潘金城

(揚(yáng)中市外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 212200)

1 引言

“正切”是初中數(shù)學(xué)課程中的重要概念.蘇科版九年級(jí)(下冊(cè))數(shù)學(xué)教科書(shū)中，首先創(chuàng)設(shè)“底等高不等、高等底不等”三種不同類型的臺(tái)階的情境，判斷哪個(gè)臺(tái)階最陡？然后運(yùn)用相似三角形的知識(shí)證明“如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值也確定”.在此基礎(chǔ)上給出了銳角∠A的正切概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA.

對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，從“線段長(zhǎng)”到“線段比”是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍.研究表明，學(xué)生在正切概念的理解上存在認(rèn)知困難.教科書(shū)上的情境讓學(xué)生直接面對(duì)把“線段比”作為研究對(duì)象，似乎還不符合他們的認(rèn)知基礎(chǔ)，也未必能凸顯引進(jìn)正切概念的必要性.那么，應(yīng)該如何引入正切概念，既符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)？事實(shí)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“正切”概念之前，已經(jīng)研究了直角三角形中兩銳角之間、邊邊之間的關(guān)系，研究邊角關(guān)系成為學(xué)習(xí)新知的必要性.而從歷史上看，早期天文學(xué)家將“影長(zhǎng)”作為正切，17世紀(jì)數(shù)學(xué)家將圓的切線長(zhǎng)定義為正切，在三角形教科書(shū)中，直到19世紀(jì)20年代才出現(xiàn)“線段比”定義.因此，“正切”概念的演進(jìn)過(guò)程，自然成了教學(xué)設(shè)計(jì)的指南.這是我們選擇HPM視角來(lái)設(shè)計(jì)“正切概念”教學(xué)的緣由.

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：(1)理解正切函數(shù)的概念，會(huì)在直角三角形中求出某一個(gè)銳角的正切值，能用正切知識(shí)解決較為簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；(2)經(jīng)歷正切概念的演進(jìn)過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神，拉近與天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家之間距離，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

2 有關(guān)正切概念的史料及其運(yùn)用

2.1 關(guān)于正切概念的歷史演進(jìn)

三角函數(shù)概念有著悠久的而歷史，正切概念經(jīng)歷了以下演進(jìn)過(guò)程[1].

第一階段：古代阿拉伯天文學(xué)家用“橫影”和“縱影”表示今天的“余切”和“正切”(如圖1)，“余切”和“正切”都是線段的長(zhǎng).實(shí)際上，16世紀(jì)以前，三角函數(shù)都是線段，到16世紀(jì)以后才出現(xiàn)用比值來(lái)表示三角函數(shù).而在三角學(xué)教科書(shū)中，線段定義一直延續(xù)到19世紀(jì).

圖1

圖2

圖3

第四階段：將三角比視為角的函數(shù). “三角函數(shù)”之名出現(xiàn)于美國(guó)數(shù)學(xué)家威爾斯(W.Wells)的《平面與球面三角學(xué)精要》(1887)中”.

另外，測(cè)量地球、太陽(yáng)、月亮兩兩之間的距離是古代天文學(xué)家孜孜以求的問(wèn)題.公元前3世紀(jì)，阿里斯塔克斯(Aristarchus)在月亮半圓的時(shí)刻，測(cè)得日、地、月的中心S、E和M恰為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)(如圖4)，且∠ESM=3°.問(wèn)題是：地球到太陽(yáng)的距離是地球到月亮距離的幾倍？

圖4

綜上可見(jiàn)，從三角函數(shù)的歷史上看，天文學(xué)上的應(yīng)用是產(chǎn)生三角函數(shù)的緣由，從線段到線段比、再到三角函數(shù)的演進(jìn)過(guò)程中，人們經(jīng)歷了“啟蒙階段→發(fā)展階段→深化階段”的艱辛探索，基于HPM視角下的正切概念教學(xué)正是為學(xué)生學(xué)習(xí)提供歷史線索，同時(shí)也順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、順應(yīng)知識(shí)生長(zhǎng)規(guī)律，讓學(xué)生在探索新知的過(guò)程中汲取數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用

我們采用多種方式融入數(shù)學(xué)史(如表1)，借鑒“正切概念”的演進(jìn)歷史，追溯其思想起源，呈現(xiàn)知識(shí)自然發(fā)生過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“正切概念”本質(zhì)的理解和應(yīng)用，在過(guò)程的抽象與結(jié)論的猜想證明中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”素養(yǎng)，在情境的起承轉(zhuǎn)合中培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng).

