洪迪峰，唐雪平，高文凱，毛為民，王鵬，劉珂

（中國石油集團(tuán)工程技術(shù)研究院有限公司，北京 102206）

0 引言

叢式井可節(jié)約油氣資源開發(fā)投入，減少土地資源占用和環(huán)境污染，在海洋和陸地鉆井中均有廣泛的應(yīng)用。隨著油田的開發(fā)，叢式井和加密井?dāng)?shù)量不斷增加，井眼空間距離越來越小，對井眼防碰技術(shù)提出了更高的要求。中國制定了行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)[1]，國外井眼測量精度工業(yè)導(dǎo)向委員會（ISCWSA）也長期致力于井眼防碰工作[2]。井眼防碰技術(shù)主要應(yīng)用于叢式井、加密井和定向井等的鉆前設(shè)計和實鉆監(jiān)測，可用于評價軌道設(shè)計的合理性，也可用于實時監(jiān)測鉆頭與鄰井的交碰情況，進(jìn)行風(fēng)險預(yù)警。

井眼防碰評價方法以井距掃描計算和軌跡測量誤差分析為基礎(chǔ)，評價指標(biāo)包括鄰井最近距離[3-4]、井眼分離系數(shù)[3,5-16]和井眼交碰概率[3,17-19]等。其中，井眼分離系數(shù)綜合考慮了鄰井距離和井眼軌跡誤差的影響，評價結(jié)果比鄰井最近距離可靠，計算過程比井眼交碰概率簡單，是目前國內(nèi)外普遍采用的評價指標(biāo)?，F(xiàn)有的井眼分離系數(shù)計算方法主要有傳統(tǒng)分離系數(shù)法、中心向量法[3,13]、垂足線法[3,13]、定向分離系數(shù)法[6-10, 12, 14, 16]、橢球縮放法[13, 20]和橢球間距法[21]等。

研究表明，傳統(tǒng)分離系數(shù)法和垂足線法的評價結(jié)果過于保守[3,13]，中心向量法和定向分離系數(shù)法的評價結(jié)果又過于樂觀[3,13,20]，橢球縮放法和橢球間距法能夠獲得比較客觀的評價結(jié)果[13,20-21]，但是理論完備性和計算精度方面仍然存在不足。在理論完備性方面，現(xiàn)有計算方法獨立計算軌跡坐標(biāo)和誤差橢球，再研究鄰井誤差橢球的相對位置與幾何關(guān)系，沒有考慮鄰井軌跡誤差的相關(guān)性。在計算精度方面，采用鄰井距離掃描方法（法面距離掃描、最近距離掃描和水平距離掃描）建立鄰井軌跡深度對應(yīng)關(guān)系，計算各深度的分離系數(shù)后再尋找最小值，但這種方法得到的最小值不一定是全局最小值。為了完善理論模型、提高計算精度，提出了基于鄰井相對位置的分離系數(shù)理論公式和計算方法（簡稱相對位置法），考慮鄰井軌跡誤差的相關(guān)性，并采用共軛梯度法求解全局最小值，以期更客觀地評價鄰井軌跡之間的空間分離程度，更好地滿足密集叢式井設(shè)計和鉆井防碰分析的應(yīng)用需要。

1 計算方法

計算井眼分離系數(shù)主要包括 3個步驟：①分別計算比較井和參考井的井眼軌跡和軌跡不確定性；②計算比較井相對參考井的相對位置和相對位置不確定性；③計算比較井和參考井之間的井眼分離系數(shù)。

1.1 單井的井眼軌跡和軌跡不確定性

以北東地為全局坐標(biāo)系，依據(jù)國內(nèi)外行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)[22-23]，采用最小曲率法計算井眼軌跡坐標(biāo)。如圖1所示，考察點落在井眼軌跡的第K-1個與第K個測點間，坐標(biāo)矢量為：

圖1 單井的井眼軌跡和軌跡不確定性

為計算簡便，采用平衡正切法計算軌跡不確定性。研究表明，基于平衡正切法計算軌跡不確定性能夠保證計算精度[11]。軌跡上任意點的坐標(biāo)是井口坐標(biāo)、測點數(shù)據(jù)和考察點局部坐標(biāo)的函數(shù)。忽略井口坐標(biāo)和考察點局部坐標(biāo)的誤差，測點數(shù)據(jù)誤差采用ISCWSA誤差模型[2]，軌跡誤差表示為：

