(南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象探測(cè)與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇南京 210044)

0 引言

波束形成技術(shù)在雷達(dá)、聲吶以及麥克風(fēng)語(yǔ)音領(lǐng)域的陣列信號(hào)處理中應(yīng)用廣泛。實(shí)際環(huán)境下，信號(hào)協(xié)方差矩陣是通過(guò)采樣信號(hào)獲取，有限的采樣快拍數(shù)會(huì)導(dǎo)致訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)。此外，基陣位置偏差、陣元幅相誤差等因素會(huì)產(chǎn)生角度失配問(wèn)題，從而無(wú)法精確獲得導(dǎo)向矢量，導(dǎo)致Capon波束形成器性能急劇下降。

針對(duì)上述標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器存在的問(wèn)題，文獻(xiàn)[1-5]提出一類重構(gòu)協(xié)方差矩陣的方法。其中文獻(xiàn)[1]將空域分成干擾和信號(hào)兩個(gè)互不重疊的大區(qū)域，通過(guò)對(duì)干擾區(qū)域積分獲得干擾協(xié)方差矩陣，接著對(duì)信號(hào)區(qū)域積分得到信號(hào)協(xié)方差矩陣，將信號(hào)協(xié)方差矩陣特征值分解，以分解后特征向量作為導(dǎo)引向量估計(jì)，實(shí)驗(yàn)表明效果良好，然而該方法在獲取干擾加噪聲協(xié)方差矩陣以及導(dǎo)向矢量時(shí)計(jì)算量過(guò)大，不適合實(shí)際工程中應(yīng)用。除了上述的方法，對(duì)角加載算法[6-9]也是經(jīng)常使用的方法。其中文獻(xiàn)[6]根據(jù)協(xié)方差矩陣的不同特征值選擇不同的加載因子，可以有效地抑制干擾并消除角度失配的影響，但自適應(yīng)的加載因子難以確定，加載因子過(guò)大或者過(guò)小都會(huì)帶來(lái)不利影響。針對(duì)以上兩種方法的不足，不確定約束集的穩(wěn)健波束形成[10-13]被提出，如文獻(xiàn)[13]提出的改進(jìn)的雙約束穩(wěn)健波束形成算法，該方法對(duì)噪聲子空間附加兩個(gè)約束條件，通過(guò)輔助約束條件，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單約束問(wèn)題，和普通雙約束穩(wěn)健波束形成方法比，運(yùn)算量有所降低，但和其他類算法相比，該算法運(yùn)算量依然巨大。文獻(xiàn)[14]提出了根據(jù)不同導(dǎo)向矢量誤差獲取對(duì)應(yīng)的加載量，同樣，最優(yōu)加載值的求解方法運(yùn)算量大且收斂速度也慢。此外，文獻(xiàn)[14-16]中運(yùn)用到一些專門(mén)解最優(yōu)問(wèn)題工具箱，用來(lái)解決二次規(guī)劃二次約束問(wèn)題，此類算法可在較少快拍以及低輸入信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)環(huán)境中保持一定性能，但巨大的計(jì)算量限制了這類算法的實(shí)際應(yīng)用。

針對(duì)上述算法存在的問(wèn)題，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器，提出一種基于加權(quán)空間平滑與導(dǎo)向矢量估計(jì)相結(jié)合的穩(wěn)健波束形成算法。算法對(duì)陣列信號(hào)進(jìn)行兩次平滑，其中第一次平滑時(shí)陣列的子陣數(shù)等于第二次平滑時(shí)陣列子陣的陣元數(shù)，目的是為了使加權(quán)矩陣中的元素與平滑矩陣一一對(duì)應(yīng)。充分利用子陣輸出的自相關(guān)性與互相關(guān)性，以此獲得更加精確的協(xié)方差矩陣，采用不確定范圍約束期望導(dǎo)向矢量來(lái)估計(jì)獲得真實(shí)導(dǎo)向矢量。由于加權(quán)空間平滑后的協(xié)方差矩陣精度更高，故而導(dǎo)向矢量也更加準(zhǔn)確，算法的魯棒性也得到提高。

