林澤榕， 張子明， 徐常青

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

18 世紀(jì)初，de Moivre 首次提出正態(tài)分布，隨后Laplace 和Gauss 對正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行了研究，并將其應(yīng)用于天文學(xué)。 19 世紀(jì)初，Robert Adrian 定義了二元正態(tài)分布，隨后Laplace 和Gauss 分別給出了二元正態(tài)分布的密度函數(shù)。19 世紀(jì)末，F(xiàn)rancis Galton 提出并研究了二元正態(tài)隨機(jī)變量相關(guān)性；Karl Pearson 在20 世紀(jì)初進(jìn)一步研究了二元正態(tài)隨機(jī)變量的相關(guān)性（包括多元相關(guān)性）和回歸分析。 之后，Yule 等人將二元正態(tài)隨機(jī)變量的相關(guān)性推廣至列聯(lián)表中，從而開始了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的多元發(fā)展。

多元隨機(jī)分析研究多個(gè)隨機(jī)變量的總體分布屬性，而隨機(jī)向量是指元素為隨機(jī)變量的一類向量，它廣泛應(yīng)用于投資組合理論[1]、回歸模型[2]、時(shí)間序列[3]等。 正態(tài)隨機(jī)向量是其中應(yīng)用最為廣泛的一類隨機(jī)向量，它是研究隨機(jī)矩陣、隨機(jī)過程等的基礎(chǔ)。 關(guān)于正態(tài)隨機(jī)向量的研究已有很長的歷史，20 世紀(jì)初，Cosset 為小樣本分布做出了開創(chuàng)性的工作，這也為Fisher 提出多重相關(guān)系數(shù)的分布提供了理論條件。 1928 年，Wishart[4]推導(dǎo)出了小樣本情況下多元正態(tài)分布的樣本方差和協(xié)方差的聯(lián)合分布。 1958 年，Roy[5]等人的研究涉及多元問題中某些特征根和向量的分布，尤其是典型相關(guān)和多元方差分析。 而隨機(jī)矩陣是指元素為隨機(jī)變量的一類矩陣，它在物理學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、數(shù)論等中都有廣泛應(yīng)用[6-8]，1928 年，Wishart[4]首次運(yùn)用隨機(jī)矩陣對樣本協(xié)方差進(jìn)行了估計(jì)。 1947 年，John von Neumann 和Herman Goldstine[9]將隨機(jī)矩陣運(yùn)用到數(shù)值分析中。 目前，關(guān)于隨機(jī)矩陣研究最多的是高斯隨機(jī)矩陣[10-11]，而 Wishart 矩陣[4]和半圓定律[12]等均為高斯隨機(jī)矩陣分布的推廣形式。

二次型的研究始于18 世紀(jì)，它起源于對二次曲線和二次曲面分類問題的討論。18 世紀(jì)初，Gauss 首次引入了二次型正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定等術(shù)語。 18 世紀(jì)中葉，為了解決同時(shí)將兩個(gè)二次型化成平方和的問題，Weierstras 給出了一個(gè)一般的方法，比較系統(tǒng)地完善了二次型理論。

為了引入隨機(jī)張量的概念，先來介紹張量理論的發(fā)展。19 世紀(jì)，Gaussi、Riemann、Christoffel[13]等人在發(fā)展微分幾何過程中引入張量。 1887—1901 年，Ricci 和Levi Givita[14]創(chuàng)立了張量分析的基本框架。 1916 年，愛因斯坦用張量分析作為工具引入廣義相對論，極大地推動了張量分析的發(fā)展。 張量分析也開始被重視起來，成為強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，在分析力學(xué)、彈性力學(xué)、幾何學(xué)等方面發(fā)揮了重要作用。

1927 年，Hitchcock[15]首次提出了張量分解，后來由 Cattelin[16]于 1944 年和 Tucker[17]于 1966 年進(jìn)行拓展，而這些概念和方法得到廣泛關(guān)注是在Carroll 和Chang[18]提出典型分解（CANDECOMP），以及1970 年Harsh-man[19-21]提出了一個(gè)稱為PARAFAC 的等價(jià)模型之后。 現(xiàn)在，高階張量分解已被應(yīng)用于心理測量學(xué)、化學(xué)計(jì)量學(xué)、圖像分析、圖形分析、信號處理、大數(shù)據(jù)（統(tǒng)計(jì)）分析[22]等領(lǐng)域。

