張記華，韋亞利，李 智，周小川

（上海機電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

在現(xiàn)代高技術作戰(zhàn)中，無源探測定位具有隱蔽性好、作用距離遠、防區(qū)外實施等優(yōu)點，為先敵發(fā)現(xiàn)、先敵攻擊創(chuàng)造了有利條件。

無源探測定位技術是利用目標輻射源的輻射信息探測目標，并確定目標位置的一種技術。在導彈攻防對抗中，利用無源探測定位技術，能在敵方防區(qū)外探測并定位目標，出其不意地對目標發(fā)起攻擊，實現(xiàn)遠程、主動、精確打擊目標。在短兵相接的伏擊戰(zhàn)中，利用無源探測定位技術能快速定位目標，即使敵方雷達關機，仍具備有效打擊目標的能力，實現(xiàn)對目標的防守反擊。目前，美國最新的AGM－88E先進反輻射導彈是在“哈姆”基礎上改進而來的，只要敵方雷達短暫開機，就能夠快速捕捉并定位目標，具備很強的抗目標雷達關機能力。

快速無源探測定位的技術需求是當目標對外輻射信息（雷達、導航、通信）時，在有限的時間內快速完成目標定位；其局限性是當目標不對外輻射信息時，無法實施無源探測定位。

根據(jù)定位站點分類，無源定位可分為單站定位和多站定位，站點可以是靜止的也可以是運動的；根據(jù)目標運動情況分類，無源定位可分為對靜止目標的定位和對運動目標的定位。

本文研究運動單站對靜止目標的無源定位方法，利用單個運動平臺（被動導引頭）對輻射源角度的連續(xù)測量，通過彈載信息處理手段，實現(xiàn)對輻射源目標的高精度定位，簡稱彈載單基測角被動定位技術。

1 系統(tǒng)建模

在發(fā)射點當?shù)氐乩碜鴺讼祪?，假設目標靜止不動，彈目相對位置關系如圖1所示。

圖1 導彈和目標相對位置Fig．1 Relative position of missile and target

選取彈目相對位置為狀態(tài)變量，導引頭測角信息為觀測量，彈目相對位置增量為控制量，則系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程為

已知被動測角信息 （qε，qβ）和導彈位置信息 （xM，yM，zM），由約束方程h（X）求解出狀態(tài)變量X，即可獲得目標位置信息 （xT，yT，zT），因此目標定位的實質可以轉化為非線性方程最優(yōu)求解或者狀態(tài)最優(yōu)濾波估計問題。

2 濾波算法

狀態(tài)濾波估計算法通常分為批處理法和序列濾波法。批處理法是指將按時間順序排列的測量數(shù)據(jù)集合在一起進行最優(yōu)估計。典型的批處理方法有最大似然估計法（maximum likelihood estimation，MLF）、非線性 最 小 二 乘 法 （nonlinear least square method，NLS）和 偽 線 性 估 計 法 （pseudo linear estimation，PLE）?？紤]數(shù)據(jù)處理實時性、計算量和存儲空間等因素，批處理法通常轉化為遞推方式，例如遞推最小二乘法（recursive least square method，RLS）。序列濾波方法是指將每次獲得的測量數(shù)據(jù)作為濾波器的輸入進行實時計算處理。相對于批處理方法，序列濾波方法具有計算量小、存儲空間少等優(yōu)點，例如擴展卡爾曼濾波法（extended Kalman filter method，EKF）、無跡卡 爾 曼 濾 波 法 （unscented Kalman filter method，UKF）、自適應擴展卡爾曼濾波法（adaptive extended Kalman filter method，AEKF）、有限差分擴展卡爾曼濾波法（finite difference extended Kalman filter method，F(xiàn)DEKF）等。

卡爾曼濾波在導航和制導信息處理方面應用廣泛［1］。文獻［2］基于單基測角制導體制，針對機載單站無源定位的精度和實時性問題，提出了一種基于角度信息的遞推最小二乘（RLS）無源定位算法；文獻［3］針對單站無源定位，提出了一種基于CV模型的卡爾曼濾波算法（EKF）；文獻［4］采用無跡卡爾曼算法（UKF）對抗雷達關機技術進行了研究；文獻［5］在導引頭測量信號包含有色噪聲條件下，提出了采用觀測方程重構思想的被動濾波算法；文獻［6］研究了有限差分卡爾曼濾波（FDEKF）方法在目標雷達被動定位中的應用；文獻［7］針對純方位目標運動分析中擴展卡爾曼濾波算法易發(fā)散的不足，提出了一種自適應卡爾曼濾波算法，利用極大后驗噪聲估計器Sage＿Husa對虛擬觀測噪聲進行實時在線估計，動態(tài)補償線性化帶來的誤差。

濾波處理的核心是非線性問題的次優(yōu)近似，通常采用非線性環(huán)節(jié)線性化的方法或者采樣近似非線性分布的方法。實現(xiàn)非線性環(huán)節(jié)線性化，可以采用Taylor級數(shù)展開，取有限項截斷，也可以采用偽線性化方法，通過恒等變換，將非線性函數(shù)映射為線性函數(shù)。實現(xiàn)采樣近似非線性分布，通常采用近似非線性函數(shù)的概率密度法。