1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)陣列為均勻線陣，陣元數(shù)為M，相互獨(dú)立的信源同時(shí)入射到陣列，則第k個(gè)快拍時(shí)接收到的信號(hào)為

x(k)=xs(k)+xj(k)+n(k)

(1)

式中，xs(k)為期望信號(hào)，xj(k)為干擾信號(hào)，n(k)為獨(dú)立于信源的噪聲。

陣列接收信號(hào)的理想?yún)f(xié)方差矩陣可表示為

Rx=E{x(k)x(k)H}=Rs+Ri+σ2I

(2)

式中，Rs表示期望信號(hào)協(xié)方差矩陣，Ri表示干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣，σ2表示噪聲功率，I表示單位矩陣。

自適應(yīng)波束形成對(duì)陣列接收信號(hào)x(k)進(jìn)行加權(quán)處理，陣列信號(hào)輸出為

y(k)=wHx(k)

(3)

式中，加權(quán)矢量w=[w1,w2,w3,…,wM]，根據(jù)最小方差無(wú)失真響應(yīng)(即標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成)，保證輸出中的噪聲和干擾總功率最小，并且期望信號(hào)不會(huì)失真，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為

(4)

該約束條件下的尋優(yōu)問(wèn)題可用拉格朗日乘子法求解，得到

(5)

實(shí)際的工程應(yīng)用中，Ri+n無(wú)法直接獲得，通常用采樣協(xié)方差矩陣Rs來(lái)代替，K個(gè)快拍的采樣協(xié)方差矩陣為

(6)

2 本文算法

2.1 前后向空間平滑

考慮陣元數(shù)為M的均勻線陣，取子陣陣元數(shù)為m，子陣數(shù)為p，則接收到的信號(hào)前向空間平滑的數(shù)據(jù)矢量可表示為

(7)

數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(8)

則前向平滑的協(xié)方差矩陣為

(9)

同理可知后向空間平滑的數(shù)據(jù)矢量可表示為

(10)

此時(shí)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(11)

則后向平滑的協(xié)方差矩陣為

(12)

將二者取平均后可得到前后向平滑的協(xié)方差矩陣

(13)

2.2 改進(jìn)的加權(quán)前后向空間平滑

由于普通的前后向空間平滑只利用了子陣自相關(guān)協(xié)方差矩陣，此處提出一種改進(jìn)的加權(quán)前后向空間平滑算法，同時(shí)利用子陣的自相關(guān)協(xié)方差矩陣與互相關(guān)協(xié)方差矩陣，更好地消除回波信號(hào)中的相干性，獲取更為精準(zhǔn)的協(xié)方差矩陣。此外，本方法不需知道信源的先驗(yàn)位置，也不需預(yù)估信源方向，適用于信源信息未知情況下的協(xié)方差矩陣解相干。算法構(gòu)造兩次特殊結(jié)構(gòu)的子陣劃分形式，使第一次子陣陣元數(shù)與第二次子陣數(shù)相等，此做法是為了保證加權(quán)元素總數(shù)能夠一一對(duì)應(yīng)到加權(quán)空間平滑矩陣上。第一次劃分后得到的前后向平滑協(xié)方差矩陣中的元素作為加權(quán)因子，將這些加權(quán)因子對(duì)應(yīng)與第二次劃分后的協(xié)方差矩陣相乘即可得到加權(quán)后的協(xié)方差矩陣。由于兩次劃分時(shí)，都是均勻選取大小相同的子陣，加權(quán)元素也都是一一對(duì)應(yīng)到平滑矩陣上，故加權(quán)平滑后的協(xié)方差矩陣不會(huì)出現(xiàn)整體偏離。

在取子陣陣元數(shù)為m，子陣數(shù)為p時(shí)，由式(14)可知第一次劃分得到的協(xié)方差矩陣為Rfb，此時(shí)加權(quán)矩陣W為

