應(yīng)仲謀，劉曉穎

(華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門 361021)

0引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度大、抗腐蝕、耐久性等優(yōu)點(diǎn)，被越來(lái)越多地應(yīng)用于航空、機(jī)械、土木等工程領(lǐng)域[1-3]。工程中，設(shè)計(jì)人員通過(guò)纖維和基體材料的選擇、纖維含量以及鋪層的設(shè)計(jì)不斷優(yōu)化著纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的性能。隨著纖維鋪放技術(shù)的不斷發(fā)展[4，5]，纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的設(shè)計(jì)已由等剛度設(shè)計(jì)發(fā)展到變剛度設(shè)計(jì)[6，7]。如很多生物材料[8]一樣，變剛度設(shè)計(jì)中纖維的鋪設(shè)路徑和鋪設(shè)密度可隨位置的變化而變化。

與等剛度設(shè)計(jì)相比，變剛度設(shè)計(jì)進(jìn)一步改善著纖維增強(qiáng)復(fù)合板的性能。邵冠軍、謝麗婷和桑川等通過(guò)設(shè)計(jì)孔邊纖維鋪放路徑和鋪放密度有效降低了開孔連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合板的應(yīng)力集中系數(shù)，使得復(fù)合板的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性得到有效提高[9-11]。Setoodeh 等對(duì)連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合矩形板的研究也表明：允許剛度在空間上變化，可以顯著改善復(fù)合板的屈曲性能[12]。

與改變纖維鋪設(shè)路徑相比，改變直纖維分布密度的工藝更簡(jiǎn)單，更易實(shí)現(xiàn)[13]。Kuo 和Shiau 采用有限元方法研究了變間距直纖維分布增強(qiáng)復(fù)合材料層合板的屈曲和振動(dòng)性能，發(fā)現(xiàn)分布在板中部的纖維越多，復(fù)合板的屈曲荷載和固有頻率就越大[14]。之后，Kuo 陸續(xù)研究了不同纖維分布對(duì)增強(qiáng)復(fù)合材料層合板在氣動(dòng)力和熱應(yīng)力作用下的熱后屈曲、振動(dòng)和顫振特性的影響[15，16]，發(fā)現(xiàn)纖維的再分布可以顯著提高其臨界屈曲溫度，有效地提高其固有頻率和顫振邊界。

上述研究說(shuō)明纖維的變間距設(shè)計(jì)是提高連續(xù)纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板性能的一種有效方法，但目前尚未發(fā)現(xiàn)針對(duì)具體作用載荷進(jìn)行纖維變間距設(shè)計(jì)的相關(guān)文獻(xiàn)，而針對(duì)具體載荷的變間距設(shè)計(jì)具有實(shí)際意義。

本文針對(duì)具體載荷，用Abaqus 建立等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的微觀有限元模型，分析其受載時(shí)的應(yīng)力和變形；根據(jù)等強(qiáng)度法，由復(fù)合板中纖維的橫截面正應(yīng)力擬合出變間距纖維分布的纖維分布函數(shù)，獲得變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中的纖維間距。

1 基于等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的變間距纖維分布函數(shù)的等強(qiáng)度設(shè)計(jì)

連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合板中，纖維是載荷的主要承擔(dān)者。通常，等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中各纖維承受的載荷并不相同，應(yīng)力高者決定板的整體強(qiáng)度，而應(yīng)力低者材料性能得不到充分發(fā)揮。如果通過(guò)設(shè)計(jì)令各纖維中的最大應(yīng)力值相等，使所有纖維的力學(xué)性都能得到充分發(fā)揮，則板的強(qiáng)度和剛度必然得到提高。下面應(yīng)用該等強(qiáng)度思想，由等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板設(shè)計(jì)變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板。

由于纖維的直徑遠(yuǎn)小于板的厚度，纖維基本上不承受彎曲和扭轉(zhuǎn)作用(第2 節(jié)的有限元分析將證明該點(diǎn))，可以把纖維看作拉壓桿。設(shè)等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板某鋪層中的任意兩束纖維中的拉壓應(yīng)力為σN1和σN2，設(shè)纖維束的面積為A，則這兩束纖維承受的軸力為