下面分別選取遞推最小二乘法（RLS）、擴展卡爾曼濾波法（EKF）、無跡卡爾曼濾波法（UKF）、有限差分擴展卡爾曼濾波法（FDEKF）、自適應擴展卡爾曼濾波法（AEKF）進行算法分析。

2．1 遞推最小二乘法（RLS）算法

遞推最小二乘法的實質是將系統(tǒng)狀態(tài)觀測方程重寫為目標位置估計的狀態(tài)方程，如式（3）所示。每獲得一次數(shù)據(jù)，就更新一次狀態(tài)方程參數(shù)估計值。隨著觀測數(shù)據(jù)的增多，就能獲得滿意的狀態(tài)估計值。相對于批數(shù)據(jù)處理最小二乘法，遞推最小二乘法大大減少了計算量和存儲量，能夠實現(xiàn)在線實時估計。

根據(jù)三角函數(shù)變換關系，系統(tǒng)觀測方程可重寫為

當觀測矩陣M可逆時，系統(tǒng)狀態(tài)可觀測，且具有唯一解，遞推最小二乘算法實現(xiàn)如下。

式中：I2和I3為單位矩陣；k為迭代遞推次數(shù)。

b）更新估計狀態(tài)信息

2．2 擴展卡爾曼濾波法（EKF）算法

卡爾曼提出的濾波理論只適用于線性系統(tǒng)，BUCY等提出并研究了擴展卡爾曼濾波（EKF）［8］，將卡爾曼濾波理論進一步應用到非線性領域。EKF的基本思想是將非線性系統(tǒng)線性化，然后進行卡爾曼濾波，因此EKF是一種次優(yōu)濾波。

將非線性函數(shù)Taylor展開，保留一次項，令H（k＋1）＝｜＾（／），EKF遞推算法如式（6）所示。Xk＋1k

2．3 無跡卡爾曼濾波法（UKF）算法

EKF方法通過對非線性函數(shù)進行Taylor展開，取其一次項近似原函數(shù)。由于忽略了高階項，當系統(tǒng)非線性強時，線性化會使系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，甚至濾波發(fā)散。JULIER等提出了一種無跡卡爾曼濾波算法［9］，此方法摒棄了對非線性函數(shù)進行線性化的傳統(tǒng)做法，采用卡爾曼線性濾波框架，對于一步預測方程，使用無跡變換（unscented transform，UT）來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題。

UT變換原理為在原狀態(tài)分布中按某一規(guī)則選取一些采樣點，使這些采樣點的均值和協(xié)方差等于原狀態(tài)分布的均值和協(xié)方差；將這些點代入非線性函數(shù)中，得到相應非線性函數(shù)值的點集，通過這些點集求取變換后的均值和協(xié)方差。這樣得到的非線性變換后的均值和協(xié)方差精度最少具有2階精度（Taylor級數(shù)展開），對于高斯分布，可達到3階精度。其采樣點的選擇是基于先驗均值和先驗協(xié)方差矩陣的相關列實現(xiàn)的。

式中：λ＝α1（N＋j）－N為比例縮放參數(shù)，j的選擇一般使之滿足N＋j＝3，α1用于控制采樣點分布的距離，0≤α1≤1，一般取較小的數(shù)值；對于正態(tài)分布，一般取α2＝2；（）i是 （N＋λ的平方根矩陣的第i行（列），可以利用Cholesky分解進行計算；Wi是第i個采樣點Xi的權值，并有＝1。

確定了采樣點就可以求取狀態(tài)和觀測量的均值估計值和協(xié)方差估計值，該精度可以達到Taylor展開的二次項，UKF的遞推算法與EKF類似，這里不再贅述。

2．4 有限差分擴展卡爾曼濾波法（FDEKF）算法

有限差分擴展卡爾曼濾波（FDEKF）是擴展卡爾曼濾波（EKF）的一種改進算法，其實質就是應用有限差分代替非線性函數(shù)的偏導計算，其精度高于Taylor級數(shù)的一階展開，對模型參數(shù)變動具有較強的魯棒性，并且適用于各種非線性函數(shù)。

對EKF中的矩陣P進行Cholesky分解，如式（8）所示。

利用一階中心差分計算非線性觀測方程的偏導數(shù)，如式（9）所示。

FDEKF的遞推算法詳見文獻［6］，這里不再贅述。

2．5 自適應擴展卡爾曼濾波法（AEKF）算法

擴展卡爾曼濾波算法要求知道先驗的噪聲統(tǒng)計，然而有時噪聲的統(tǒng)計特性是未知的或不準確的，甚至可能是時變的。錯誤的噪聲統(tǒng)計會產(chǎn)生濾波誤差，甚至使濾波發(fā)散，這也正是EKF的局限性。利用虛擬噪聲技術，非線性系統(tǒng)的線性化誤差在一定程度上可以歸為線性系統(tǒng)模型中的一種噪聲。因此，用自適應濾波在線估計虛擬噪聲的統(tǒng)計特性，可以降低線性化誤差，提高非線性濾波的精度。