W=(Rfb)+

(14)

第二次劃分時(shí)，取子陣陣元數(shù)為p，子陣數(shù)為m，利用上式求得的W加權(quán)到此時(shí)得到的協(xié)方差矩陣

式中，wij為W中的元素，Rij為第二次劃分后得到的信號(hào)協(xié)方差矩陣中的元素，J為轉(zhuǎn)置矩陣。

2.3 導(dǎo)向矢量估計(jì)

針對(duì)低信噪比情況下，信號(hào)子空間包含期望信號(hào)少，估計(jì)得到的導(dǎo)向矢量會(huì)指向干擾方向，從而導(dǎo)致波束形成的主瓣指向發(fā)生偏差的問(wèn)題，提出一種根據(jù)導(dǎo)向矢量不確定范圍加以約束條件來(lái)搜索信號(hào)子空間，估計(jì)陣列真實(shí)導(dǎo)向矢量的方法。

通過(guò)將期望導(dǎo)向矢量對(duì)Rwf進(jìn)行特征分解得到投影Ts，則真實(shí)導(dǎo)向矢量可表示為

(16)

假設(shè)期望與導(dǎo)向矢量之間的有限誤差，則二者之間的關(guān)系可表示為

(17)

式中，ε0為約束因子，由系統(tǒng)中的各種實(shí)際誤差造成，可以估計(jì)得到。將式(17)代入式(18)可得

(18)

化簡(jiǎn)后可得

(19)

式(20)指期望導(dǎo)向矢量主要集中在該子空間，當(dāng)式(20)不成立時(shí)，表明期望導(dǎo)向矢量在噪聲子空間中分量較大，此時(shí)需要重新搜索子空間，定義不同維度的子空間函數(shù)為

(20)

將Rwf分解后特征值從大到小排列，令k在特征值對(duì)應(yīng)的特征向量?jī)?nèi)由小到大依次搜尋，直到滿足條件

f(k)≤ε0

(21)

滿足上式得到的子空間中存在大量期望導(dǎo)向矢量，將期望導(dǎo)向矢量向此處搜尋到的子空間投影可估計(jì)獲得的真實(shí)導(dǎo)向矢量滿足式(22)的約束條件。

(22)

為更方便理解整體算法過(guò)程，將算法主要步驟列出,如表1所示。

表1 主要算法步驟

3 仿真實(shí)驗(yàn)

采用以下實(shí)驗(yàn)仿真來(lái)驗(yàn)證算法的性能。仿真中假設(shè)陣列為16陣元的均勻線陣，陣列之間的間距固定為半波長(zhǎng)，入射信號(hào)為一個(gè)期望信號(hào)以及兩個(gè)干擾信號(hào)，期望信號(hào)的來(lái)波角度為80°，信號(hào)的真實(shí)來(lái)波方向?yàn)?8°，兩個(gè)干擾信號(hào)來(lái)波角度分別為60°和105°，干噪比為30 dB，為了驗(yàn)證算法的性能，將本文算法分別與對(duì)角加載波束形成(Diagonal Loading Beamforming,DLB)、特征子空間魯棒波束形成(Eigen Space Robust Beamforming,ESRB)以及最差性能最優(yōu)波束形成(Worst-Case Optimal Beamforming,WCOB)方法進(jìn)行對(duì)比。

仿真實(shí)驗(yàn)1：采用幾種算法的歸一化波束圖對(duì)比，取快拍數(shù)為100，期望信號(hào)來(lái)波方向?yàn)?0°，假設(shè)期望信號(hào)來(lái)波方向存在誤差，誤差角度為-2°，即真實(shí)來(lái)波方向?yàn)?8°，期望信號(hào)的信噪比設(shè)置為0 dB，圖1為幾種算法對(duì)應(yīng)的波束圖。

