李志軍, 向建軍, 盛 濤, 肖冰松

(空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院，西安，710038)

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing，STAP)技術(shù)歷經(jīng)幾十年的發(fā)展，已經(jīng)取得了長足的進(jìn)步。文獻(xiàn)[1]提出了最優(yōu)空時(shí)自適應(yīng)處理的方法，但是這種方法的計(jì)算復(fù)雜度較高，并且需要大量獨(dú)立同分布的訓(xùn)練樣本，并不符合雷達(dá)的實(shí)際工作情況。為實(shí)現(xiàn)最小化樣本數(shù)，有學(xué)者提出了許多改進(jìn)型STAP方法，比如，降秩STAP方法[2-4]、降維STAP方法[5-7]、模型化參數(shù)STAP方法[8]和稀疏恢復(fù)的STAP方法[9-10]。1DT法是典型的時(shí)空級(jí)聯(lián)的二維空時(shí)自適應(yīng)處理方法，該方法先選用單個(gè)多普勒通道對(duì)接收的信號(hào)進(jìn)行時(shí)域?yàn)V波，從而降低了數(shù)據(jù)維度，然后再對(duì)相同多普勒通道的信號(hào)進(jìn)行空域處理。該方法能夠有效降低雜波自由度并能大大降低運(yùn)算復(fù)雜度，但是該方法在時(shí)域處理時(shí)容易造成主瓣雜波的泄露，導(dǎo)致算法的性能大大降低。

近幾年，信號(hào)的稀疏表示和壓縮感知在統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理中得到廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)[11]提出使用l1范數(shù)稀疏約束恢復(fù)信號(hào)的方法。文獻(xiàn)[12]基于波束響應(yīng)中主瓣較旁瓣集中且較少的稀疏特性，提出了稀疏約束Capon波束約束形成器(Sparsity-Constrained Capon Beamformer，SCCB)，該方法對(duì)所有旁瓣的方位進(jìn)行均勻地約束以達(dá)到對(duì)波束整形的目的，當(dāng)約束系數(shù)較大時(shí)能夠有效降低旁瓣的高度，但是會(huì)使干擾零陷變淺。文獻(xiàn)[13]提出一種加權(quán)的約束算法，通過噪聲子空間與信號(hào)子空間的關(guān)系對(duì)約束進(jìn)行加權(quán)，但是該方法的計(jì)算復(fù)雜度較高，不適合對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的平臺(tái)。

為解決時(shí)空級(jí)聯(lián)空時(shí)自適應(yīng)處理存在的問題，提出一種時(shí)域加權(quán)稀疏約束的空時(shí)自適應(yīng)Capon處理方法(Temporary Weighted Sparsity-Constrained Capon，TWSCC)。在時(shí)域處理時(shí)引入加權(quán)稀疏約束的算法，在時(shí)域自適應(yīng)濾波器優(yōu)化模型中加入稀疏約束，考慮到對(duì)主瓣雜波的深零陷的需求，設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣在主瓣雜波的頻率加大激勵(lì)強(qiáng)度。該方法能夠有效抑制主瓣雜波，降低副瓣高度，提高輸出信號(hào)的信雜比，相對(duì)其他方法來說更易于工程實(shí)現(xiàn)。

1 信號(hào)模型及1DT空時(shí)自適應(yīng)處理原理

(1)

式中：?表示Kronecker積；Rl為第l個(gè)雜波環(huán)的散射點(diǎn)到天線的距離；F(θl,φl)、G(θl)分別表示發(fā)射方向圖增益和接收陣列合成增益；σi(θl,φl)表示該雜波塊的雷達(dá)截面積；at,i和bs,i分別表示該雜波塊的時(shí)域和空域?qū)蚴噶俊?/p>

at,i=[1,ej2π?,…,ej2π(K-1)?]T

(2)

bs,i=[1,ej2πf,…,ej2π(N-1)f]T

(3)

式中：?=2vcosθlcosφi/λfr和f=dcosθlcosφi/λ分別表示歸一化多普勒頻率和空域頻率。假設(shè)在該距離環(huán)上有Nc個(gè)雜波散射點(diǎn)，則在天線處接收的雜波加噪聲數(shù)據(jù)為：

(4)

式中：n為高斯白噪聲向量。

圖1 機(jī)載雷達(dá)的結(jié)構(gòu)和雜波環(huán)

