胡曉偉　安立雄　王憲倫

摘? ?要：針對(duì)機(jī)器人在不確定環(huán)境下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡的準(zhǔn)確性及平穩(wěn)性問(wèn)題，采用基于遺傳算法（GA）優(yōu)化徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡規(guī)劃方法對(duì)Kinova Mico2機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃研究。介紹了機(jī)器人的相關(guān)參數(shù)及坐標(biāo)系、建立了D-H矩陣和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。提取機(jī)器人實(shí)際抓取物品的直線軌跡并等分插補(bǔ)，用GA優(yōu)化并實(shí)時(shí)在線更新RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，以更優(yōu)的權(quán)值參數(shù)建立新的RBF網(wǎng)絡(luò)。研究結(jié)果表明：相比優(yōu)化前，基于GA優(yōu)化RBF的規(guī)劃軌跡逼近誤差小且平滑穩(wěn)定，仿真結(jié)果較為穩(wěn)定，軌跡規(guī)劃的可行性滿足機(jī)器人實(shí)際抓取工作的需要。

關(guān)鍵詞：遺傳算法;機(jī)器人;RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);軌跡規(guī)劃

中圖分類號(hào)：TP249? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Robot Trajectory Planning Based on GA Optimized RBF Neural Network

HU Xiao-wei，AN Li-xiong，WANG Xian-lun

（College of Electromechanical Engineering，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao，Shangdong 266042，China）

Abstract：Aiming at the accuracy and stability of the end effector's motion trajectory in uncertain environment，the trajectory planning method based on neural network of optimized radial basis function（RBF） with genetic algorithm（GA） is used to study the trajectory planning of Kinova Mico2 robot. The related parameters and coordinate system of the robot are introduced，and the D-H matrix and kinematics model are established. Extract the linear trajectory of the robot to actually grab the item and divide it equally，use GA to optimize and update the weight of the RBF neural network online，and establish a new RBF network with better weight parameters.The research results show that the planning trajectory approximation error based on GA optimization RBF is small and smooth and stable，and the simulation results are stable. The feasibility of trajectory planning can meet the needs of the actual robot grabing work.

Key words：genetic algorithm;robot;RBF neural network;trajectory planning

大多數(shù)機(jī)器人末端執(zhí)行器安裝有夾具以適應(yīng)不同物體的抓取。機(jī)器人從抓取起始位到放置位的軌跡因控制系統(tǒng)采用軌跡插補(bǔ)算法，且因本體基座不穩(wěn)、電機(jī)扭矩不足、慣性力大等不確定因素，不可避免使末端執(zhí)行器存在運(yùn)動(dòng)不流暢或沖擊力較大的問(wèn)題，直接導(dǎo)致其無(wú)法準(zhǔn)確到達(dá)抓取點(diǎn)位置。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程大多存在逼近效果差、運(yùn)動(dòng)軌跡不連續(xù)、抓取精度低等問(wèn)題，當(dāng)機(jī)器人工作在不確定環(huán)境下時(shí)問(wèn)題尤為突出。引入適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃算法勢(shì)在必行。

徑向基函數(shù)（Radial Basis Functions）廣泛應(yīng)用于全局或局部?jī)?yōu)化中，能快速收斂逼近任意非線性函數(shù)[1]。在解決相同精度問(wèn)題時(shí)，RBF作為前饋型網(wǎng)絡(luò)較BP網(wǎng)絡(luò)具備節(jié)點(diǎn)配置更靈活、泛化能力更好等優(yōu)點(diǎn)。但RBF網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)若選擇不當(dāng)則會(huì)導(dǎo)致訓(xùn)練迭代誤差過(guò)大或數(shù)據(jù)不收斂。利用遺傳算法GA其魯棒性強(qiáng)、全局并行搜索能力高等特點(diǎn)優(yōu)化RBF的權(quán)值參數(shù)以提高預(yù)測(cè)精度并避免局部極小值。為了更好保證機(jī)器人末端執(zhí)行器按照期望的軌跡運(yùn)動(dòng)[2]，文獻(xiàn)[3]提出了沿預(yù)定幾何路徑的時(shí)間最優(yōu)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，將其應(yīng)用于六軸工業(yè)機(jī)械手，借助加速度計(jì)等儀器跟蹤了誤差，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)施加軌跡約束的重要性。文獻(xiàn)[4]僅采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)6DOF機(jī)器人軌跡進(jìn)行誤差研究及軌跡規(guī)劃，因RBF算法本身缺陷未能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)不確定環(huán)境下機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，更無(wú)法進(jìn)一步補(bǔ)償誤差。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值函數(shù)的快速擴(kuò)展隨機(jī)樹（RRT），用來(lái)規(guī)避RBF陷入局部極小點(diǎn)，保證了系統(tǒng)在機(jī)器人動(dòng)力參數(shù)已知的情況下實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的軌跡規(guī)劃。文獻(xiàn)[6]基于GA遺傳算法對(duì)模糊RBF網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值參數(shù)優(yōu)化用來(lái)控制外骨骼靈敏度的放大比例。通過(guò)在線調(diào)整權(quán)值的方式更好地提升非線性曲線的擬合收斂速度，在機(jī)器人跟隨人體運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)有較高的精度。