由圖1可見(jiàn)，本文算法擁有較低的旁瓣，且在兩個(gè)干擾方向形成了最低的零陷，主瓣方向也指向了真實(shí)的期望信號(hào)的來(lái)波方向。DLB方法對(duì)導(dǎo)向矢量的偏差過(guò)于敏感，導(dǎo)致主瓣所指方向與真實(shí)期望信號(hào)方法產(chǎn)生偏差，并且該方法對(duì)旁瓣的抑制有限，對(duì)干擾的零陷也較淺。WCOB方法能夠有效地對(duì)干擾產(chǎn)生零陷，但對(duì)導(dǎo)向矢量存在偏差的情況過(guò)于敏感，并且抑制旁瓣的效果不夠理想。ESRB方法主瓣波束指向80°，無(wú)法保持真實(shí)信號(hào)的最大增益。從以上對(duì)比可說(shuō)明本文算法能夠有效降低旁瓣，抑制干擾信號(hào)并且在期望信號(hào)導(dǎo)向矢量存在偏差時(shí)能夠識(shí)別出真實(shí)的來(lái)波方向。

圖1 導(dǎo)向矢量存在誤差時(shí)的波束圖

仿真實(shí)驗(yàn)2：驗(yàn)證算法在低SNR環(huán)境下的性能。假設(shè)兩個(gè)干擾來(lái)波方向分別為60°和105°，信號(hào)來(lái)波的期望方向?yàn)?0°，真實(shí)方向?yàn)?8°，設(shè)置快拍數(shù)為100，輸入期望信號(hào)SNR為-20 dB，圖2為幾種算法在低SNR下的波束圖。

圖2 低信噪比下幾種算法的波束圖

從波束仿真圖可以看出，本文提出的方法在波束指向、旁瓣高度以及對(duì)干擾的零陷都無(wú)明顯變化。DLB方法會(huì)出現(xiàn)抑制期望信號(hào)的現(xiàn)象，即出現(xiàn)了信號(hào)相消的問(wèn)題。ESRB方法出現(xiàn)主瓣降低，旁瓣升高的問(wèn)題，嚴(yán)重的角度會(huì)出現(xiàn)旁瓣高度接近主瓣高度。WCOB方法出現(xiàn)了旁瓣指向角度失配問(wèn)題，算法性能下降較多。

仿真實(shí)驗(yàn)3：驗(yàn)證算法在高SNR環(huán)境下的性能。假設(shè)兩個(gè)干擾來(lái)波方向分別為60°和105°，信號(hào)來(lái)波的期望方向?yàn)?0°，真實(shí)方向?yàn)?8°，設(shè)置快拍數(shù)為100，輸入期望信號(hào)SNR為50 dB，圖3為幾種算法在高SNR下的波束圖。

圖3 高信噪比下幾種算法的波束圖

由波束仿真圖可以看出，除了本文算法外，其余幾種算法主瓣指向均發(fā)生偏差，此外，DLB算法的旁瓣過(guò)高，且出現(xiàn)了錯(cuò)將期望信號(hào)當(dāng)成干擾信號(hào)進(jìn)行零陷的信號(hào)相消現(xiàn)象。WCOB算法除了旁瓣過(guò)高外，已經(jīng)無(wú)法識(shí)別出105°處的干擾。ESRB算法出現(xiàn)了旁瓣高于主瓣的情況，算法性能急劇下降。

仿真實(shí)驗(yàn)4：驗(yàn)證算法的輸出信干噪比(Signal to Interference-plus-Noise Ratio,SINR)隨輸入SNR變化關(guān)系。假設(shè)兩個(gè)干擾來(lái)波方向分別為60°和105°，信號(hào)來(lái)波的期望方向?yàn)?0°，真實(shí)方向?yàn)?8°，設(shè)置快拍數(shù)為100，兩個(gè)干擾的干噪比(Interference-plus-Noise Ratio,INR)設(shè)置為30 dB。圖4為幾種算法輸出SINR隨輸入SNR的變化關(guān)系。