表1 數(shù)學(xué)史在本節(jié)課中的運(yùn)用

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

3.1 課堂引入

師：同學(xué)們，現(xiàn)在計(jì)時(shí)的工具很多，如手表、手機(jī)等，而古代人們計(jì)時(shí)的工具是“日晷”，每天正午時(shí)分“晷影”的長(zhǎng)度也是變化的，冬至那天的“晷影”是一年中最長(zhǎng)的，夏至那天的“晷影”是一年中最短的.請(qǐng)同學(xué)們觀察每日正午時(shí)分“晷影”長(zhǎng)度的變化過(guò)程(動(dòng)畫(huà)展示，圖5).在這個(gè)變化過(guò)程中，哪些是常量與變量？

圖5

生：常量有晷針BC的長(zhǎng)，∠C的大??；變量有∠A和∠B的大小，AB和AC的長(zhǎng).

師：兩變量之間有何關(guān)系？

生：∠A+∠B=90°；AC2=AB2-BC2；

生：雖然我不能用數(shù)學(xué)式子表示變量角和邊之間的關(guān)系，但我發(fā)現(xiàn)∠A越大AC越短，∠A越小AC越長(zhǎng)；∠B越大AC越長(zhǎng)，∠B越小AC越短.

生：我還發(fā)現(xiàn)∠A越大AB越短，∠A越小AB越長(zhǎng)；

……

師：在直角三角形中，我們知道兩銳角之間可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，AC、AB之間也構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)函數(shù)概念，當(dāng)BC確定時(shí)，AC與∠A(∠B)、AB與∠A(∠B)能否也構(gòu)成函數(shù)呢？

生：【思考片刻】發(fā)現(xiàn)它們之間也能構(gòu)成函數(shù)！

師：這是我們本章將要學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù).(板書(shū)課題)

設(shè)計(jì)意圖“日晷”是古代計(jì)時(shí)的工具，其原理就是“晷影”長(zhǎng)度與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而長(zhǎng)度又與太陽(yáng)的入射角的大小有關(guān).數(shù)學(xué)史料的引進(jìn)不僅從外部激發(fā)了學(xué)生興趣和感受到數(shù)學(xué)文化，而且從內(nèi)部領(lǐng)悟到影長(zhǎng)與角的大小之間建立了某種函數(shù)關(guān)系.我們對(duì)數(shù)學(xué)史料采用“復(fù)制式”創(chuàng)設(shè)情境，既順應(yīng)歷史發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，又為探索“正切概念”提供“腳手架”.

3.2 概念生成

師：我們已經(jīng)感知到：當(dāng)BC確定時(shí)，AC與銳角∠A可構(gòu)成函數(shù)關(guān)系；若當(dāng)BC和AC變化時(shí)，則它們與∠A有何關(guān)系？我們一起來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.

活動(dòng)1觀察圖6中哪個(gè)臺(tái)階更陡？你是怎么判斷的？

生：右邊的那個(gè)臺(tái)階更陡點(diǎn)，因?yàn)闃翘莸钠陆歉?

圖6

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)所提供的活動(dòng)單，通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作的方式進(jìn)行探究：

活動(dòng)2觀察下面5個(gè)臺(tái)階，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，你能比較它們坡角的大小嗎？(小組合作，給出結(jié)論，并說(shuō)明判斷理由)

學(xué)生展示交流

生：臺(tái)階①和②的底寬相等，臺(tái)階①比②的高度低，若將底重合，則∠α1落在∠α2的內(nèi)部，故α1<α2.由此可見(jiàn)，底寬相等時(shí)，高度越大坡角越大.

生：臺(tái)階②、③和④高度相同時(shí)，臺(tái)階②的底寬最短、④的底寬最長(zhǎng)，若將高重合，則不難發(fā)現(xiàn)α4<α3<α2.所以高度相同時(shí)，水平寬度越短，坡角越大.

