趙慧　趙晶　曾偉

【摘? 要】為了實現(xiàn)對平行互質(zhì)陣列的孔徑擴展，提升信號波達方向估計性能，基于平行互質(zhì)陣列，首先給出一種改進陣列結(jié)構(gòu)，然后采用共軛空時增廣的思想，得到一種對稱的平行互質(zhì)虛擬陣列，由于共軛空時增廣聯(lián)合利用了信號在空間、時間的特征，使得擴展的虛擬陣列比現(xiàn)有方法具有更多的虛擬陣元數(shù)和自由度，最后利用稀疏重建方法，實現(xiàn)二維波達方向的估計。仿真實驗均驗證了所提出的方法在估計精度上的有效性。

【關(guān)鍵詞】二維波達方向估計;平行互質(zhì)陣列;共軛空時增廣;虛擬陣列

doi：10.3969/j.issn.1006-1010.2020.03.009? ? ? ? 中圖分類號：TN911

文獻標志碼：A? ? ? ? 文章編號：1006-1010（2020）03-0043-06

引用格式：趙慧，趙晶，曾偉. 一種基于平行互質(zhì)陣列時空擴展的二維波達方向估計[J]. 移動通信， 2020，44（3）： 43-48.

2-D DOA Estimation Method Based on the Spatial-temporal Augmentation of Parallel Co-prime Array

ZHAO Hui1， ZHAO Jing2， ZENG Wei2

（1.Chinese People's Liberation Army 75841， Changsha 410000， China;

2. School of Electronic and Information Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510640， China）

[Abstract]?In order to achieve the expansion of the parallel co-prime array， and improve performance of the direction-of-arrival （DOA） estimation， this paper firstly proposes an improved array structure based on the parallel co-prime array， and then the symmetry parallel co-prime virtual array is obtained by utilizing the idea of conjugate spatial-temporal augmentation. By jointly utilizing the signal characteristics of space and time domain based on the conjugate spatial-temporal augmentation， the number of virtual array elements and degrees of freedom can be further improved. Finally， the sparse reconstruction method is used to estimate the two-dimensional （2-D） direction of arrival. Simulation experiments verifies the effectiveness of the proposed method in estimating accuracy.

[Key words]two-dimensional direction of arrival estimation; parallel co-prime array; conjugate spatial-temporal augmentation; virtual array

0? ?引言

波達方向（DOA， Direction of Arrival）估計是信號處理中的一個重要研究內(nèi)容，在雷達、聲吶、以及無線通信等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1-2]。近年來，由于非均勻陣列[3-6]能獲得更大的陣列孔徑和更高的自由度，基于非均勻陣列的DOA估計方法受到越來越多的關(guān)注。文獻[7]提出一種名叫互質(zhì)（Co-prime）陣列的非均勻陣列，由兩個陣元數(shù)量（M、N）互為質(zhì)數(shù)的均勻子線陣構(gòu)成。在互質(zhì)陣列上應(yīng)用基于Khatri-Rao子空間方法[8]所能估計的信源數(shù)目的數(shù)量級可以達到O（MN）。文獻[9]提出了可使互質(zhì)陣列拓展出求和求差陣列（Sum and Difference Co-Array）的方法，該方法使得虛擬陣元又進一步得到拓展。文獻[10]提出一種基于平行互質(zhì)陣列的無需成對匹配的二維DOA估計方法，該方法利用接收信號不同時滯的二階統(tǒng)計數(shù)據(jù)，通過共軛空時拓展[11]虛擬陣列增加虛擬陣元的數(shù)量，然后向量化虛擬陣元的接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，構(gòu)造出求和求差陣列，從而大大提升了陣列的自由度。

本文提出了一個基于互質(zhì)平行陣列時空擴展的二維DOA估計方法。首先，我們在互質(zhì)平行陣列的基礎(chǔ)上增加了兩個額外的陣元，利用信號自相關(guān)函數(shù)的共軛對稱性，得到不同時滯的自相關(guān)函數(shù)，將該自相關(guān)函數(shù)作為新的接收數(shù)據(jù)，并求新的數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，最后通過稀疏重構(gòu)的方法估計DOA。所提出的方法能利用空間和時間信息擴展互質(zhì)平行陣列，提高陣列孔徑和自由度以及DOA估計性能。

1? ?平行互質(zhì)陣列及信號模型

平行互質(zhì)陣列由兩個均勻線性陣列組成，如圖1所示，★表示信號源，均勻線陣分別有M和N個陣元，且M和N互質(zhì)。線陣1和線陣2的陣元間距分別為Nd和Md，其中單位間距d為d=λ/2，兩個子陣的間距為d=λ/2。