1DT是對(duì)單個(gè)多普勒通道進(jìn)行空時(shí)自適應(yīng)處理的算法，該算法通過對(duì)離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)濾波器進(jìn)行加權(quán)處理然后再對(duì)通過時(shí)域?yàn)V波器的數(shù)據(jù)進(jìn)行空域自適應(yīng)處理。假設(shè)K×1維濾波器的系數(shù)為ωk(k=1,2,…,K)經(jīng)過濾波器后的雜波加噪聲的數(shù)據(jù)變?yōu)椋?/p>

(5)

式中：IN為N×N的單位矩陣。

對(duì)于目標(biāo)而言，其導(dǎo)向矢量為：

s=st?ss

(6)

式中：st為目標(biāo)的空域?qū)蚴噶?；ss為目標(biāo)的時(shí)域?qū)蚴噶?，并有?/p>

st=[1,ej2π?t,…,ej2π(K-1)?t]T

ss=[1,ej2πfd,…,ej2π(K-1)fd]T

式中：?t為目標(biāo)歸一化多普勒頻率；fd為目標(biāo)歸一化空域頻率。目標(biāo)導(dǎo)向矢量通過時(shí)域?yàn)V波器后的數(shù)據(jù)變?yōu)椋?/p>

(7)

空域處理的原則是使雜波和干擾輸出的能量最小并保持期望信號(hào)的能量不變：

(8)

其最優(yōu)解為：

(9)

式中：wm(m=1,2,…,M) 表示空域?yàn)V波器的權(quán)值；Rk表示通過多普勒濾波器后的噪聲加雜波協(xié)方差矩陣。

2 稀疏約束濾波器

理想的時(shí)域?yàn)V波器期望在目標(biāo)多普勒頻率處形成主瓣而要求旁瓣盡可能低，主瓣寬度的占比遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于旁瓣的寬度，這滿足在稀疏理論中“少部分元素非零而大多數(shù)元素為零或接近零”的稀疏性條件，所以時(shí)域?yàn)V波器的頻率響應(yīng)近似是一種稀疏分布。此時(shí)稀疏約束就是使濾波器響應(yīng)中非零元素個(gè)數(shù)最小。為了更好地壓制旁瓣，通常在旁瓣區(qū)按照一定的間隔進(jìn)行采樣，并加入到稀疏約束的條件，可以得到以下的優(yōu)化模型：

(10)

min (ωHRxω+λ‖ωHAΩ-γ‖1)
s.t.ωHa=1

(11)

式(11)可以通過Matlab凸優(yōu)化計(jì)算工具箱進(jìn)行求解。

由上面的分析可知，λ的值對(duì)旁瓣區(qū)域進(jìn)行無差別的約束，但是對(duì)于時(shí)域?yàn)V波器，重點(diǎn)關(guān)注的是主瓣雜波。 因此可以在主瓣雜波的區(qū)域?qū)ο∈杓s束進(jìn)行加權(quán)，來保證主瓣雜波的抑制效果，由此引入加權(quán)稀疏濾波器的概念。

3 時(shí)域加權(quán)稀疏約束的空時(shí)自適應(yīng)處理

1DT方法僅僅依賴濾波器的副瓣對(duì)雜波進(jìn)行抑制，對(duì)雜波尤其是主瓣雜波并不能取得很好的抑制效果，文中基于陣列信號(hào)處理中的自適應(yīng)波束形成的思想設(shè)計(jì)一種有限長單位沖激響應(yīng)(Finite Impulse Response, FIR)時(shí)域?yàn)V波器，使得在時(shí)域處理時(shí)，不僅能在主瓣雜波區(qū)域形成具有一定寬度的深零陷，而且能夠有效降低其他副瓣高度。

3.1 時(shí)域自適應(yīng)處理

文中第1節(jié)提到的時(shí)域處理是基于離散傅里葉變換設(shè)計(jì)的，該方法僅能利用對(duì)濾波器系數(shù)加權(quán)形成低副瓣對(duì)雜波進(jìn)行抑制，文獻(xiàn)[15～16]提出將空域自適應(yīng)濾波的概念引入時(shí)域，設(shè)計(jì)的時(shí)域?yàn)V波器能夠有效抑制主瓣雜波。該方法利用空域自適應(yīng)處理的方法，設(shè)計(jì)自適應(yīng)時(shí)域?yàn)V波器：

min (ωHRc+iω)
s.t.ωHa(f0)=1

(12)