針對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器在線優(yōu)化軌跡規(guī)劃的研究較少，本研究以實(shí)驗(yàn)室已有加拿大Kinova公司生產(chǎn)的Mico2機(jī)械臂為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，提出了基于GA優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃?rùn)C(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。RBF克服不確定環(huán)境下的機(jī)器人受到擾動(dòng)產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)誤差以逼近控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡，GA則在線優(yōu)化更新RBF的權(quán)值參數(shù)?；舅悸肥鞘紫韧ㄟ^(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析并插補(bǔ)分割機(jī)器人末端執(zhí)行器抓取目標(biāo)的直線軌跡，并將各點(diǎn)轉(zhuǎn)化為六軸關(guān)節(jié)角相應(yīng)的弧度;接下來(lái)建立RBF網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練得到一組較優(yōu)的離散解;最后通過(guò)GA對(duì)RBF優(yōu)化訓(xùn)練權(quán)值，使用新網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化得到最優(yōu)離散解。使最終得到的最優(yōu)規(guī)劃路徑能夠滿足實(shí)際的機(jī)械手抓取要求。

1? ?引入機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

采用Mico2末端非正交六軸機(jī)械臂如圖1所示，機(jī)器人自帶夾具作為末端執(zhí)行器。

在規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡之前，需先求得機(jī)器人本體的各軸關(guān)節(jié)角與末端執(zhí)行器工作空間笛卡爾坐標(biāo)系位姿的關(guān)系，即建立改進(jìn)的D-H矩陣如表1所示，以求解正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)得到位姿矩陣和各關(guān)節(jié)角 ，通過(guò)各軸坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到末端執(zhí)行器的實(shí)際工作位置和姿態(tài)。求得正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系后進(jìn)行手眼標(biāo)定，確定好工業(yè)相機(jī)與機(jī)器人夾具的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，以“手在眼外”的方式安裝相機(jī)。

圖1? ?Mico2機(jī)器人坐標(biāo)系

表1? ?機(jī)器人的連桿D-H參數(shù)表

Table 1? ?D-H parameter table of linkages for robots

工業(yè)相機(jī)拍攝抓取場(chǎng)景重建點(diǎn)云模型，用以確定待抓目標(biāo)物的抓取點(diǎn)坐標(biāo)。描述末端執(zhí)行器相對(duì)于基座的位置關(guān)系BTT：

BTT = R? ?T0? ? 1? ? （1）

其中矩陣R表示機(jī)械手末端執(zhí)行器姿態(tài)，T表示位置三維坐標(biāo)。

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)

通過(guò)D-H矩陣參數(shù)采用后置坐標(biāo)系法建立各連桿坐標(biāo)系的變換關(guān)系：

i-1iT =? ? cθ? ? ? ? ? -sθi? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ai-1 sθicai-1? ? ?cθicai-1? ? ?-sai-1? ? ?-sai-1disθisai-1? ? ?cθisai-1? ? ? cai-1? ? ? ? cai-1di? ? 0? ? ? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ?1（2）

其中cθi為cosθi的簡(jiǎn)寫，sai-1為sin ai-1的簡(jiǎn)寫等。

將各連桿參數(shù)代入式（2）得到各連桿齊次變換矩陣，按序相乘得

06T = 01T 12T 23T 34T 45T 56T? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

因Mico2機(jī)器人腕部三個(gè)關(guān)節(jié)非正交，不滿足Pieper準(zhǔn)則，因此需根據(jù)牛頓數(shù)值迭代法對(duì)其進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