測量誤差項共有 5種類型，分別為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、井間誤差、全局誤差和偏移誤差[11]。區(qū)分誤差類型是為了計算隨機(jī)變量的相關(guān)性。這 5類誤差項的相關(guān)系數(shù)如表1所示。

表1 5類誤差項對應(yīng)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)

由隨機(jī)數(shù)學(xué)相關(guān)定理可知，δr為三維隨機(jī)向量，滿足三維高斯分布規(guī)律，其概率分布等值面為橢球面，橢球特征矩陣即為δr的協(xié)方差矩陣[11]，表達(dá)式為：

（3）式中，系統(tǒng)誤差的協(xié)方差矩陣計算比較特殊，需要按照測量工具進(jìn)行累加。首先累加特定誤差項在同一套測量工具內(nèi)的所有誤差向量，然后計算該測量工具所有測點的協(xié)方差矩陣，最后累加全部測量工具的協(xié)方差矩陣。

對應(yīng)的井眼軌跡誤差橢球方程為：

橢球放大因子λ與置信概率Pb相關(guān)[17]：

（5）式可采用數(shù)值積分計算。橢球放大因子1.0，1.5，2.0，2.5，3.0和4.0對應(yīng)的置信概率分別為19.9%，47.8%，73.9%，90.0%，97.1%和 99.9%。在井眼軌跡的誤差分析中，通常取橢球放大因子為2.0～3.0。本文中取橢球放大因子為2.5，此時井眼位置落入誤差橢球內(nèi)的概率約為90%。

1.2 鄰井的相對位置和相對位置不確定性

按照（1）式計算比較井和參考井上考察點（見圖2）的坐標(biāo)r1和r2，則比較井相對參考井的相對位置為：

圖2 鄰井的相對位置和相對位置不確定性

根據(jù)ISCWSA誤差模型，井眼軌跡相對位置的誤差也滿足三維高斯分布規(guī)律，其概率分布等值面為橢球面，其協(xié)方差矩陣[11]為：

（7）式中，C1(s1)和C2(s2)按照（3）式進(jìn)行計算，Dglob和Dbias按照以下公式計算：

考慮井徑和防碰安全余量[2,8]，比較井和參考井上兩個考察點之間的分離系數(shù)為：

比較井和參考井之間的分離系數(shù)即為（10）式的全局最小值：

1.3 相對位置法井眼分離系數(shù)計算方法

（11）式給出了相對位置法井眼分離系數(shù)的計算公式，這是一個二維非線性最小值問題，采用共軛梯度法進(jìn)行求解。目標(biāo)函數(shù)為：

根據(jù)Richard外推法計算目標(biāo)函數(shù)的梯度：

相對位置法井眼分離系數(shù)的計算流程如圖3所示。為初步定位全局最小值位置，先進(jìn)行一次全井段的掃描搜索，由掃描結(jié)果中的最小值位置作為共軛梯度法的初值。一般取掃描間隔30 m，如果一些特殊井段變化過于劇烈，則需要適當(dāng)減小掃描間隔。該計算流程中，共軛梯度法是主流程，進(jìn)退法和Fibonacci數(shù)列法組成了一維搜索算法。采用進(jìn)退法可以快速確定最小值區(qū)間，而采用Fibonacci數(shù)列法可以快速精確定位最小值，這兩者配合組成的一維搜索算法具有穩(wěn)定性強(qiáng)、搜索速度快和計算精度高等優(yōu)點。

圖3 相對位置法井眼分離系數(shù)的計算流程

1.4 最小分離系數(shù)掃描法

在全井段掃描搜索中，本文推薦采用最小分離系數(shù)掃描法，以便更快初步定位全局最小值。該掃描法的數(shù)學(xué)問題表述為：選定比較井上考察點，尋找參考井上的對應(yīng)點，使兩點之間分離系數(shù)最小，即：

該問題直接采用圖3所示的一維搜索算法計算。

2 算例分析

2.1 算例1

某油田采用三維叢式水平井開發(fā)[21]，其中比較井與參考井的井口坐標(biāo)偏差：ΔN0為4.10 m，ΔE0為9.10 m，ΔV0為0.09 m。參考井只有1套方案，比較井有2套方案，它們的軌道設(shè)計數(shù)據(jù)如表2所示。設(shè)計采用MWD（隨鉆測量）進(jìn)行軌跡監(jiān)測，計算模型包括 25項誤差源[24]，取橢球放大因子為2.5，忽略井徑和防碰安全余量。