非線性函數(shù)線性化過程與擴展卡爾曼的線性化過程相同，這里不再贅述。對于時變噪聲特性，應強調新近數(shù)據(jù)的作用，逐漸遺忘過去的數(shù)據(jù)［7］。引入遺忘因子d，采用漸消記憶方法實現(xiàn)改進的時變噪聲統(tǒng)計估值器。

AEKF與EKF的遞推算法區(qū)別在于預測觀測量噪聲協(xié)方差矩陣不同，AEKF的預測觀測量噪聲協(xié)方差矩陣如式（10）所示。

式中，dk＝，b取值范圍0～1，通常取值0．95。

3 仿真分析

3．1 被動測角誤差模型

被動測量誤差包括兩類：系統(tǒng)噪聲誤差和測角零位誤差，比相測角體制的理論誤差模型描述如式（11）所示。

式中：（θε，θβ）為理論計算值；（Δθε，Δθβ）為由測角零位和系統(tǒng)噪聲引起的測量誤差值。

依據(jù)上述理論模型，給出了典型頻點被動測角的理論計算值和含測角誤差的理論測量值，如圖2所示。

圖2 被動測角理論計算值和理論測量值Fig．2 Theoretical true value and theoretical measurement value of passive angle measurement

3．2 仿真結果

假設目標位置為（59 161．0，5．0，0．0），導彈縱向平面彈道曲線如圖3所示。

圖3 縱向平面彈道曲線Fig．3 Longitudinal plane ballistic curve

基于理論被動測角誤差模型和上述運動軌跡，分別采用遞推最小二乘法（RLS）、擴展卡爾曼濾波法（EKF）、無跡卡爾曼濾波法（UKF）、有限差分擴展卡爾曼濾波法（FDEKF）、自適應擴展卡爾曼濾波法（AEKF）等進行仿真分析。

以AEKF為例，仿真分析情況如下。

1）初值估計的影響

圖4給出了不同估計初值誤差下AEKF的仿真結果。估計初值誤差越大，收斂時間越短；估計初值誤差越小，收斂時間越長。這說明估計初值誤差對定位收斂時間影響較大。

估計初值誤差對收斂精度也有不同程度的影響，大體趨勢表現(xiàn)為初值估計誤差越大。收斂精度越差。圖4中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標要求。

圖4 不同初值誤差仿真結果（AEKF）Fig．4 Simulation results of different initial value errors（AEKF）

2）測量誤差大小的影響

圖5給出了不同測量誤差的仿真結果。不同測量誤差對AEKF收斂時間影響不大，主要影響收斂精度。測量誤差越小，收斂精度越高；測量誤差越大，收斂精度越低。圖中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標要求。

圖5 不同測量誤差仿真結果（AEKF）Fig．5 Simulation results of different measurement errors（AEKF）

3）采樣周期的影響

圖6給出了不同采樣周期下的仿真結果。采樣周期越短，AEKF的收斂時間越短，收斂精度也高；采樣周期越長，AEKF的收斂時間越長，收斂精度也越差。圖中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標要求。

圖6 不同采樣周期仿真結果（AEKF）Fig．6 Simulation results of different sampling periods（AEKF）

4）觀測量噪聲的影響

若觀測量噪聲的統(tǒng)計特性未知或不準確，自適應擴展卡爾曼濾波仍然收斂，魯棒性強，如圖7所示。圖中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標要求。

圖7 不同測量噪聲協(xié)方差矩陣的仿真結果（AEKF）Fig．7 Simulation results of covariance matrix of different measurement（AEKF）

3．3 綜合評價

結合工程應用實際，從線性化精度（4分）、初值估計誤差的影響（1．5分）、測量誤差大小的影響（1．0分）、采樣周期的影響（0．5分）、測量噪聲的影響（2．0分）以及算法復雜度（1．0分）等方面進行綜合評價，綜合分析不同濾波算法的仿真結果，評價結果如表1所示。

表1 非線性濾波算法綜合評價結果Table．1 Comprehensive evaluation results of nonlinear filtering algorithm

由表1可知：

1）得分較高的是RLS和AEKF，分別為7．3和7．0，得分高的原因是其魯棒性強；

2）得分次之的是UKF和FDEKF，得分均為6．3，UKF線性化精度高但算法復雜，而FDEKF算法簡單且線性化精度不差；

3）得分最低的是EKF，原因是線性化精度和魯棒性均不突出。

4 結束語

本文以彈載單基測角被動定位為例，構建了系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程，將被動定位問題轉換為狀態(tài)濾波最優(yōu)估計問題，理論分析了不同非線性濾波算法的原理，并給出遞推算法模型。結合工程實例，開展了仿真分析工作，從線性化精度、初值誤差估計、測量誤差、采用周期、觀測噪聲以及算法復雜度等方面進行了綜合評分，得出了遞推最小二乘法和自適應擴展卡爾曼濾波算法得分較高的結論。