通過(guò)式（3）可實(shí)現(xiàn)在機(jī)器人工作范圍內(nèi)給定六軸關(guān)節(jié)角弧度值θi計(jì)算得出末端執(zhí)行器唯一位姿解，即完成運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。反之已知末端執(zhí)行器位姿4 × 4位姿矩陣可通過(guò)數(shù)值迭代求解六軸關(guān)節(jié)的各轉(zhuǎn)角弧度值，即完成運(yùn)動(dòng)學(xué)反解。進(jìn)一步通過(guò)構(gòu)建雅可比矩陣求得各連桿鉸接處關(guān)節(jié)速度。

1.2? ?插補(bǔ)算法

為縮短抓取時(shí)間，采用起始位至抓取位的空間點(diǎn)對(duì)點(diǎn)三維直線路徑。已知相對(duì)于機(jī)器人基座坐標(biāo)系的空間始末兩點(diǎn)Ps（xs，ys，zs）、Pe（xe，ye，ze），根據(jù)均速v及間隔時(shí)間 即可得到插補(bǔ)總數(shù)N：

N=（■/vti） + 1

（4）

各插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值為：

xi+1 = xi + i（xs - xe）/Nyi+1 = yi + i（ys - ye）/Nzi+1 = zi + i（zs - ze）/N? ? ? ? ? （5）

2? ?RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)特性

2.1? ?RBF逼近理念

RBF網(wǎng)絡(luò)具備不同于BP網(wǎng)絡(luò)所具有的局部逼近特性[7-9]。每當(dāng)非線性軌跡矩陣輸入時(shí)，由于高斯分布公式在RBF中用作神經(jīng)元激活函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)與輸入樣本向量所接近的神經(jīng)元（隱含層非線性映射）及權(quán)值才運(yùn)作。相對(duì)于BP的全局優(yōu)化，RBF則能以更快的速度和更小的計(jì)算量逼近輸出值，更好地克服了隱含層過(guò)擬合現(xiàn)象。RBF函數(shù)逼近模型為：

yo = ■gio？準(zhǔn)（‖x-ui‖2），（o = 1，…，p）? ? （6）

一般地，隱含層激活函數(shù)一般為：

？準(zhǔn)（‖x-ui‖）=exp（-‖x-ui‖2/σ2）? ? ?（7）

其中‖x-ui‖輸入與基函數(shù)差向量的2范數(shù); yo為網(wǎng)絡(luò)輸出量;ui為第 個(gè)節(jié)點(diǎn)的中心矢量;p為隱含層神經(jīng)元數(shù);？準(zhǔn)為高斯核函數(shù);g為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣;σ為高斯常數(shù)。顯然，每個(gè)輸入值在不同的隱含層節(jié)點(diǎn)都會(huì)輸出一個(gè)基于高斯核函數(shù)的值，且最終輸出值為最接近中心矢量的值。

2.2? ?RBF確定權(quán)值參數(shù)

RBF屬前向型網(wǎng)絡(luò)，包含輸入層、隱含層及輸出層三層[10-12]。各隱含層神經(jīng)元的輸出按照各自g加權(quán)求和得到線性輸出層。設(shè)定近乎小的正實(shí)數(shù)δ、軌跡插補(bǔ)矩陣x和最優(yōu)軌跡插補(bǔ)矩陣X*，存在最優(yōu)權(quán)值g*滿足：

max‖X* - x‖≤δ? ? ? ?（8）

X* = （g*）T？準(zhǔn)（‖x-ui‖2）? ? ? （9）

因此當(dāng)且僅當(dāng)μ = X* - x無(wú)限收斂與零時(shí)，可以準(zhǔn)確并快速逼近輸出值。

3? ?GA優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)的軌跡規(guī)劃

3.1? ?GA優(yōu)化理念

針對(duì)權(quán)值g的訓(xùn)練方式大部分采用LMS、PSO、GA等方式，遺傳算法GA具有更好的并行全局搜索能力，在訓(xùn)練過(guò)程中自適應(yīng)并控制訓(xùn)練過(guò)程。

為了解決實(shí)際問(wèn)題，將GA算法以合適的形式合理構(gòu)造[13]，在算法規(guī)定的迭代過(guò)程中，以N作為種群規(guī)模，每次迭代生成參數(shù)值：

