yè)自己論述完成。

針對此次模擬考試，“反思”不光是針對課堂教學(xué)，高三的整個復(fù)習(xí)其實也就是一個不斷反思的過程，特別是對于一次次鄰近的模擬試題，反思復(fù)習(xí)過程中的漏洞，從而經(jīng)歷知識的有效地重組與整合，加大學(xué)生自我復(fù)習(xí)的完善，使高三復(fù)習(xí)能夠從知識的全面回顧到加深對知識的理解記憶，最后再到解題的高屋建瓴。反思，既能幫助教師更好的提高復(fù)習(xí)效率，也能幫助學(xué)生實實在在提高分?jǐn)?shù)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張大均.教育心理學(xué)[M].人民教育出版社，2004，4.

[2]張奠宙.一份“函數(shù)單元”的文化清單[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007，1.

（作者單位：陜西省西安市第八十九中學(xué)，陜西 西安 710000）