表2 井眼軌道設(shè)計數(shù)據(jù)和誤差橢球

在表2中軌道設(shè)計關(guān)鍵點的基礎(chǔ)上，以30 m為測段長度，分別計算各測點的軌跡坐標(biāo)和軌跡不確定性。限于篇幅，本文只列舉了軌道設(shè)計關(guān)鍵點的坐標(biāo)、誤差橢球半軸長度和姿態(tài)歐拉角，如表2所示。計算井間分離系數(shù)時，以30 m為步長進(jìn)行一次全井段掃描，提取分離系數(shù)最小值位置作為共軛梯度法初值，根據(jù)圖3所示流程進(jìn)行計算。

文獻(xiàn)[20]比較研究了等效誤差橢球法、中心向量法、橢球縮放法和傳統(tǒng)分離系數(shù)法的分析結(jié)果，認(rèn)為傳統(tǒng)分離系數(shù)法過于保守，等效誤差橢球法和中心向量法過于樂觀，橢球縮放法結(jié)果居中。文獻(xiàn)[21]比較研究了定向分離系數(shù)法、中心向量法、橢球間距法、垂足線法和傳統(tǒng)分離系數(shù)法的分析結(jié)果，認(rèn)為中心向量法和定向分離系數(shù)法計算結(jié)果偏樂觀，傳統(tǒng)分離系數(shù)法和垂足線法結(jié)果偏保守，橢球間距法在 5種方法中居中?；谝陨衔墨I(xiàn)調(diào)研結(jié)果，認(rèn)為橢球縮放法和橢球間距法能夠獲得比較客觀的評價結(jié)果，因此本文進(jìn)一步比較相對位置法、橢球縮放法和橢球間距法。分別采用相對位置法、橢球縮放法和橢球間距法計算井眼分離系數(shù)，結(jié)果如表3、圖4和圖5所示?？梢钥闯觯孩傧鄬ξ恢梅āE球縮放法和橢球間距法的計算結(jié)果總體接近，但橢球縮放法和橢球間距法結(jié)果仍舊偏保守。②當(dāng)誤差橢球不相交時，橢球縮放法和橢球間距法的結(jié)果一致；當(dāng)誤差橢球相交時，橢球間距法失效，分離系數(shù)為1，橢球縮放法仍有效。③橢球縮放法和橢球間距法采用最近距離掃描法，分離系數(shù)隨井深可能出現(xiàn)跳變，如圖5中井深1 183 m處；相對位置法采用最小分離系數(shù)掃描法，分離系數(shù)隨井深連續(xù)變化。綜合以上比對分析，認(rèn)為與橢球縮放法和橢球間距法相比，相對位置法計算結(jié)果更加精確，適用性更強(qiáng)，能夠更合理地評價井眼交碰狀態(tài)。

表3 橢球縮放法、橢球間距法和相對位置法的計算結(jié)果對比

圖4 比較井A與參考井的井眼分離系數(shù)

圖5 比較井B與參考井的井眼分離系數(shù)

2.2 算例2

研究算例1中比較井B的布井位置對分離系數(shù)的影響。比較井B相對參考井的井口坐標(biāo)：ΔN0為-15～15 m，ΔE0為-20～20 m，ΔV0為0.09 m。同樣設(shè)計采用MWD進(jìn)行軌跡監(jiān)測，計算模型包括25項誤差源[24]，取橢球放大因子為2.5。

以0.25 m為步長，南北方向插值121個點，東西方向插值161個點，共計算121×161=19 481組布井位置時的井眼分離系數(shù)。采用 C++編寫計算程序，在普通個人計算機(jī)上進(jìn)行計算，采用CPU型號為Intel Core i7-8700，主頻3.0 GHz，總共計算用時約10 min，平均每組計算耗時約30 ms，計算速度較快。分離系數(shù)圖版如圖6所示。

圖6 比較井B井口位置對應(yīng)的分離系數(shù)

國外依據(jù)井眼分離系數(shù)劃分了井眼交碰風(fēng)險等級，制定了相應(yīng)的防碰技術(shù)規(guī)范[6,9]。通常情況下，F(xiàn)s＞5.0時可以安全鉆進(jìn)，1.5＜Fs≤5.0時需要警戒和實時監(jiān)測，1.0＜Fs≤1.5時建議關(guān)閉鄰井，F(xiàn)s≤1.0時要求停鉆，直至危險消除。按照這一要求，布井位置應(yīng)該選擇分離系數(shù)大于5.0的區(qū)域，這在圖6中可以快速查找。