αn = gT? ? n = 1，2，3，…，N? ? ? （10）

設(shè)定各關(guān)節(jié)角誤差因子及迭代最小值目標(biāo)函數(shù)：

ηi = θi - θ*i? ? i = 1，2，3，4，5，6? ? ? （11）

Ln = ■ηi? ? n = 1，2，3，…，N? ? ? （12）

根據(jù)式（13）構(gòu)造一個(gè)用來(lái)評(píng)價(jià)染色體優(yōu)劣程度的函數(shù)：

Fn = 1/Ln? ? n = 1，2，3，…，N? ? ? （13）

易知Fn越大，染色體越優(yōu)[14]。對(duì)于交叉算子，從父代群體任意選擇兩個(gè)體x1、x2，進(jìn)行單次迭代交叉組合生成新的后代：

x′1 = λx2 + （1 - λ）x1x′2 = λx1 + （1 - λ）x2? ? ?（14）

其中λ為隨機(jī)產(chǎn)生的實(shí)數(shù)。為了確保使搜索范圍保持在較大的空間進(jìn)行，因而需對(duì)染色體進(jìn)行變異操作，在二進(jìn)制編碼中，染色體隨機(jī)由0和1互轉(zhuǎn)。這里采用動(dòng)態(tài)設(shè)置方法，設(shè)定fMax是種群最大適應(yīng)度，fAvg是種群均值適應(yīng)度，交叉概率Pc和變異概率Pm隨適應(yīng)度改變。則交叉起始概率Pc1 Pm1與交叉變異概率Pc2 Pm2的關(guān)系如下：

Pc = Pc1 - （Pc1 - Pc2）■，f ≥ fAvgPc1， f ≥ fAvg? ? ?（15）

Pm = Pm1 - （Pm1 - Pm2）■，f ≥ fAvgPm1， f ≥ fAvg? ?（16）

3.2? ?算法實(shí)現(xiàn)

GA優(yōu)化RBF模型的學(xué)習(xí)過(guò)程如圖2所示。構(gòu)造GA_BRF網(wǎng)絡(luò)軌跡規(guī)劃控制系統(tǒng)如圖3所示。

圖2? ?GA優(yōu)化RBF模型的學(xué)習(xí)過(guò)程

圖3? ?GA_BRF網(wǎng)絡(luò)軌跡規(guī)劃控制系統(tǒng)

實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）在機(jī)器人的笛卡爾坐標(biāo)系工作區(qū)間內(nèi)，相機(jī)拍攝重建抓取場(chǎng)景并提取抓取點(diǎn)三維XYZ坐標(biāo)。

（2）控制系統(tǒng)通過(guò)公式（2）（3）將位置信息轉(zhuǎn)化成末端執(zhí)行器基于基座的齊次變換位姿矩陣BTT。

（3）在Matlab中通過(guò)公式（5）插補(bǔ)整條軌跡并按逆運(yùn)動(dòng)學(xué)反解出六個(gè)關(guān)節(jié)所需轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θi。

（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由RBF實(shí)時(shí)接收末端執(zhí)行器反饋給控制系統(tǒng)的實(shí)際關(guān)節(jié)角矩陣x，GA實(shí)時(shí)訓(xùn)練RBF隱含層與輸出層的權(quán)值g*.

（5）經(jīng)訓(xùn)練后的RBF優(yōu)化處理關(guān)節(jié)角矩陣x，再將新的關(guān)節(jié)角矩陣X*發(fā)送至控制系統(tǒng)進(jìn)而補(bǔ)償由不確定因素導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)誤差.

4? ?軌跡優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)

本研究驗(yàn)證GA_BRF網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行軌跡規(guī)劃的可行性，建立如圖4所示的Mico2機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型。

圖4? ?Mico2機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

以Mico2機(jī)械臂末端執(zhí)行器的軌跡運(yùn)動(dòng)為跟蹤對(duì)象，確定好起始坐標(biāo)點(diǎn)（220，-100，0）抓取坐標(biāo)點(diǎn)（300，-200，100），模擬一段自起始位開始的空間運(yùn)動(dòng)的抓取直線軌跡如圖5所示。轉(zhuǎn)換得到位姿矩陣為

BTT始 = 0.26? ? 0.54? ? 0.06? ? 2200.15? ? 0.21? ? 0.19? ?-1000.33? ? 0.01? ? 0.75? ? ? 0? 0? ? ? ? ? 0? ? ? ? ?0? ? ? ? 1

