林京榕 陳清華 董 濤

(1．福建省尤溪第一中學(xué) 365100；2．福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 350117)

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程．[1]數(shù)學(xué)抽象有利于學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，養(yǎng)成獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力．多種教學(xué)策略的靈活有效運用，能夠更為有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．本文結(jié)合具體實例，討論數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落實于課堂教學(xué)的途徑.

1 經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性、系統(tǒng)性和邏輯性．它的形成通常經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過程；一種是從數(shù)學(xué)外部的事物出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)化抽象出數(shù)學(xué)概念；另一種是在數(shù)學(xué)內(nèi)部，對已有數(shù)學(xué)概念的進(jìn)一步抽象．?dāng)?shù)學(xué)概念的形成，是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)抽象過程．章建躍給出數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)[2]，包含創(chuàng)設(shè)問題情境、共性分析與概括本質(zhì)屬性、下定義、概念辨析、概念初步應(yīng)用、概念“精致”六個基本環(huán)節(jié)．學(xué)生經(jīng)歷上述概念形成環(huán)節(jié)，會從中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象的基本過程：分離屬性與發(fā)現(xiàn)模式——建構(gòu)模型與普適化——定義與符號化——系統(tǒng)化．

導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，就是一個典型的數(shù)學(xué)概念抽象過程．有教師這樣設(shè)計實施導(dǎo)數(shù)概念的抽象過程．首先是背景引入．教師簡要介紹微積分簡史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．從運動學(xué)的角度出發(fā)，引出學(xué)習(xí)問題．教師要求學(xué)生自己計算高臺跳水運動員在某段時間內(nèi)的平均速度，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均速度不能準(zhǔn)確反映運動員在這一時間段里任意時刻的運動狀態(tài)．由平均速度的局限性，引出學(xué)習(xí)瞬時速度的必要性．學(xué)生在高一年級的物理課程中學(xué)習(xí)過瞬時速度的含義，很容易認(rèn)識到這一點．

其次是一個具體例證的屬性分析．針對高臺跳水現(xiàn)象，提出問題“如何計算瞬時速度？”在給予學(xué)生指導(dǎo)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生“以已知探求未知”，從平均速度入手，尋求解決計算瞬時速度的思路．學(xué)生通過計算某時刻當(dāng)Δt取不同值時的平均速度，發(fā)現(xiàn)平均速度的變化趨勢：在時間間隔越來越小時，在某一時刻的平均速度逐漸趨于一個不變的常數(shù)．學(xué)生認(rèn)識到這個常數(shù)就是物體在這一時刻的瞬時速度．這是第一次概括．接著指導(dǎo)學(xué)生計算第二個時刻的瞬時速度，引導(dǎo)學(xué)生歸納這兩個時刻的瞬時速度計算過程與結(jié)果，概括出任意時刻的瞬時速度概念．這是第二次概括．

第四，第二個具體例證的屬性驗證．從幾何的角度，借助拋物線的割線逼近切線的問題，探討切線斜率的含義．教師用幾何畫板演示拋物線的割線逼近切線的過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)割線斜率逼近切線斜率．要求學(xué)生仿照求瞬時速度的方法求得特定拋物線在任意點處的斜率．學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，兩類不同背景的問題形式表達(dá)的一致性．為概括不同例證的本質(zhì)屬性奠定基礎(chǔ)．符號的使用，省略了研究對象的實際情境，拋棄了實際情境中存在的具體意義，去掉了實際語言帶來的差別，帶來了結(jié)論的一般化，極大地方便模式的識別與構(gòu)建．

第五，概括出不同例證的本質(zhì)屬性．結(jié)合瞬時速度與曲線切線斜率，去掉物理背景和幾何背景，歸納概括兩個例證的共同屬性——瞬時變化率，抽象出瞬時變化率的本質(zhì)屬性．

第六，下定義．基于概括出的兩類變化率問題的共同本質(zhì)和共同形式，將其應(yīng)用到一般函數(shù)，抽象出導(dǎo)數(shù)的概念，并用符號表示．學(xué)生認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率，初步理解導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵．

第七，建立符號表示、數(shù)學(xué)意義和背景含義之間的聯(lián)系．首先，回溯兩個例證，指導(dǎo)學(xué)生復(fù)盤研究過程，重新梳理兩個例證中的背景含義、數(shù)學(xué)意義與符號表示，形成前后一致的整體認(rèn)識．其次，要求學(xué)生做一些求具體函數(shù)導(dǎo)數(shù)的練習(xí)題，在做題中進(jìn)一步融會貫通符號表示與本質(zhì)含義.