生：我將臺(tái)階①和③分別適當(dāng)“放大”，使得它們的高都變?yōu)?2，則①的寬變?yōu)?4，③的寬變?yōu)?0，所以α1<α3.

生：我將臺(tái)階②中的高擴(kuò)大為1.2倍，臺(tái)階②大小不變，則②的底寬變?yōu)?.6>9，所以α2<α5，結(jié)合前面同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，可得α4<α3<α2<α5.

師：剛才幾位同學(xué)通過(guò)對(duì)圖形適當(dāng)?shù)摹胺糯蟆被颉翱s小”，化高不等為相等，從而比較出臺(tái)階②③④⑤的大小,但臺(tái)階①④的坡角大小有什么關(guān)系？

生：雖然臺(tái)階①④的高度不等，寬度也不等，但將它們適當(dāng)“放大”，使得它們的高都變?yōu)?2，不難看出它們底寬變得也相等，故α1=α4.

生：我們將圖形“放大”或“縮小”，其實(shí)質(zhì)就是“相似”.因?yàn)榕_(tái)階①④的高度與寬度的比相等，它們的坡角所在兩個(gè)直角三角形相似.

師：如何比較樓梯的坡角大小，同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)：當(dāng)高度與寬度的比不等時(shí)，底寬與高的差的絕對(duì)值越小，坡角越大.

生：這個(gè)結(jié)論不對(duì)，比如在臺(tái)階①和③中，寬與高的差的絕對(duì)值相等，但α1<α3.

生：如果把這5個(gè)階梯的底都變?yōu)?，它們的高分別為0.5，0.75，0.6，0.5，0.8，不難發(fā)現(xiàn)坡角大小關(guān)系.

師：通過(guò)大家的討論，我們可以得到猜想：在直角三角形中，銳角與兩直角邊比值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖從數(shù)學(xué)的歷史看，“線段長(zhǎng)”到“線段比”表示正切經(jīng)歷了數(shù)百年時(shí)間，充分說(shuō)明人們對(duì)“線段比”表示正切要跨越認(rèn)知上的巨大障礙.對(duì)學(xué)生而言，如果教師繼續(xù)以“晷影”為情境研究“正切概念”，那么就很難發(fā)現(xiàn)用“線段比”表示正切.為順應(yīng)歷史發(fā)展規(guī)律發(fā)現(xiàn)“線段比”，采用“重構(gòu)式”創(chuàng)設(shè)“研究樓梯坡度陡緩程度”的情境，讓“線段比”來(lái)的自然，突破認(rèn)知困難.

師：如果將樓梯的坡角抽象為“角”的模型，請(qǐng)同學(xué)們思考以下問(wèn)題：

問(wèn)題1當(dāng)∠A大小確定時(shí)，則BC∶AC=B1C1∶AC1=B2C2∶AC2=…成立嗎？(如圖7)

圖7

圖8

生：因?yàn)椤鰽B1C1∽△AB2C2∽△ABC，所以BC∶AC=B1C1∶AC1=B2C2∶AC2.

師：我們不難看出：當(dāng)BC和AC變化時(shí)，∠A的大小只與它們的比有關(guān)，與它們的長(zhǎng)無(wú)關(guān).

問(wèn)題2當(dāng)∠A變化時(shí)，上面的等式仍成立嗎？

生：成立！但當(dāng)∠A變化時(shí)，上面等式的值也隨之變化.

師：同學(xué)們回答得很漂亮！用幾何畫(huà)板演示(如圖8).通過(guò)你們的自主探索可以歸納出：如果一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，你們這個(gè)銳角的對(duì)邊與這個(gè)角的鄰邊的比值要求確定. 而這個(gè)比值反映了斜邊相對(duì)于這角的鄰邊的傾斜程度，它與這個(gè)銳角的大小有著密切關(guān)系.正是這種對(duì)應(yīng)關(guān)系建立了∠A的對(duì)邊、鄰邊的比值和∠A大小之間的函數(shù)關(guān)系.