在此基礎(chǔ)上，把兩束纖維的面積分別變?yōu)閚1A和n2A，則纖維中的拉壓應(yīng)力變?yōu)?/p>

把(1)式帶入(2)式，并令σ'N1= σ'N2，得

式中，σN1和σN2為等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中的任意兩束纖維的拉壓應(yīng)力，n1和n2為等強(qiáng)度設(shè)計(jì)時(shí)的纖維面積放大系數(shù)，可作為變間距纖維分布時(shí)纖維在該兩束纖維處的分布集度。(3)式表明變間距纖維分布的纖維分布規(guī)律與等間距纖維分布時(shí)的纖維拉壓應(yīng)力分布規(guī)律相同，因此，變間距纖維分布的分布函數(shù)可由等間距纖維分布時(shí)的各纖維橫截面正應(yīng)力擬合得到。

基于等間距纖維分布和等強(qiáng)度法的變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的設(shè)計(jì)具體步驟如下：①針對(duì)實(shí)際工作載荷，利用有限元進(jìn)行等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的應(yīng)力應(yīng)變分析，得到各纖維的橫截面正應(yīng)力；②利用Matlab 對(duì)鋪層中所有纖維的橫截面正應(yīng)力進(jìn)行擬合，得該鋪層的變間距纖維分布函數(shù)；③通過(guò)均分上述擬合曲線下方面積得到變間距纖維分布中的各纖維位置。

下面以兩鋪層的纖維增強(qiáng)復(fù)合方板為例證明該方法的有效性。

2 設(shè)計(jì)實(shí)例

2.1 等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板的應(yīng)力和變形

等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板的尺寸和坐標(biāo)系如圖1 所示，距上下表面h0處沿x 和y 方向分別鋪設(shè)n 束直徑為φ 的纖維。設(shè)板的四邊為固支約束，分別受兩種載荷作用：①上表面受均布?jí)簯?yīng)力p1的作用，如圖2(a)所示；②上表面中心圓形區(qū)域(直徑為d)受壓應(yīng)力p2作用，如圖2(b)所示。

圖1 等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板

圖2 載荷與約束

設(shè)復(fù)合板的尺寸a=b=300 mm，h=10 mm，纖維鋪設(shè)位置h0=2 mm，纖維直徑φ=1 mm，每層單向鋪設(shè)數(shù)量n=19，纖維間距t=a∕(1+n)=15 mm，均布?jí)簯?yīng)力p1=0.01 MPa，局部壓應(yīng)力p2=1 MPa，作用區(qū)域d=20 mm，建立Abaqus 有限元模型。

纖維和基體作為連續(xù)變形體分別建模。纖維的彈性模量為EF= 377 GPa，泊松比為νF= 0.26，采用一維梁?jiǎn)卧狟31 劃分網(wǎng)格，單元長(zhǎng)度為2 mm，每束纖維150 個(gè)單元?；w的彈性模量為ER=3.4 GPa，泊松比為νR= 0.35，采用三維實(shí)體單元C3D8R 劃 分 網(wǎng) 格 ， 單 元 尺 寸 為2 mm×2 mm× 2 mm，劃分了140 260 個(gè)單元。設(shè)纖維和基體之間完全粘結(jié)，其界面為理想界面，模型通過(guò)嵌入?yún)^(qū)域約束Embedded Region 把纖維埋入基體中，實(shí)現(xiàn)纖維和基體的理想連接。

有限元計(jì)算結(jié)果顯示纖維中的應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于基體中的應(yīng)力，纖維是載荷的主要承擔(dān)者；纖維橫截面上的應(yīng)力主要為拉壓正應(yīng)力以及少量的彎曲正應(yīng)力，而彎曲切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力很小，可忽略不計(jì)。表1 給出了纖維的橫截面最大正應(yīng)力ax和最小正應(yīng)力in、基體中的最大第一主應(yīng)力max以及板的最大撓度wmax。如圖3 為纖維橫截面正應(yīng)力分布云圖。由圖可知：所有纖維中，越接近板中心的纖維，橫截面正應(yīng)力絕對(duì)值越大；均布?jí)簯?yīng)力作用時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生在纖維的兩端，局部壓應(yīng)力作用時(shí)最大應(yīng)力發(fā)生中纖維的中部。

表1 等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中纖維和基體中的主要應(yīng)力以及板的最大撓度

圖3 纖維的橫截面正應(yīng)力云紋圖

2.2 變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板的纖維分布函數(shù)及各纖維位置

為得到變間距纖維分布函數(shù)，從有限元計(jì)算結(jié)果中沿纖維鋪設(shè)方向取出各纖維中的橫截面正應(yīng)力進(jìn)行曲線擬合。從單束纖維來(lái)看，橫截面的正應(yīng)力并不是處處相等的，因此需要選擇合適的取值點(diǎn)。根據(jù)降低極值應(yīng)力的設(shè)計(jì)目標(biāo)，把纖維橫截面正應(yīng)力極值位置作為初始取值點(diǎn)是合理的。從該點(diǎn)沿鋪設(shè)方向取出各纖維橫截面正應(yīng)力進(jìn)行擬合。應(yīng)力取值和擬合結(jié)果如下所示：