這一導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)過程，靈活運用了概念教學(xué)的六個環(huán)節(jié)，有層次地抽象概括，幫助學(xué)生多角度地認(rèn)識、理解導(dǎo)數(shù)概念．

2 經(jīng)歷數(shù)學(xué)命題的概括

數(shù)學(xué)知識，除了概念外，還有大量的以命題形式表達(dá)的數(shù)學(xué)公式、定理等．這些知識的發(fā)現(xiàn)，也是基于考察一些典型例證，概括出它們的共同規(guī)律得到的．例如二項式定理，先指導(dǎo)學(xué)生分析n=2,3,4時二項式(a+b)n的展開式的共同特征，歸納出(a+b)n展開式．但很多學(xué)生用歸納遞推的方法得出(a+b)n展開式各項系數(shù)有困難．在教學(xué)中，為了便于學(xué)生理解，還可以指導(dǎo)學(xué)生換個角度看問題：結(jié)合多項式乘法的過程，利用組合知識得出(a+b)n展開式的各項系數(shù)．學(xué)生在教師指導(dǎo)下，圍繞(a+b)(a+b)…(a+b)的計算，從運用基礎(chǔ)的“多項式乘法法則”計算轉(zhuǎn)換到應(yīng)用“組合知識”計算，充分開展從特殊到一般、從多種角度進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)活動，抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言予以表征，實現(xiàn)“將已知數(shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形”，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展．同時獲得多種數(shù)學(xué)抽象的活動經(jīng)驗．

多種歸納概括方式的運用，教師的指導(dǎo)非常重要．追問是實現(xiàn)教師指導(dǎo)的有效方法，如“還有別的想法嗎？”“你能用同學(xué)的(不一樣)思路重新思考一下嗎？”“你能再從這個視角思考一下嗎？”“換個視角再審視，你發(fā)現(xiàn)了什么？能從這個角度試著推廣一下嗎？”這些追問，再輔以具體例證的啟發(fā)，能夠有效地幫助學(xué)生靈活運用多種歸納概括方式，得出數(shù)學(xué)知識．

3 掌握數(shù)學(xué)抽象的方法

概念形成是一種教師指導(dǎo)下的基本數(shù)學(xué)抽象方法．導(dǎo)數(shù)作為一種基本概念，其教學(xué)采用的是概念形成的方式．函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的很多知識，像函數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性的概念等，都是采用概念形成的方式抽象得到的．它用到較多的實際背景．學(xué)生經(jīng)歷多次的概念形成學(xué)習(xí)活動，教師有意指導(dǎo)學(xué)生比較、反思這些知識的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生能夠逐漸內(nèi)化這種學(xué)習(xí)方法，學(xué)會一種有指導(dǎo)的數(shù)學(xué)抽象方法．

延續(xù)生長點知識原有的抽象思路，是數(shù)學(xué)抽象的另一種基本方法．高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容，是對已有數(shù)學(xué)概念的進(jìn)一步推廣．其數(shù)學(xué)抽象的思路，是延續(xù)生長點知識原有的抽象思路，通過對新的具體例證的探討，擴展得到新知識．這樣的思路，具有主動性，是高中階段數(shù)學(xué)抽象的另一種基本方法．例如，怎樣發(fā)展分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念？審視已有相關(guān)知識，有效激活思路．回顧零指數(shù)冪的推導(dǎo)方法，發(fā)現(xiàn)是通過對同底數(shù)冪的除法運算法則使用范圍的擴展得到的(同底數(shù)冪的除法運算法則明顯與乘法運算法則不對稱，除法運算法則多了被除數(shù)指數(shù)大于除數(shù)指數(shù)的限制．解除這個限制，通過考察一些個例，會發(fā)展出零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪)．套用這個思路，考察冪的乘方法則，探討一些例證，自然可推出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．學(xué)生多次成功應(yīng)用同一方法，在應(yīng)用過程中，在事后的反思審視過程中，逐漸強化了這個思路，就逐漸學(xué)會了蘊藏在內(nèi)的數(shù)學(xué)抽象方法．