考慮K個遠場窄帶不相關(guān)目標信號源s（t）=[s1（t），

s2（t），...，sK（t）]T，信號源的俯仰角為=[θ1，θ2，…θK]，方位角為=[φ1，φ2，…，φK]，信號源與y-axis的夾角為=[a1，a2，…，aK]，與x-axis的夾角為=[β1，β2，…，βK]，兩個子陣分別接收到N×1和M×1的數(shù)據(jù)向量，表達式分別如下：

x1（t）=A1（α）s（t）+z1（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

x2（t）=A2（α）f（β）s（t）+z2（t） （2）

式中，兩個接收陣列上產(chǎn)生的加性噪聲矢量分別記作為z1（t）和z2（t），且為獨立同分布的零均值高斯白噪聲隨機變量，其方差為σ2z，A1（α）=a1（α1），… ，a1（αK）]∈CM×K和A2（α）=a2（α1），… ，a2（αK）]∈CN×K分別為子陣1和子陣2的方向矩陣，其中兩個子陣的第k（k=1，2，…，K）個信源的方向向量分別為：

a1（αk）=[1，ejπNcos（αk），… ，ejπ（M-1）Ncos（αk）]T ? ? ? ? ?（3）

a2（αk）=[1，ejπMcos（αk），… ，ejπ（N-1）Mcos（αk）]T? ? ? （4）

f（β）=diag（e-jπcos（β1），e-jπcosβ2… ，… ，e-jπcosβK），diag（）表示對角矩陣，其中信號源與y-axis和x-axis的夾角和與θk俯仰角和方位角的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

（5）

2? ?二維DOA估計

2.1? 陣元結(jié)構(gòu)設(shè)計及共軛空時擴展

在原有平行互質(zhì)陣列基礎(chǔ)上增加兩個單獨的陣元分別位于坐標點（λ，0），（-λ/2，0），得到如圖2所示的陣列形式，用坐標點（am，bm）∈L，（an，bn）∈L表示陣列中的兩個不同的陣元，對應(yīng)的接收信號表示為xm（t）和xn（t），其中1≤m≤M1+M2，1≤n≤M1+M2。將陣列中各個陣元編號，子陣1中陣元編號從1到M1，子陣2中陣元編號從M1+1到M1+M2。則陣元（λ，0）的接收信號為：

sk（t）e-j2πcosβk+z4（t）? ? ? ? ? ? （6）

陣元（-λ/2，0）的接收信號表示為：

sk（t）e-j2πcosβk+z3（t） （7）

協(xié)方差函數(shù)中的時間延遲τ大于0，xm（t）和xn（t）的協(xié)方差表示為：

（8）

其中，Rsksk表示為：

（9）

Rzmzn（τ）表示為：

（10）

因此，公式（8）可以表示為：

（11）

（1）對陣元（0，0）共軛增廣

使（an，bn）=（0，0），則由公式（11）可得：

（amcos（βk）+bmcos（αk））]

（12）

記RS（τ）=[RS1S1（τ），RS2S2（τ），… ，RSkSk（τ）]T，

R（1）（τ）=[Rx1x1（τ），Rx2x1（τ），… ，RxM1x1（τ）]T，

R（2）（τ）=[RxM1+1x1（τ），… ，RxM1+M2x1（τ）]T，則對子陣1和子陣2分別有：

R（1）（τ）=A1Rs（τ），R（2）（τ）=A2fRs（τ）? ? （13）

因為RS（τ）=R*S（-τ），所以（R（1）（-τ））*=A*1Rs（τ）。分別用A-1和R（1-）（τ）表示A*1和（R（1）（-τ））*的最后M1-1行，則有：

R（1-）（τ）=A-1Rs（τ）? （14）

（2）對陣元（λ/2，0）共軛增廣

使（an，bn）=（λ/2，0），則公式（11）可以表示為：

cos（βk）+bmcos（αk））] （15）

令R（1'）（τ）=[Rx1xM1+1（τ），… ，RxM1xM1+1（τ）]T，

R（2'）（τ）=[RxM1+1xM1+1（τ），… ，RxM1+M2xM1+1（τ）]T，則有：

R（1'）（τ）=A1f*RS（τ），R（2'）（τ）=A2RS（τ） （16）

因為Rs（τ）=R*S（-τ），所以（R（1'）（-τ））*=A*1fRS（τ），R（2'）（-τ））*=

A*2RS（τ），令R（1'-）（τ）表示R（1'）（-τ））*的后面M1-1行，A-2和R（2'-）（τ）分別表示A2*和R（2'）（-τ））*的后M2-1行，有：