BTT末 = 0.33? ? 0.21? ? 0.13? ? 3000.04? ? 0.12? ? 0.05? ?-2000.17? ? 0.06? ? 0.11? ? 100? 0? ? ? ? ? 0? ? ? ? ?0? ? ? ? 1

圖5? ?抓取直線軌跡

設(shè)定始末15秒內(nèi)每0.2秒插補(bǔ)一點(diǎn)，共計(jì)76個(gè)點(diǎn)。通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析每個(gè)關(guān)節(jié)角所轉(zhuǎn)的角度并繪制變化軌跡如圖6所示。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GA_RBF網(wǎng)格實(shí)時(shí)訓(xùn)練優(yōu)化各關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)。最終將最優(yōu)關(guān)節(jié)角規(guī)劃值導(dǎo)入到控制系統(tǒng)，以供控制系統(tǒng)補(bǔ)償在不確定環(huán)境下造成的軌跡誤差。

位置

時(shí)間/s

圖6? ?各關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)軌跡

以第1軸關(guān)節(jié)角始末變化為例，生成由未優(yōu)化原始軌跡、RBF預(yù)測(cè)軌跡及GA_RBF訓(xùn)練優(yōu)化預(yù)測(cè)軌跡對(duì)比軌跡曲線圖。如圖7所示，顯然GA優(yōu)化預(yù)測(cè)輸出的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線整體與實(shí)際輸出的軌跡大致接近，并且曲線光滑無(wú)局部沖擊點(diǎn)。

論文關(guān)切角位移變化數(shù)據(jù)

時(shí)間/s

圖7? ?原始、RBF、GA_RBF曲線對(duì)比

5? 結(jié)? 論

雖然RBF與GA_RBF都可以對(duì)在不確定環(huán)境下的末端執(zhí)行器進(jìn)行軌跡預(yù)測(cè)。但在保證位置精度、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)前提下，GA_RBF網(wǎng)絡(luò)能更快將軌跡誤差收斂在一個(gè)較小領(lǐng)域內(nèi)且避免局部最小值，從而使優(yōu)化軌跡與控制系統(tǒng)軌跡誤差盡可能縮小，也使機(jī)器人在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。驗(yàn)證了基于GA優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器人軌跡規(guī)劃的可行性。本研究對(duì)于工業(yè)機(jī)器人碼垛作業(yè)或焊接作業(yè)具有極高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]? ? 肖凡，李光，周鑫林.多連桿機(jī)械臂GA-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡跟蹤控制[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2018，37（05）：669—674.

[2]? ? 辛大欣，劉少貞.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器人平滑圓弧軌跡規(guī)劃[J]. 計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程，2016，44（03）：409—413+424.

[3]? REYNOSO-MORA P，CHEN W，TOMIZUKA M. A convex relaxation for the time-optimal trajectory planning of robotic manipulators along predetermined geometric paths[J].Optimal Control Applications and Methods，2016，37（6）：1263—1281.

[4]? ? 劉益標(biāo)，陳均. 基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的機(jī)械臂軌跡誤差研究[J]. 機(jī)床與液壓，2018，46（15）：105—108.

[5]? ? JINWOOK H，DANIEL L. Efficient sampling with q-learning to guide rapidly-exploring random trees[J]. IEEE Robotics and Automation Letters，2018，3（4）：3868—3875.

[6]? ? 龍億，杜志江，王偉東. GA優(yōu)化的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)外骨骼靈敏度放大控制[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，47（07）：26—30.

[7]? ?KIM Dong-hyung，CHOI Youn-sung，KIM H. Collision-free trajectory planning of a dual-arm robot using a B-spline curve[J]. Journal of Institute of Control，Robotics and Systems，2017，23（3）：203—212.

[8]? ? 許剛.基于GA-RBF的煤礦機(jī)器人井下混合氣體檢測(cè)系統(tǒng)的研究[J].計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化，2018，37（03）：66—68.

[9]? ?ALAM T，BOBADILLA L，SHELL DYLAN A. Space-efficient filters for mobile robot localization from discrete limit cycles[J]. IEEE Robotics and Automation Letters，2018，3（1）：257—264.

[10]? 強(qiáng)寧，高潔，康鳳舉.基于PSO和三次樣條插值的多機(jī)器人全局路徑規(guī)劃[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2017，29（07）：1397—1404.

[11] VEJDANNIK M， SADR A， Automatic microstructural characterization and classification using dual tree complex wavelet-based features and bees algorithm[J]. Neural Computing and Applications，2017，28（7）：1877—1889.