又如，探究橢圓的定義．教師可以指引學(xué)生利用圓的定義——到定點的距離等于定長的點的軌跡——探討推廣的方向，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象基本方法．圓的定義中有兩個要素，一是定點，二是定長．沿著定點的方向推廣，圓是一個定點，那么自然提出，到兩個定點的距離和等于定長的點的軌跡是什么呢？這樣自然導(dǎo)出橢圓的定義與畫法．并且為接下來的后續(xù)知識——雙曲線和拋物線——的再創(chuàng)造，奠定了方向與方法．在一個時間段密集運用同一思路，有利于形成數(shù)學(xué)抽象的習(xí)慣．延續(xù)知識生長點思路的關(guān)鍵，是確認(rèn)正確的知識生長點．這需要教師具有整體視野與主題教學(xué)的意識與能力．

轉(zhuǎn)化視角再審視已有知識，發(fā)現(xiàn)推廣的新方法，得到新的數(shù)學(xué)知識，也是高中段重要的數(shù)學(xué)抽象方法之一．如上述二項式定理的教學(xué)，學(xué)生習(xí)慣從多項式乘法歸納(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4展開式的共同特征，得到(a+b)n展開式的猜想．但用遞推方法得出展開式的各項系數(shù)有困難．指導(dǎo)學(xué)生換個角度看問題，利用組合知識就很容易得出展開式的各項系數(shù)．再如函數(shù)的概念．初中基于變化過程，得到函數(shù)的“變量說”概念．高中轉(zhuǎn)化視角，基于變化結(jié)果，得到了函數(shù)的“對應(yīng)說”概念．

用簡單的符號代替復(fù)雜的表達(dá)形式，得到一些數(shù)學(xué)的命題，也是一種數(shù)學(xué)抽象的方法．?dāng)?shù)學(xué)的符號語言，是描述、記載與傳遞數(shù)學(xué)知識的工具．具有概括結(jié)論、壓縮信息、實現(xiàn)運算自動化、提供反省對象的功能．作為語言，它與日常語言一樣，也有多詞一意(同義詞)現(xiàn)象．這種現(xiàn)象，為壓縮信息抽象出新知識提供了一種重要方法．用簡潔的符號代替復(fù)雜的表達(dá)形式，往往會抽象出新的數(shù)學(xué)知識．例如，等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)．早在公元前3000年，古巴比倫人就已經(jīng)能用Sn-1來代替，從而利用遞推關(guān)系Sn=a1+qSn-1計算一些具體的等比數(shù)列求和問題．這種方法，是一種典型的符號抽象．另外，《幾何原本》中給出的推導(dǎo)方法，與古巴比倫的萊因德紙草所示的計算方法本質(zhì)相同，都是一種符號抽象．利用這些數(shù)學(xué)史料，針對等比數(shù)列的特點，充分利用等比數(shù)列的定義，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言不斷簡化知識表達(dá)的過程，能夠合乎邏輯地得出等比數(shù)列前n項和公式：

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1

=a1+q(a1+a1q+…a1qn-2)

=a1+q·Sn-1，

這種遞推關(guān)系蘊含的算法是利用計算機編程計算等比數(shù)列前n項和的基礎(chǔ)．

4 認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

再如，有時面對較為復(fù)雜的問題，通過抽象，簡化問題，把握問題實質(zhì)，也會為原問題的解決找到思路．如題目：當(dāng)a取何值時，方程x4+3x3+ax2+3x+1=0沒有實數(shù)根？考慮簡化問題：當(dāng)a取何值時，方程x2+ax+1=0沒有實數(shù)根？就可以找到解決原問題的基本思路：通過換元轉(zhuǎn)化為二次方程，運用判別式建立不等式求解．以簡馭繁的解題過程，有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題．學(xué)生在這種以簡馭繁解題過程中的成功體驗，會增強自信心，進(jìn)一步激發(fā)數(shù)學(xué)抽象的好奇心，體會數(shù)學(xué)的特點，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，養(yǎng)成一般化思考問題的習(xí)慣．