(1)均布?jí)簯?yīng)力p1作用時(shí)，最大橫截面正應(yīng)力出現(xiàn)在中部纖維的兩端(如圖3(a)所示)，所以從纖維端部取值進(jìn)行擬合。圖4(a)給出了上層沿x 方向鋪設(shè)的所有纖維的應(yīng)力取值結(jié)果。對(duì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得四次多項(xiàng)式：

該式即為均布?jí)簯?yīng)力作用時(shí)的變間距纖維分布函數(shù)。

(2)局部壓應(yīng)力p2作用時(shí)，最大橫截面正應(yīng)力出現(xiàn)在中部纖維的中間位置(如圖3(b)所示)，所以從纖維中間取值進(jìn)行擬合。圖4(b)給出了上層沿x 方向鋪設(shè)的所有纖維的應(yīng)力取值結(jié)果。因?yàn)楹茈y對(duì)組數(shù)據(jù)在整個(gè)區(qū)間x ∈[1,300]內(nèi)進(jìn)行擬合，所以本文分別在x ∈[1,150]和x ∈[150, 300]兩區(qū)間內(nèi)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得分段四次多項(xiàng)式式(5)：

式(5)即為局部壓應(yīng)力作用時(shí)的變間距纖維分布函數(shù)。

通過(guò)等分分布函數(shù)的積分面積 A1=f1(x)dx 或A2=f2(x)dx 獲得變間距纖維分布時(shí)各纖維的鋪設(shè)位置。設(shè)纖維的鋪設(shè)數(shù)量為n，把A1或A2等分成n 份，每份面積的形心即為新的纖維鋪設(shè)位置。表2 列出了n = 19 時(shí)的纖維位置。

圖4 等間距纖維分布時(shí)纖維橫截面正應(yīng)力及其擬合曲線

由于對(duì)稱性，表2 只列出了上層沿x 方向鋪設(shè)的1-10 號(hào)纖維的位置，11-19 號(hào)纖維與1-9 號(hào)纖維以10 號(hào)纖維的位置為對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱分布，上層沿y方向的鋪設(shè)以及下層的鋪設(shè)位置都如表2 所示。

2.3 結(jié)果對(duì)比

按表2 中的數(shù)據(jù)重新布置2.1 節(jié)復(fù)合板的纖維位置后得到變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板，并對(duì)其進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析。表3 給出兩種載荷下纖維的橫截面最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力、基體中最大第一主應(yīng)力以及板的最大撓度wmax。

表2 變間距纖維分布中的纖維位置

與等間距纖維分布相比，變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中的纖維橫截面最大正應(yīng)力分別降低了16%和30%，最小正應(yīng)力分別降低了16%和29%，基體中最大第一主應(yīng)力分別減低了16% 和37%，板的最大撓度分別減低了16%和24%。

表3 變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板中纖維和基體中的主要應(yīng)力以及板的最大撓度

由此可見，采用上述方法設(shè)計(jì)出的變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的強(qiáng)度和剛度得到了顯著提高。

3 結(jié)論

本文在等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上，采用等強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)了變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板，有效降低了復(fù)合板中的應(yīng)力和變形，增強(qiáng)了復(fù)合板的強(qiáng)度和剛度。主要結(jié)論如下：

(1)變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板的纖維分布函數(shù)可由等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板受載時(shí)的纖維橫截面正應(yīng)力擬合得到；

(2)針對(duì)具體作用載荷的變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合板設(shè)計(jì)，該方法方便有效；

(3)變間距纖維分布函數(shù)的具體形式與作用在復(fù)合板上的具體載荷有關(guān)。如文中纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板，受均布?jí)簯?yīng)力作用和受中心局部壓應(yīng)力作用時(shí)的變間距纖維分布函數(shù)分別為公式(4)和(5)；

(4)與等間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板相比，變間距纖維分布增強(qiáng)復(fù)合方板受均布?jí)簯?yīng)力和中心局部壓應(yīng)力作用時(shí)的纖維應(yīng)力、基體應(yīng)力和板的變形都有很大程度地減低。