鞏琪娟, 黃堃鋒, 馬燦洪, 嚴(yán)彥成, 朱厚耀, 王建暉

(廣州大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

為減小地震波對建筑結(jié)構(gòu)的影響，已證實(shí)主動振動控制(AVC)策略可以通過控制方法與主動質(zhì)量阻尼器相結(jié)合的方法，在建筑結(jié)構(gòu)中引入一種外源能量來抑制振動.為保證建筑結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，文獻(xiàn)[1]中提出了傳統(tǒng)的比例導(dǎo)數(shù)(PD)和比例積分導(dǎo)數(shù)(PID)等控制方法.對于一些最優(yōu)主動控制問題，已有線性二次(LQ)控制、線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)控制和線性二次高斯(LQG)等控制方法.為處理地震波的問題，針對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的抗震系統(tǒng)提出的滑?？刂品椒╗2]以及H無窮的主動控制策略(H∞ AVC)[3]中假定地震波是已知的或在一定范圍內(nèi)有限的.

執(zhí)行器失效會減弱對振動的抑制作用.為減少損失，在非線性控制理論中已經(jīng)發(fā)展了許多失效補(bǔ)償方法，如文獻(xiàn)[4]中采用自適應(yīng)控制技術(shù)對非線性系統(tǒng)進(jìn)行執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效補(bǔ)償.

由于大多數(shù)方法都將系統(tǒng)的李雅普洛夫穩(wěn)定性歸結(jié)為漸近穩(wěn)定研究領(lǐng)域，即穩(wěn)定時間將趨于無窮.故在探索有限時間控制方法方面，文獻(xiàn)[5]中設(shè)計(jì)了切換控制系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性；針對高階非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6]中提出了一種反饋有限時間控制方法；結(jié)合反推技術(shù)和滑?？刂?，文獻(xiàn)[7]中設(shè)計(jì)了一種用于航天器姿態(tài)跟蹤的有限時間滑?？刂?；有限時間穩(wěn)定控制被廣泛應(yīng)用于有限時間穩(wěn)定特性方面.

本文研究建筑結(jié)構(gòu)振動的有限時間穩(wěn)定補(bǔ)償問題，提出了一種模糊自適應(yīng)有限時間模糊補(bǔ)償控制方法.將地震波視為系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)，用模糊邏輯系統(tǒng)近似設(shè)計(jì)了有限時間自適應(yīng)故障補(bǔ)償振動控制的方法.利用有限時間穩(wěn)定性準(zhǔn)則，證明了該方法能夠保證不確定的執(zhí)行器失效系統(tǒng)在有限時間內(nèi)保持穩(wěn)定.不同失效情況下的仿真表明本文提出的方法對于使建筑結(jié)構(gòu)在有限時間內(nèi)保持穩(wěn)定更加有效.

1 系統(tǒng)的模型和問題描述

1.1 建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1.1n層建筑結(jié)構(gòu)的動力方程為[1]

(1)

1.1.2 定義子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為

(2)

可將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為以下子系統(tǒng)：

i=1,2,3,…,n

(3)

1.2 不確定的執(zhí)行器失效模型

本文考慮了兩種不同程度的執(zhí)行器失效情況：①部分失效(PLOE)：因?yàn)椴糠謸p壞或缺乏動力等因素而導(dǎo)致執(zhí)行器的輸出只產(chǎn)生部分理想；②完全失效(TLOE)：因?yàn)橥耆珦p壞或失靈而導(dǎo)致的執(zhí)行器輸出全部失效.

設(shè)vij(t)=vi(t),?j∈A.vi(t)，建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的不確定執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效可以被描述為

i=1,2,3,…,n

(4)

假設(shè)1：完全失效的執(zhí)行器數(shù)量不超過A-1，并且剩余的執(zhí)行器能夠滿足控制要求.

1.3 模糊邏輯系統(tǒng)的逼近研究

1.3.1 模糊邏輯系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

為了提高抗震效果，將地震波的加速度視為一個未知的時變非線性函數(shù)，對近似未知非線性項(xiàng)采用模糊邏輯系統(tǒng)(FLSs)逼近研究，模糊邏輯系統(tǒng)描述為

(5)

(6)

1.3.2 地震波加速度的模糊邏輯系統(tǒng)逼近

(7)

在執(zhí)行器失效的n層建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中有n個子系統(tǒng)需要穩(wěn)定，對于第i個子系統(tǒng)(第i層)，控制器驅(qū)動執(zhí)行器可能發(fā)生故障，為了動態(tài)補(bǔ)償,地震波加速度用模糊邏輯系統(tǒng)逼近，控制器參數(shù)可以在線調(diào)整，以補(bǔ)償執(zhí)行器失效.

圖1 n層建筑結(jié)構(gòu)失效控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Failure control structure drawing of n-storey building structureFig.1 Failure control structure drawing of n-storey building structure

下列引理用于控制設(shè)計(jì)：

(8)

其中,W(φ)是正定函數(shù)，并a>0,δ>0,1>β>0.

引理2[9]對于xi∈R,i=1,2,3,…,n,0<ρ≤1有

(9)

引理3[10]對于φ∈R和φ，有

(10)

其中,υ和是任意的積極變量.