構(gòu)建命題系統(tǒng)，認(rèn)識數(shù)學(xué)體系，是一種更高水平的數(shù)學(xué)抽象．通過這種抽象可以讓人們看清楚數(shù)學(xué)知識的整體面貌及其發(fā)生和發(fā)展過程、數(shù)學(xué)理論體系的完善過程以及不同數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的相互聯(lián)系和統(tǒng)一性．

在高中階段，對數(shù)學(xué)體系的認(rèn)識表現(xiàn)在以下幾個方面：其一是在高觀點下對已學(xué)知識的系統(tǒng)梳理，如利用函數(shù)的思想重新梳理初中階段的各種方程、不等式，看清它們之間的關(guān)系(聯(lián)系)；其二是建立表面上不同系統(tǒng)的深刻聯(lián)系，如向量與坐標(biāo)、曲線與方程等的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性；其三是通過對結(jié)構(gòu)體系的深刻認(rèn)識，形成統(tǒng)一的研究框架，基于對結(jié)構(gòu)體系的完善，提出新的數(shù)學(xué)對象與命題．如復(fù)數(shù)的引入．

復(fù)數(shù)的引入具有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程的典型性．?dāng)?shù)學(xué)歷史表明，復(fù)數(shù)的引入首先是為了解二次方程．16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在解三次方程時使用了復(fù)數(shù)．那時，數(shù)學(xué)家們對復(fù)數(shù)的意義充滿疑惑，并一直要搞清楚復(fù)數(shù)的意義．直到19世紀(jì)初，高斯給出了復(fù)數(shù)a+bi(a、b為實數(shù))的幾何意義，復(fù)數(shù)才有了合法地位．循著復(fù)數(shù)發(fā)展的歷史，學(xué)生思考下列問題，能深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性．

問題1在數(shù)系的擴充中，引進(jìn)一種新的數(shù)，就要定義它的運算；定義一種運算，就要研究它的運算律．對于引進(jìn)的“虛數(shù)單位”i，它服從i2=-1，根據(jù)已有的數(shù)系擴充理論，要使符號i能像實數(shù)那樣進(jìn)行加、乘運算，它應(yīng)該有怎樣的一般形式？

問題2在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情況如何？

問題3類比用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，如何對復(fù)數(shù)作出幾何解釋(復(fù)數(shù)的幾何表示)？從復(fù)數(shù)的幾何表示出發(fā)，聯(lián)系三角函數(shù)、向量等，你能發(fā)現(xiàn)和提出哪些問題？得出哪些有用的結(jié)論？(復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)及其性質(zhì)，復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)的“三角形不等式”，復(fù)數(shù)的三角表示等)

問題4借助于復(fù)數(shù)的三角表示，聯(lián)系向量的有關(guān)知識，你能提出哪些問題？得出哪些結(jié)論？(向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮與復(fù)數(shù)乘法、棣莫弗公式等)

問題5借助單位圓，聯(lián)系三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，用棣莫弗公式研究單位根．(在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，1恰有n個不同的n次方根，它們可以用單位圓的一個內(nèi)接正n邊形的頂點來表示，z=1是其中一個)

問題6從復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、向量之間的聯(lián)系性出發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)和得出哪些新問題？

上述問題通過類比“自然數(shù)——有理數(shù)——實數(shù)”的擴充過程，每次擴充都是來源于數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程和解決實際問題的需要(社會需要、運算需要、求解方程需要)，從中抽象出數(shù)系擴充的主要研究問題：一是引入一個新的數(shù)，就要定義其運算；二是定義一種運算，就要研究其運算律．從而進(jìn)一步抽象出數(shù)系擴充的基本原則：使算術(shù)的運算保持不變．最后歸納出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，以及把復(fù)數(shù)與向量、三角相聯(lián)系從而提出更深層次的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性——概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系的統(tǒng)一．

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成和發(fā)展不是一蹴而就的，需要長期潛移默化的熏陶．上述培養(yǎng)策略，具有可操作性．能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的核心過程，感受數(shù)學(xué)抽象的成功體驗，增強數(shù)學(xué)抽象的自信心，進(jìn)一步激發(fā)數(shù)學(xué)抽象的好奇心，體會數(shù)學(xué)的特點，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，積累數(shù)學(xué)抽象活動經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．