R（1'-）（τ）=A-1fRS（τ），R（2'-）（τ）=A-2RS（τ） （17）

（3）對陣元（-λ/2，0）共軛增廣

使（an，bn）=（-λ/2，0），則公式（11）可以表示為：

（18）

記RS（τ）=[RS1S1（τ），RS2S2（τ），…，RSkSk（τ）]T，

R（3）（τ）=[Rx1y（τ），… ，RxM1y（τ）]T，對子陣1則有：

R（3）（τ）=A1fRS（τ）? ? ? ? （19）

（4）對陣元（λ，0）共軛增廣

使（an，bn）=（λ，0），則公式（11）可以表示為：

（20）

令R（4）（τ）=[RxM1+1w（τ） ，…，RxM1+M2w（τ）]T，對子陣2則有：

R（4）（τ）=A2f*RS（τ）? （21）

因為RS（τ）=R*S（-τ），所以R（4）（-τ））*=A*2fRS（τ），用A_2和R（4-）（τ）分別表示（R（4）（-τ））*和A*2的后M2-1行，對子陣2則有：

R（4-）（τ）=A-2fRS（τ）? （22）

由公式（13）、（14）、（16）、（17）、（19）、（22）可得到如下虛擬數(shù)據(jù)：

（23）

（24）

通過增加兩個陣元，讓子陣1的接收數(shù)據(jù)對陣元（-λ/2，0）的接收數(shù)據(jù)作相關(guān)運算，子陣2的接收數(shù)據(jù)對陣元（λ，0）的接收數(shù)據(jù)作相關(guān)運算得到了數(shù)據(jù)R（3）（τ）、R（4-）（τ），從而產(chǎn)生了更多虛擬接收數(shù)據(jù)。如圖3所示，子陣1的接收數(shù)據(jù)對陣元（-λ/2，0）的接收數(shù)據(jù)作相關(guān)運算，得到了第一象限中子陣1的虛擬陣列，子陣2的接收數(shù)據(jù)對陣元（λ，0）的接收數(shù)據(jù)作相關(guān)運算，得到了第二象限中子陣2的虛擬陣列。與文獻[10]中的陣列相比，圖3中的共軛空時陣列的陣元數(shù)為4×（M1+M2）-6（6個虛擬子陣重復(fù)6個），當(dāng)M1+M2>2時，共軛時空拓展陣列包含更多的陣元以及更大的陣列孔徑，可用該陣列來提高陣列的自由度。

對R1（τ）和R2（τ）以不同時延τ采樣得到偽數(shù)據(jù)矩陣：r2=[R1（TS），R1（2TS），…，R1（NpTS）]和r2=[R2（TS），R2（2TS），…，R2（NpTS）]，求得r1和r2的互協(xié)方差矩陣RC，并矢量化r=vec（RC）=Au，得到等效的求和求差虛擬陣列。

2.2? 算法與步驟

在對互質(zhì)陣列接收信號進行估計時，若對接收信號協(xié)方差矩陣矢量化，再對其做空間平滑處理，這就會導(dǎo)致虛擬陣列的有效孔徑減小，從而影響估計的性能。如果采用稀疏重構(gòu)的算法[13-14]，則不用對數(shù)據(jù)進行空間平滑處理，不會導(dǎo)致虛擬陣列的孔徑降低。

因此，在得到陣列的互協(xié)方差矩陣RC后，對其矢量化得到：

r=vec（RC）=Au （25）

式中，可將r當(dāng)作新的接收向量，將A看作虛擬陣列的方向矩陣，u表示對應(yīng)的信號矢量。基于新的虛擬信號模型，使用稀疏重構(gòu)算法算出矢量u，根據(jù)矢量u中非零元素的所在的網(wǎng)格位置計算各個信號的方向角。根據(jù)稀疏重構(gòu)理論，首先構(gòu)造過完備字典Θ，將空間劃分為多個網(wǎng)格{θ1，θ2… ，θD}（D>>K），真正的波達方向必定位于其中的網(wǎng)格附近。由于本文研究重點在于互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)以及對互質(zhì)陣列進行共軛空時拓展對DOA估計性能的提升，為描述簡單，假設(shè)真實DOA精確落在所劃分的網(wǎng)格上。過完備字典由所有可能的方向{θ1，θ2，… ，θD}（D>>K）構(gòu)成：