師：這種函數(shù)關(guān)系怎樣表示呢？請(qǐng)同學(xué)們觀察它們之間關(guān)系的函數(shù)圖像.(圖8)它能用我們所熟悉的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的模型刻畫(huà)嗎？

生：【觀察片刻】不能！

設(shè)計(jì)意圖文獻(xiàn)[1]考察了19世紀(jì)的49種三角學(xué)教科書(shū)中，在直角三角形中定義三角函數(shù)的有3種，基于直角坐標(biāo)系的終邊定義三角函數(shù)的有24種.利用相似三角形性質(zhì)，對(duì)所定義的各三角函數(shù)只與角的終邊有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)邊.這段史料的研究，充分說(shuō)明教師在教學(xué)中要凸顯“相似三角形性質(zhì)”在研究正切概念中的作用，而不能僅僅告訴學(xué)生正切就是一個(gè)銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比.

從“線段比”定義正切到“函數(shù)觀點(diǎn)”認(rèn)識(shí)正切、用符號(hào)表示正切又經(jīng)歷了幾十年的時(shí)間，對(duì)學(xué)生而言又要經(jīng)過(guò)一次認(rèn)知上的飛躍.為此，我們采用“重構(gòu)式”增設(shè)“圖像”認(rèn)識(shí)函數(shù)的環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)與已有的“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”和“反比例函數(shù)”的圖像差別，感悟到引進(jìn)新符號(hào)表示正切的必要性.至此，讓學(xué)生經(jīng)歷了“正切概念”從“線段”“線段比”“角定比定”和“函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)正切”的全過(guò)程.

3.3 理解與應(yīng)用

公元前3世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家阿里斯塔克斯在月亮半圓的時(shí)刻，測(cè)得日、地、月的中心S，E和M恰為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且∠ESM=3°(圖9).你能求出月亮到太陽(yáng)的距離(MS)約為到地球距離(ME)的幾倍嗎？ (寫(xiě)出你們的方案)

圖9

設(shè)計(jì)意圖該問(wèn)題由阿里斯塔克斯問(wèn)題改編而成，由于阿里斯塔克斯當(dāng)時(shí)還不會(huì)計(jì)算角的正切，可能還不知正切與距離無(wú)關(guān)，他當(dāng)時(shí)采用比較復(fù)雜的計(jì)算方法只得到一個(gè)估計(jì)值，也超出了現(xiàn)在初中生的認(rèn)知范圍.本題的情境旨在激發(fā)學(xué)生的好奇心，深化對(duì)“正切概念”中“正切值大小只與角大小有關(guān)，與距離無(wú)關(guān)”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生運(yùn)用“化大為小”的策略解決問(wèn)題.

3.4 收獲與感悟

師：同學(xué)們，通過(guò)一節(jié)課的學(xué)習(xí)我們有怎樣的收獲，請(qǐng)大家從以下幾方面小結(jié)：

(1)為什么要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)？

(2)怎樣研究正切？

(3)如何用正切知識(shí)解決問(wèn)題？

(4)你還想繼續(xù)知道什么？

請(qǐng)同學(xué)回顧所學(xué)知識(shí)與問(wèn)題解決的方法，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上與同伴交流！

生：我們已經(jīng)知道古人研究正切與“影長(zhǎng)”有關(guān)，直角三角形的兩銳角關(guān)系、三邊關(guān)系，學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)則揭示了邊、角關(guān)系.

生：首先發(fā)現(xiàn)樓梯坡角的大小與高、寬之比的大小有對(duì)應(yīng)關(guān)系，其次運(yùn)用相似知識(shí)證明直角三角形的兩直角邊之比只與銳角大小有關(guān)，這個(gè)比值隨著銳角大小的改變而改變，再次用數(shù)學(xué)符號(hào)表示了正切的定義.

生：用正切解決問(wèn)題必須弄清：一個(gè)對(duì)象(直角三角形)，兩條邊長(zhǎng)(銳角的對(duì)邊和鄰邊)或邊長(zhǎng)關(guān)系，一個(gè)公式(銳角的對(duì)邊與鄰邊之比).

生：我還想知道直角三角形中銳角大小所對(duì)的直角邊與斜邊之間的關(guān)系，鄰邊與斜邊的關(guān)系.