采用本文的方法進(jìn)行大批量計算，再結(jié)合防碰技術(shù)規(guī)范，可以快速簡便地尋找關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)的許用范圍，并不局限于井口位置，也可用于井段設(shè)計和靶點設(shè)計等，對叢式井的井眼防碰設(shè)計具有重要的應(yīng)用價值。

3 結(jié)語

本文提出的相對位置法采用鄰井相對位置的誤差橢球計算分離系數(shù)，考慮了鄰井軌跡誤差的相關(guān)性，完善了井眼分離系數(shù)的理論模型。

傳統(tǒng)井眼分離系數(shù)評價方法采用鄰井距離掃描方法尋找到的最小分離系數(shù)不一定是全局最小值，而相對位置法采用共軛梯度法求解全局最小值，是一種更加實用、快速、精確的求解方法。

符號注釋：

a，b——搜索區(qū)間下限和上限，m；Ak——第k個測點的方位角，rad；B，G，R，S，W——偏移誤差、全局誤差、隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、井間誤差項序號集合；C(s)——指定深度點的軌跡誤差協(xié)方差矩陣；C(s1,s2)——相對軌跡誤差協(xié)方差矩陣；C1(s1)——比較井在井深s1處的軌跡誤差協(xié)方差矩陣；C2(s2)——參考井在井深s2處的軌跡誤差協(xié)方差矩陣；Cbias，Cglob，Crand，Csyst，Cwell——指定深度點的偏移誤差、全局誤差、隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、井間誤差協(xié)方差矩陣；d(s1,s2)——比較井相對參考井的軌跡坐標(biāo)矢量；d0——比較井和參考井之間的防碰安全余量，m；D1，D2——比較井和參考井的井徑，m；Dbias——比較井和參考井的偏移誤差互相關(guān)矩陣；Dglob——比較井和參考井的全局誤差互相關(guān)矩陣；e——目標(biāo)搜索誤差，m；e1，e2，e3——迭代精度；ei,k——第k個測點第i個誤差項的誤差向量；ei,k,1，ei,k,2——比較井和參考井上第k個測點第i個誤差項的誤差向量；f(s1,s2)——比較井和參考井上兩個考察點之間的分離系數(shù)；Fs——比較井和參考井之間的分離系數(shù)；g(s1,s2)——分離系數(shù)隨深度變化的梯度向量；h——Richard外推法所用的微分步長，一般取1×10-6～1×10-3m；i——誤差項序號；Ik——第k個測點的井斜角，rad；j——次級測點序號；k——測點序號；K——軌跡考察點所在測段末端的測點序號；K1，K2——比較井和參考井上軌跡考察點所在測段末端的測點序號；Lk——第k個測點的井深，m；ΔLk——第k-1個與第k個測點間測段的長度，m；N，E，V——北、東、地坐標(biāo)，m；Nf——Fibonacci數(shù)列階數(shù)；N0，E0，V0——井口北、東、地坐標(biāo)，m；ΔN0，ΔE0，ΔV0——比較井相對參考井的井口北、東、地坐標(biāo)，m；pk——第k個測點的測量數(shù)據(jù)向量，pk=[LkIkAk]T；δpk——第k個測點的測量誤差向量；?pk?iε——第k個測點對第i個誤差項的權(quán)函數(shù)，由ISCWSA誤差模型給定；Pb——置信概率，即井眼位置落入誤差橢球內(nèi)的概率；q——系數(shù)；r——井眼半徑，m；r——軌跡考察點的坐標(biāo)矢量；δr——指定深度點的軌跡誤差向量；r0——井口坐標(biāo)矢量，r0=[N0E0V0]T；Δr0——比較井相對參考井的井口坐標(biāo)矢量，Δr0=[ΔN0ΔE0ΔV0]T；r1，r2——比較井和參考井上軌跡考察點的坐標(biāo)矢量；rk——第k個測點的坐標(biāo)矢量；s——軌跡考察點的井深，m；s——搜索方向矢量；s1，s2——比較井和參考井上軌跡考察點的井深，m；T——搜索步長，m；ui,k——第k個測點第i個誤差項對應(yīng)的隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量滿足高斯分布，數(shù)學(xué)期望為0，方差為1；θk——第k-1個與第k個測點間測段的圓弧角度，rad；λ——橢球放大因子；ξ——軌跡考察點在測段內(nèi)的相對深度；ξ1，ξ2——比較井和參考井上軌跡考察點在測段內(nèi)的相對深度；σi,k——第k個測點第i個誤差項的幅值，由ISCWSA誤差模型給定；τk——第k個測點的井眼軸線矢量。