Θ=[a*（θ1）a*（θ1）…a*（θD）a（θD）] （26）

因此得到求解DOA的稀疏重建問題為：

（27）

其中η是平衡稀疏度的正則化參數(shù)。求解出n～中非零元素μk網(wǎng)格位置可求出水平角，俯仰角由如下公式求得：

βk=arccos（-angle（uk）/π），k=1，2，…，K （28）

算法步驟如下所示。

輸入：子陣1，子陣2和新增陣元的接收信號X1（t），X2（t），y（t），W（t）

1）X1（t）和X2（t）分別對原有參考陣元（0，0），（λ/2，0）以及增加的參考陣元（-λ/2，0），（λ，0）的數(shù)據(jù)求互相關(guān)，以及利用相關(guān)函數(shù)的共軛對稱性得到式（13）、（14）、（16）、（17）、（19）、（21）、（22）。

2）構(gòu)建空間-時間虛擬陣列，由步驟1）求得的數(shù)據(jù)，構(gòu)建虛擬陣列接收信號，即式（23）、（24）。

3）對R1（τ）和R2（τ）以不同時延τ采樣得到偽數(shù)據(jù)矩陣r1和r2，求得r1和r2的互協(xié)方差矩陣RC，并矢量化r=vec（RC）=Au，得到等效的求和求差虛擬陣列。

4）構(gòu)造過完備字典Θ來替代A，對步驟3）得到的向量r按照式（27）進行稀疏重建，求解出n～中非零元素uk網(wǎng)格位置，并按式（28）求得俯仰角。

輸出：a'和a^

3? ?仿真與分析

為公平比較本文所提出的改進的共軛時空拓展DOA估計方法與文獻[10]中的共軛拓展DOA估計方法的性能，實驗中去掉了文獻[10]在稀疏求解算法部分的迭代優(yōu)化過程。

仿真一：兩種基于共軛空時拓展的二維DOA估計算法分辨力比較。

假定有不相關(guān)遠場窄帶信號，七個目標信號源的角度均勻分布在（70°，70°）到（100°，100°）范圍內(nèi)，子陣1和子陣2的數(shù)量分別為M1=4， M2=3。陣列接收到的噪聲是高斯白噪聲，信噪比固定為10 dB，采樣數(shù)N為500，正則化參數(shù)設(shè)置為8。兩種算法都進行500次獨立蒙特卡羅實驗。實驗結(jié)果如圖4所示：

從圖4可看出，在信源角度比較接近的時候，本文所提出的方法的分辨力要優(yōu)于文獻 [10]中的方法。

仿真二：不同信噪比下兩種基于共軛空時拓展的DOA估計算法性能比較

假定有不相關(guān)遠場窄帶信號，五個目標信號源的角度分別為（25°，83°），（36°，71°），（47°，59°），（58°，47°），（69°，35°），子陣1和子陣2的數(shù)量分別為M1=4，M2=3。陣列接收到的噪聲是高斯白噪聲，信噪比的范圍為-10 dB到20 dB，采樣數(shù)為N=500，正則化參數(shù)設(shè)置為8。兩種算法都進行了500次獨立蒙特卡羅實驗，所得到的仿真性能圖如圖5所示。

從圖5可以看出，在信噪比從-10 dB到20 dB的范圍里，本文所提出的兩種陣列結(jié)構(gòu)的DOA估計性能都優(yōu)于原平行互質(zhì)陣列。

4? ?結(jié)論

本文對平行互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)進行了改進，對原有的平行互質(zhì)陣列進行了補充，通過共軛空時拓展得到更多的虛擬陣元，使得虛擬陣列構(gòu)成的求和求差陣列陣元數(shù)更多，自由度更高。通過仿真實驗，上述成果得到了有效的驗證。

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作者簡介

趙慧（orcid.org/0000-0003-1572-5496）：工程師，碩士畢業(yè)于華南理工大學(xué)，現(xiàn)任職于中國人民解放軍75841部隊，主要研究方向為無線通信與信號處理。

趙晶：華南理工大學(xué)通信與信息系統(tǒng)專業(yè)在讀碩士研究生，主要研究方向為陣列信號處理。

曾偉：華南理工大學(xué)通信與信息系統(tǒng)專業(yè)在讀碩士研究生，主要研究方向為陣列信號處理。