生：我還想知道阿里斯塔克斯當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)方法如何求tan3°？

師：同學(xué)們小結(jié)比較全面，既有對(duì)知識(shí)、方法的歸納，又有對(duì)新問(wèn)題研究的期待.希望大家?guī)е斋@與問(wèn)題離開(kāi)課堂，養(yǎng)成獨(dú)立思考和合作探究的習(xí)慣，讓你愛(ài)上數(shù)學(xué).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過(guò)這一節(jié)課的學(xué)習(xí)感受到正切概念的產(chǎn)生是一部“起承轉(zhuǎn)合、艱辛探索”的歷史，“正切概念”的研究與數(shù)學(xué)的發(fā)展緊緊同步.從學(xué)生的“收獲與感悟”中發(fā)現(xiàn)：“正切”不是簡(jiǎn)單的兩直角邊的比，而是源于生活、高于生活，有著豐富內(nèi)涵的數(shù)學(xué)知識(shí).

4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成路徑分析

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中，從教學(xué)環(huán)節(jié)看：順應(yīng)“正切概念”的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史；從數(shù)學(xué)內(nèi)涵看：以“雙基”為載體、“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”為基礎(chǔ)、“數(shù)學(xué)基本思想”為體現(xiàn)，蘊(yùn)含了“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算”等核心素養(yǎng)；從教學(xué)行為看：體現(xiàn)了文[2]中所講的“要實(shí)現(xiàn)基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)型，教師要在教學(xué)理念上從關(guān)注知識(shí)到關(guān)注能力和品格、從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注過(guò)程以及關(guān)注輸入到關(guān)注輸出的轉(zhuǎn)變”的目標(biāo).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和必備品格.由本課例的實(shí)踐與反思不難看出：基于數(shù)學(xué)史進(jìn)行“過(guò)程化、情境化、自主化”的教學(xué)方式是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有效路徑.現(xiàn)分析如下.

4.1 “過(guò)程化”有利于自然生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本課例中，“正切概念”的形成過(guò)程經(jīng)歷了三個(gè)階段(如圖10)，我們不難看出：“正切概念”的三次抽象是數(shù)學(xué)從幾何觀念(線段)到代數(shù)觀念(比值)，再到對(duì)應(yīng)觀念(函數(shù))，最終抽象為符號(hào)(tanA)的發(fā)展過(guò)程.在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成離開(kāi)不了數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)的積累，數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程有利于學(xué)生進(jìn)一步把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性.

圖10

數(shù)學(xué)建模更是一個(gè)依賴過(guò)程的數(shù)學(xué)活動(dòng)，文[3]指出：它是一個(gè)從現(xiàn)實(shí)世界抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)入數(shù)學(xué)世界，再通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終回歸現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程(如圖11).在本課例的應(yīng)用環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要經(jīng)歷“化大為小造圖形→運(yùn)用性質(zhì)求正切→回歸現(xiàn)實(shí)作說(shuō)明”等過(guò)程解決阿里斯塔克斯問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題、數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，將數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)融入其中.

圖11

4.2 “情境化”有利于融合發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本課例是一個(gè)基于數(shù)學(xué)史料、順應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的教學(xué)設(shè)計(jì)(如圖12)，教學(xué)情境的產(chǎn)生源于對(duì)“史料”進(jìn)行“復(fù)制、重構(gòu)、順應(yīng)”，每一個(gè)情境將“數(shù)學(xué)史料、圖形構(gòu)建與數(shù)學(xué)思考”相融合，從而不難發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖12

比如，為了引入用“線段比”定義正切，通過(guò)創(chuàng)設(shè)“樓梯陡緩程度”的問(wèn)題情境，觀察5個(gè)樓梯模型，先直觀想象、再數(shù)學(xué)抽象、最后邏輯推理，幾種素養(yǎng)融合其中.再如，用“函數(shù)觀點(diǎn)”認(rèn)識(shí)正切的教學(xué)中，用幾何畫(huà)板繪制圖像，將抽象的數(shù)學(xué)式子變?yōu)檩^直觀的數(shù)學(xué)圖像，通過(guò)圖像的直觀比較，不難感受到引進(jìn)正切符號(hào)的必要性.由此可見(jiàn)，直觀化的情境有利于引導(dǎo)學(xué)生深度思考數(shù)與形的聯(lián)系，從而讓直觀想象與數(shù)學(xué)推理有機(jī)融合.