筆者將二次型變量的部分結(jié)論推廣到三階齊次多項(xiàng)式變量中，運(yùn)用對稱張量的對稱分解，得出三階齊次多項(xiàng)式變量的數(shù)學(xué)期望。 在此基礎(chǔ)上，得到該多項(xiàng)式變量與隨機(jī)變量的協(xié)方差，并給出了三階齊次多項(xiàng)式變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件。

1 二次型變量

在這一部分，將給出二次型變量的定義及基本性質(zhì)。

定義 1[23]給定隨機(jī)向量 y～（S）Nn（μ，∑）和對稱常數(shù)矩陣 A∈Rn×n，稱變量 q=y′Ay 為高斯二次型變量。

注意到，若隨機(jī)向量y 的分量為iid（獨(dú)立同分布）且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即yi～N（0，1），那么當(dāng)矩陣A 為單位矩陣時(shí)，q 服從卡方分布。 因此，二次型變量為卡方變量的推廣。

性質(zhì) 1[23]若隨機(jī)向量 y～（S）Nn（μy，∑），rank（∑）=n1≤n，給定常數(shù)矩陣 A＝A′∈Rn×n，滿足 0＜rank（A）=n1≤n，則存在相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 x1，x2，…，xn2，滿足

證明對∑進(jìn)行分解，有∑=ΦΦ′，其中 Φ∈Rn×n1列向量為正交向量組，rank（Φ）=n1，令μy=Φμz，則 y=Φ（z+μz），μz=Φ+μy，故

令 B＝Φ′AΦ∈Rn1×n1，設(shè) rank（B）=n2≤n1，對 B 進(jìn)行譜分解，有

式中 V=[v1，v2，…，vn2]∈Rn1×n2為正交矩陣，Dg（λ）=diag（λ1，λ2，…，λn2）是由 B 的 n2個(gè)非零特征值構(gòu)成的對角矩陣，則

令向量 u=V′（z+μz）∈Rn2，則故元素 uk，k=1，2，…，n2相互獨(dú)立，且 uk～那么

性質(zhì)1 將二次型與卡方分布結(jié)合，由此可借助卡方分布得出二次型隨機(jī)變量的有關(guān)性質(zhì)。 下面給出卡方分布的數(shù)學(xué)期望和方差。

性質(zhì) 2[24]若 Z～χ2（v，ω），其中 v 為自由度，ω 為非中心參數(shù)，則 Z 的數(shù)學(xué)期望和方差為

特別，若 ω=0，則 Z 服從中心卡方分布，自由度為 v，記作 Z～χ2（v），此時(shí)，Z 的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 E（Z）=v,Var（Z）=2v。

推論1[23]給定性質(zhì)1 中的條件，二次型變量q=y′Ay 的數(shù)學(xué)期望和方差為

性質(zhì) 3[23]若隨機(jī)向量 y～Nn（μy，∑），rank（∑）=n，給定常數(shù)矩陣 A＝A′∈Rn×n，B∈Rm×n，則

特別，若 y 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 y～Nn（0，In），則 Cov（By，y′Ay）=0。

性質(zhì) 4[24]若隨機(jī)向量 y～Nn（0，∑），rank（∑）=n1≤n，給定常數(shù)矩陣 A＝A′∈Rn×n，常數(shù)向量 a，b∈Rn，則：

（1）y′Ay 與 b′y 獨(dú)立?∑A∑b=0；

（2）a′y 與 b′y 獨(dú)立?a′∑b=0。

性質(zhì) 5[23]若隨機(jī)向量 y～Nn（μ，∑），rank（∑）=n1≤n，給定常數(shù)矩陣 A＝A′∈Rn×n，B∈Rm×n，則 y′Ay 與 By獨(dú)立?B∑A∑=0，B∑Aμ=0。

2 齊次多項(xiàng)式變量及其張量表示

下面將二次型變量中的部分結(jié)果推廣至一般高次（包括二次）齊次多項(xiàng)式變量的情形。

定義 2[26]設(shè) A=（ai1i2…im）為 m 階 n 維實(shí)張量，若將元素 ai1i2…im，ij=1，2，…，n，j=1，2，…，m 的下標(biāo)進(jìn)行任意置換后，仍與原來的元素相等，則稱A 為對稱張量。