2 控制方法設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 控制方法設(shè)計(jì)

控制對象為系統(tǒng)(4)的有限時間穩(wěn)定控制器，保證建筑結(jié)構(gòu)在有限時間內(nèi)位移趨于小集合.根據(jù)控制對象，建立以下誤差方程：

(11)

其中,σ1i,i=1,2,3...n是虛擬控制器.σi被設(shè)計(jì)為

(12)

定義以下內(nèi)容：

(13)

為了補(bǔ)償執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的有效性，控制設(shè)計(jì)中采用自適應(yīng)控制理論，控制輸入可表示為：

(14)

其中，w=[σ2i1]T；

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

(15)

(16)

2.2 穩(wěn)定性分析

理論1:在假設(shè)1的基礎(chǔ)上，考慮具有不確定致動器故障的建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如式(4)，具有自適應(yīng)律(15)和(16)的控制器(14)可以保證所有的關(guān)閉系統(tǒng)信號都是有界的.z1的狀態(tài)在有限時間內(nèi)趨于小集合.

綜上，分析得：

(17)

(18)

選擇正李雅普諾夫函數(shù)為

(19)

(20)

選擇一個新的李雅普洛夫函數(shù)：

(21)

根據(jù)引理3分析，通過推導(dǎo)得：

(22)

引用引理2，根據(jù)引理1，推導(dǎo)得以下結(jié)果：

(23)

(24)

3 仿 真

該部分將對LQR控制和本文提出的模糊有限時間穩(wěn)定補(bǔ)償控制這兩種控制方法進(jìn)行參數(shù)的對照分析，模擬不同的執(zhí)行器失效情況，驗(yàn)證其有效性.采用的特殊例子是一個三層建筑，每層有兩個執(zhí)行器，地面加速度假設(shè)是1940年埃爾森特羅地震的記錄.

3.1 系統(tǒng)參數(shù)

模糊邏輯系統(tǒng)和控制器的隸屬度函數(shù)設(shè)計(jì)如下：

提出的控制參數(shù)如下：

LQR(線性二次調(diào)節(jié)器)控制的R和Q選擇如下：

其中，初始條件為

3.2 實(shí)例

假設(shè)每層各有一個執(zhí)行器在3 s后發(fā)生部分失效，其參數(shù)設(shè)置見表1.

表1 該實(shí)例下的最大位移、速度和加速度Table 1 Maximum displacement, velocity and acceleration

由表1可知，在遭受部分失效的情況下，本文方法對建筑物相關(guān)地面位移的抑制率約為67.7%，高于LQR控制的53.7%.相應(yīng)地，該方法下最大速度和加速度明顯降低了60%和53.4%.

3.3 仿真圖部分

從仿真圖2～圖4可見，分別采用LQR控制和所提出的控制方法，得到了在部分失效情況下的位移、速度、加速度響應(yīng).在圖5中，給出了LQR(線性二次調(diào)節(jié)器)控制與所提出方法的控制力對比.從圖6～圖7可見，每個執(zhí)行器的控制輸出，分別為本文所提方法及LQR控制下的控制力.

圖2 示例中的位移Fig.2 Displacement in example

圖3 示例中的速度Fig.3 Velocity in example

圖4 示例中的加速度Fig.4 Acceleration in example

圖5 示例中的控制力Fig.5 Controlling force in example

圖6 本文提出控制方法下的控制力1和控制力2Fig.6 Force 1 and force 2 for proposed control method

圖7 LQR控制下的控制力1和控制力2Fig.7 Force 1 and force 2 for LQR

仿真結(jié)果表明，雖然LQR和所提出的控制方法都能有效地抑制建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動，但是所提出的控制方法比LQR控制更有效，特別是在不同執(zhí)行器失效的影響下.同時，該方法可以保證層間位移在有限時間內(nèi)保持在較小的范圍內(nèi).因此，模糊有限時間穩(wěn)定補(bǔ)償控制方法是比較有效的，特別是在執(zhí)行器失效的情況下.

4 結(jié) 論

本文研究了不確定執(zhí)行器失效情況下的建筑結(jié)構(gòu)非線性控制系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)出一種建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在執(zhí)行器失效情況下的模糊有限時間穩(wěn)定振動補(bǔ)償控制方法，能夠保證在地震波作用下，建筑結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)保持穩(wěn)定.具體工作如下：

(1)將不確定地震波視為控制系統(tǒng)中的未知非線性項(xiàng)，用模糊自適應(yīng)方法逼近.

(2)針對執(zhí)行器失效的問題，結(jié)合自適應(yīng)控制理論，提出了一種自適應(yīng)故障補(bǔ)償方法.

(3)結(jié)合補(bǔ)償方法，設(shè)計(jì)了有限時間主動振動控制來抑制建筑物結(jié)構(gòu)的振動.

(4)穩(wěn)定性分析和仿真表明，本文方法能保證建筑結(jié)構(gòu)在執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效的情況下，所有狀態(tài)都是有界的，并且在有限時間內(nèi)保持穩(wěn)定.