4.3 “自主化”有利于形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成不僅要關(guān)注其成分，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng).認(rèn)知建構(gòu)主義原理認(rèn)為：自主性學(xué)習(xí)是學(xué)生能夠根據(jù)自己的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)任務(wù)的要求，積極主動(dòng)的調(diào)整自己的學(xué)習(xí)策略和努力程度的過(guò)程.“自主化”就是教師要充分尊重學(xué)生主體，善于“留白”，以激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，滿足學(xué)生的需求，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生“與教材發(fā)生對(duì)話、與同伴發(fā)生對(duì)話、與教師發(fā)生對(duì)話、與實(shí)踐發(fā)生對(duì)話、與自己發(fā)生對(duì)話”的時(shí)空. “自主化”的目標(biāo)指向是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的理性、信念、情感和品質(zhì).為此，我對(duì)所授課班級(jí)45名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查(見(jiàn)附表)，結(jié)果匯總?cè)缦拢?/p>

序號(hào)123456789101112A403842454043394041103941B572031433543C0010212213021

(A—同意，B—不同意(不確定)，C—不同意)

由上表可知，本課例中借用日晷、阿里斯塔克斯問(wèn)題等數(shù)學(xué)史料，激發(fā)學(xué)生好奇心，讓其產(chǎn)生主動(dòng)探究的欲望.在探究“正切概念”的教學(xué)中，教師通過(guò)師生、生生之間的“人際”對(duì)話和、與幾何畫(huà)板的“人機(jī)”對(duì)話，逐步對(duì)“正切概念”的有了整體化與深層次理解，學(xué)生自我“調(diào)控性”思維品質(zhì)得以培養(yǎng).

5 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)課堂合理運(yùn)用數(shù)學(xué)史料能夠讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，激發(fā)并保持學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心與求知欲，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生“提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題”的能力和改善學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)有著長(zhǎng)久效益.基于數(shù)學(xué)史實(shí)施“過(guò)程化、情境化、自主化”教學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)歷史的重構(gòu)，更加注重學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)與探究，讓數(shù)學(xué)課真正“教活、教懂、教深”(文[4])，實(shí)現(xiàn)弗萊登塔爾所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”教學(xué)，從而更有效的培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

附問(wèn)卷

本問(wèn)卷主要調(diào)查同學(xué)們?cè)诒竟?jié)課中的學(xué)習(xí)內(nèi)容、方式對(duì)你們學(xué)習(xí)品格方面有何影響？本調(diào)查只作改善教學(xué)之用，無(wú)關(guān)對(duì)錯(cuò)，不涉及個(gè)人隱私，希望大家誠(chéng)實(shí)作答，在你認(rèn)為符合你想法的選項(xiàng)中打“√”，謝謝配合！

品格分析內(nèi) 容同意不確定(無(wú)所謂)不同意理性1.正切概念的產(chǎn)生經(jīng)歷從線段到線段比表示的過(guò)程;2.有必要理解線段比與銳角大小之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系;3.正切符號(hào)的引進(jìn)有其必要性;信念4.正切的認(rèn)識(shí)是人們不斷演進(jìn)的過(guò)程;5.正切概念的學(xué)習(xí)方式可以為認(rèn)識(shí)新的三角函數(shù)提供幫助;6.我也能發(fā)現(xiàn)在日常生活中與正切相關(guān)的問(wèn)題;情感7.“日晷”中影長(zhǎng)的變化激發(fā)我探究欲望;8.“幾何畫(huà)板”的動(dòng)態(tài)演示加深我對(duì)正切函數(shù)的認(rèn)識(shí); 9.“阿斯塔拉斯”問(wèn)題調(diào)動(dòng)了我學(xué)習(xí)興趣;品質(zhì)10. 只要告知我正切概念就可以解題了;11.對(duì)“樓梯”陡緩程度的判定方法的獲得我是經(jīng)過(guò)反復(fù)思考的;12.我想知道古代人是怎樣解決“阿里斯塔克斯”問(wèn)題.