吳元芬, 郭震, 何雅

(云南師范大學 數(shù)學學院,云南 昆明 650500)

1 引 言

設(Mn,g)為一個完備的n維黎曼流形,如果存在Mn上的光滑向量場ν,使得

(1)

其中Ric是度量g的Ricci曲率張量,Lνg是黎曼度量g沿著方向ν的Lie-導數(shù),λ為給定常數(shù),則稱M為Ricci孤立子.特別地,當ν是梯度向量場,即存在Mn上以ν為梯度的勢函數(shù)f,(1)變?yōu)?/p>

Ric+Hess(f)=λg

(2)

其中Hess(f)是f的Hessian,則稱M為梯度Ricci孤立子,f稱為Ricci勢函數(shù),當常數(shù)λ分別滿足λ<0,λ=0,λ>0時,分別稱Mn為膨脹的,穩(wěn)定的,收縮的.特別地,當函數(shù)f為常數(shù),則稱Mn為平凡的Ricci孤立子,此時Mn是Einstein流形；反之,若Mn是Einstein流形,則f為常數(shù),即Mn為平凡的.

Ricci孤立子作為Ricci流的自相似解,是幾何及分析的重要研究對象,受到數(shù)學家的關(guān)注[1-5].本文研究保持Ricci孤立子結(jié)構(gòu)的共形變換,證明了2維梯度Ricci孤立子的共形剛性定理,給出了在維數(shù)大于2的情況下，保持梯度Ricci孤立子結(jié)構(gòu)的共形變換必須滿足的條件.

(3)

(a)如果λ≤0,該共形變換是等距變換；

(b)如果λ>0,則minF≤1≤maxF,且等號成立的充分必要條件是該變換是等距變換.

Ric(F,F)+〈ΔF,F〉

(4)

2 準備工作

利用外微分和活動標架法給出共形變換下一些基本量的變換公式及梯度Ricci孤立子的基本方程.為了簡便,采用Einstein求和法(重復指標為求和指標),規(guī)定指標范圍:1≤i,j,k,t,…≤n.設(Mn,g)是一個黎曼流形,且n≥2,在Mn中選取局部標準正交標架場{ei}，{θi}為{ei}的對偶標架場.則Mn的結(jié)構(gòu)方程為

其中d為外微分算子,θij,Rijkt為黎曼度量g誘導的聯(lián)絡形式與黎曼曲率.Ricci曲率與純量曲率R分別為Rij=ΣkRikjk,R=ΣiRii.

設f∈C(M),有df=fiθi,其中fi=ei(f),定義函數(shù)f的協(xié)變導數(shù)：

fi,jθj=dfi+fjθji

fi,jkθk=dfi,j+fi,kθkj+fk,jθki

則

fi,j=fj,i,fi,jk-fi,kj=ftRtijk

(5)

其中(5)的第二式是光滑函數(shù)f的Ricci恒等式.f的梯度向量場f,Hessian和Laplacian分別為

f=fiei,Hess(f)=fi,jθi?θj,Δf=fi,i

(6)

(7)

若(Mn,g)為滿足(2)的一個梯度Ricci孤立子,則(2)可改寫為

Rij+fi,j=λδij

(8)

容易得到

R+Δf=nλ

3 定理的證明

先證如下引理:

(9)

和

2(n-1)ΔF-n(n-1)F-1|F|2-(n-2)〈f,F〉=nλF-1(1-F2)

(10)

證明在一個標準正交基下(3)變?yōu)?/p>

(11)

將(6),(7),(8)代入(11)得

(n-2)Fi,j+(fiFj+fjFi)-[(n-1)F-1|F|2-ΔF+〈f,F〉]δij=λF-1(1-F2)δij

(12)

對(12)進行i=j收縮有(10),將(10)代入(12)即可得(9).

3.1 定理1的證明

證明(a) 因為n=2時,(9)和(10)簡化為

-(fiFj+fjFi)+〈f,F〉δij=0

(13)

和

ΔF-F-1|F|2=λF-1(1-F2)

(14)

若M2緊,則F一定有最大最小值,在最大最小值點處|F|=0.又因為λ≤0,所以由(14)有

導致F|M=1.

(b) 因為

(15)

把(14)代入(15)有

ΔlogF=λF-2(1-F2)

對上式兩邊同時積分,因為λ>0,所以

因此maxF≥1,同理可得minF≤1.下證等號成立的條件

(16)

且

(17)

由(16)和(17)有

F-2(F2-maxF2)=0

則

F2=maxF2=1

同理有F2=minF2=1.

綜上所述，定理1得證.

3.2 定理2的證明

證明從(9)開始,令

(18)

(19)

則(9)變?yōu)?/p>

(n-2)Fi,j=-fiFj-fjFi+pδij

(20)

由(20),則

(21)

另一方面,由Ricci恒等式有

(22)

由(21),(22)以及(8),(18),(19)推出

(23)

對(9)兩邊同時平方有

(24)

把(10),(24)代入(23)中消去含f的項,即可得到(4),定理2得證.