圖4 幾種算法輸出SINR隨輸入SNR變化對(duì)比

DLB算法的輸出SINR會(huì)隨著輸入SNR的增加而增加，且輸出SINR相對(duì)較高。WCOB算法由于期望信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相消現(xiàn)象，因此在曲線中會(huì)出現(xiàn)輸出SINR降低的現(xiàn)象。ESRB算法效果優(yōu)于算法WCOB，但是由于算法中對(duì)角加載值本身的限制，其依然會(huì)出現(xiàn)信號(hào)相消現(xiàn)象。

仿真實(shí)驗(yàn)5：此處研究快拍數(shù)對(duì)輸出SINR的影響。假設(shè)兩個(gè)干擾來(lái)波方向分別為60°和105°，信號(hào)來(lái)波的期望方向?yàn)?0°，真實(shí)方向?yàn)?8°期望信號(hào)的SNR為0 dB。

從圖5可以看出，本文算法收斂速度最快，并且收斂于最優(yōu)輸出SINR。除此之外，DLB算法收斂速度較慢，但輸出SINR相對(duì)較高，另外兩種算法的輸出SINR相對(duì)較低。

仿真實(shí)驗(yàn)6：實(shí)驗(yàn)6研究輸出SINR隨誤差角度的變化關(guān)系。假設(shè)空間存在兩個(gè)干擾，來(lái)波方向分別是60°和105°，期望信號(hào)來(lái)波方向?yàn)?0°，INR為30 dB，SNR為25 dB，真實(shí)信號(hào)與期望信號(hào)的角度誤差為0°到5°，快拍數(shù)取100，圖6為幾種算法二者關(guān)系的關(guān)系圖。

圖5 幾種算法輸出SINR隨快拍數(shù)變換關(guān)系

圖6 幾種算法輸出SINR隨誤差角度變化圖

由圖6可見(jiàn)，DLB算法隨著誤差角度變大，輸出SINR有略微下降，這是由于誤差角度變大時(shí)會(huì)產(chǎn)生信號(hào)相消的現(xiàn)象。ESRB算法性能與算法WCOB和算法DLB比較差，本文算法隨著誤差角度變化表現(xiàn)穩(wěn)定且維持較高的輸出SINR，由此可見(jiàn)，本文算法在存在角度失配時(shí)有較高魯棒性。

為了更方便比較各算法間差異，列出表2對(duì)各算法進(jìn)行對(duì)比。從表中可知，從對(duì)真實(shí)來(lái)波方向估計(jì)、主瓣寬度、旁瓣高度以及對(duì)干擾抑制效果綜合來(lái)看，本文算法有著很明顯的優(yōu)越性。

表2 各算法對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成中導(dǎo)向矢量失配情況下，算法性能急劇下降的問(wèn)題，提出了本文算法。算法首先使用加權(quán)空間平滑對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行平滑，獲得更加精確的協(xié)方差矩陣，然后利用導(dǎo)向矢量不確定集方法獲得真實(shí)導(dǎo)向矢量，接著利用范數(shù)約束提高算法魯棒性。理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)表明本文算法能夠有效對(duì)干擾進(jìn)行零陷同時(shí)降低旁瓣高度，在快拍數(shù)低的情況下保持高輸出SINR。此外，導(dǎo)向矢量存在失配時(shí)算法能保持對(duì)期望信號(hào)的最大增益。從算法的計(jì)算量上來(lái)說(shuō)，本文提出的算法運(yùn)算量為O(5N3),DLB算法的運(yùn)算量為O(N3),ESRB算法的運(yùn)算量為O(8N3),WCOB算法的運(yùn)算量為O(ρN3)，其中ρ為迭代次數(shù)，一般取值為10以上的數(shù)，本文的算法總體計(jì)算量偏低。綜上，本文算法是一種理論意義與實(shí)際價(jià)值兼?zhèn)涞聂敯粜圆ㄊ纬伤惴ā?/p>