定義 3[27]張量與向量a∈RIn沿模-n 方向上的乘積記為

式中， y 的元素為

故張量 g∈RI1×I2×…×IN在其每個(gè)方向上與向量 an∈RIn，n=1，2，…，N 相乘的乘積為

若給定張量 g∈Rm，n和向量 a，b∈Rn，j，k 表示兩個(gè)不同的方向，則

式（10）說明張量在不同方向上與向量相乘，相乘的順序是可以交換的。

下面給出m 階齊次多項(xiàng)式變量的定義。

定義4給定張量A∈Sm，n和向量x∈Rn，定義m 階齊次多項(xiàng)式變量為

引理1[28]若張量X∈Sm，n，則X 的對稱分解為

稱最小的 R 為 X 的對稱秩，記作 ranks（X）=R。

定理 1若張量 X∈Sm，n，則 X 可以分解為 X=I ×1A×2A×…×mA，其中 I =（Ii1i2…im）∈Sm，R，且

證明由引理1 知令 y=I ×A×A×…×A，則

下面運(yùn)用對稱張量分解得出多項(xiàng)式變量的部分性質(zhì)，以三階齊次多項(xiàng)式變量fA（x）=Ax3來展開討論。

定理 2若張量 A∈S3，n，隨機(jī)向量 x～Nn（μ，∑），其中 rank（∑）=n，則三階齊次多項(xiàng)式變量 fA（x）=Ax3的數(shù)學(xué)期望為

證明對∑進(jìn)行分解，有∑=ΦΦ′，rank（Φ）=n，令 z～Nn（0，In），μz=Φ-1μ，則 x=（μz+z），故

令 A×1Φ′×2Φ′×3Φ′=B，而 B 可以分解為 B=I ×B×B×B，則

令 y=B′（μz+z）～NR（B′μz，B′B），則其中故因此

式中

所以，E[fA（x）]=Aμ3+3tr（Aμ∑）。

定理 3若隨機(jī)向量 x～Nn（μ，In），給定常數(shù)矩陣 B∈Rm×n，設(shè) fA（x）=Ax3，則

證明

令 y=x-μ，則 y～Nn（0，In），元素 yl～N（0，1），l=1，2，…，n

下面分情況進(jìn)行討論：

定理 4若隨機(jī)向量 x～Nn（μ，∑），其中 rank（∑）=n，給定常數(shù)矩陣 B∈Rm×n，設(shè) fA（x）=Ax3，則

證明

式中 E[（x-μ）·A（x-μ）3]=Cov[（x-μ），A（x-μ）3]，對∑進(jìn)行分解，有∑=ΦΦ′，其中 rank（Φ）=n，令 z～Nn（0，In），則 x-μ=Φz，故

定理 5若隨機(jī)向量 x～Nn（μ，In），給定常數(shù)向量 b∈Rn，則對?μ，b′x 與 fA（x）=Ax3獨(dú)立?A×b=0，m′b=0，其中 m=[tr（Ae（1）） tr（Ae（2）） …tr（Ae（n））]′。

證明（?）由定理 4 可知

下面分情況進(jìn)行討論：

所以

故，若 A×b=0，m′b=0，則 Cov[b′x，Ax3]=0，b′x 與 Ax3獨(dú)立。

定理 6若隨機(jī)向量 x～Nn（0，∑），其中 rank（∑）=n1≤n，給定常數(shù)向量 b∈Rn，則 b′x 與 fA（x）=Ax3獨(dú)立?∑（A∑b）∑=0，tr（∑?Ab∑）=0。

證明對∑進(jìn)行分解，有∑=ΦΦ′，其中Φ∈Rn×n1，rank（Φ）=n1，令 z～Nn1（0，I），則 x=Φz，由定理 5 知，

定理 7若隨機(jī)向量 x～Nn（μ，∑），其中 rank（∑）=n1≤n，給定常數(shù)向量 B∈Rn，則 b′x 與 fA（x）=Ax3獨(dú)立?（Aμ2）′∑b＝0， ∑（Aμ）∑b＝0， ∑（A∑b）∑=0， tr（A∑b∑）=0。

證明對∑進(jìn)行分解，有∑=ΦΦ′，其中Φ∈Rn×n1，rank（Φ）=n1，令 z～Nn1（0，I），則

由性質(zhì)4 知

由定理6 知

且

即∑A∑b∑=0。

3 結(jié)語

將二次型變量的部分結(jié)果推廣到一般高次齊次多項(xiàng)式變量的情形，主要對三階齊次多項(xiàng)式變量fA（x）=Ax3進(jìn)行了研究。 首先，給出一般齊次多項(xiàng)式變量的定義；接著，以三階齊次多項(xiàng)式變量展開討論，利用對稱張量的對稱分解得出fA（x）的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而得出fA（x）與隨機(jī)向量的協(xié)方差；最后，給出fA（x）與隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件。