式中：f0表示濾波器的中心頻率；a(f0)=[1,ej2πf0Tt,…,ej2π(K-1)f0Tt]表示目標(biāo)多普勒勒頻率的導(dǎo)頻矢量。Rc+i表示雜波加噪聲的協(xié)方差矩陣。

Rc+i=Rc+σ2IM

(13)

式中：Rc表示雜波的協(xié)方差矩陣；σ2表示噪聲的功率，考慮低雜波的情況，根據(jù)文獻(xiàn)[16]有：

(14)

(15)

該方法抑制遠(yuǎn)離主瓣雜波的雜波時(shí)效果較好，但是當(dāng)抑制主瓣雜波時(shí)，濾波器的頻率響應(yīng)會(huì)發(fā)生畸變。

按照第2節(jié)中的介紹可以使用稀疏約束的方法設(shè)計(jì)稀疏約束自適應(yīng)濾波器，但是在加入稀疏約束后雖然副瓣響應(yīng)得到了有效的抑制，但是濾波器的零陷會(huì)變淺。

為解決波束形成時(shí)稀疏濾波器取較大約束系數(shù)時(shí)零陷變淺的問題，文獻(xiàn)[17]首先提出了“人為”加權(quán)的思想，文獻(xiàn)[18]利用陣列矩陣和接收數(shù)據(jù)矩陣的相關(guān)關(guān)系得到旁瓣中不同接收數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布關(guān)系來計(jì)算加權(quán)矩陣，并提出混合范數(shù)的整形方法，文獻(xiàn)[13]提出利用噪聲子空間和干擾子空間的正交關(guān)系來設(shè)計(jì)加權(quán)矩陣。上述方法的主要思想都是在濾波器響應(yīng)中期望的零陷處加入較大的約束，來實(shí)現(xiàn)較深的零陷，同時(shí)保證旁瓣得到一定程度的抑制[19-21]。但是以上方法的加權(quán)矩陣的計(jì)算都比較復(fù)雜，不適合在計(jì)算復(fù)雜度很大的空時(shí)自適應(yīng)處理中應(yīng)用。將傳統(tǒng)的用于空域自適應(yīng)處理的方法引入時(shí)域自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)，并且在雜波區(qū)進(jìn)行稀疏約束時(shí)對(duì)主瓣雜波進(jìn)行加權(quán)，因此在保證深零陷的前提下能夠有效降低副瓣，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)雜波的有效抑制。

3.2 時(shí)域自適應(yīng)的加權(quán)稀疏約束自適應(yīng)濾波器

前文中介紹的1DT方法能夠有效濾除旁瓣雜波，但是對(duì)主瓣雜波的抑制效果不好，對(duì)于K階自適應(yīng)時(shí)域?yàn)V波器，根據(jù)第2節(jié)中的分析，引入加權(quán)矩陣Gt，可以得到的加權(quán)稀疏優(yōu)化模型為：

(16)

式中：ωt表示時(shí)域?yàn)V波器的權(quán)向量；λt≥0表示時(shí)域約束系數(shù)；At表示重構(gòu)后的旁瓣的導(dǎo)頻矢量的集合。下面給出加權(quán)矩陣的構(gòu)造方法：將旁瓣矩陣分解成如下形式：

At=[AcAt-c]

式中：Ac表示主瓣雜波附近區(qū)域的導(dǎo)頻矢量；At-c表示除去主瓣雜波附近的導(dǎo)頻矢量的旁瓣導(dǎo)頻矢量集合。根據(jù)重構(gòu)后的矩陣可以很容易給出加權(quán)矩陣：

式中：L1表示對(duì)主瓣雜波的加權(quán)值，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選??；It-c表示t-c階的單位矩陣，t表示旁瓣導(dǎo)頻矢量的秩，c表示主瓣雜波區(qū)域構(gòu)成的導(dǎo)向矢量的秩。

3.3 空域自適應(yīng)濾波器

空域處理與時(shí)空級(jí)聯(lián)的空域處理過程類似[22]，由式(6)可知，經(jīng)過時(shí)域?yàn)V波器后輸出的數(shù)據(jù)變?yōu)椋?/p>

(17)

將x(l)換成信號(hào)、干擾、雜波就可以得到該信號(hào)經(jīng)過時(shí)域?yàn)V波器的輸出信號(hào)。空域處理的原則是使雜波和干擾輸出的能量最小并保持期望信號(hào)的能量不變：

(18)

其最優(yōu)解為：

(19)

式中：wm(m=1,2,…,M) 表示空域?yàn)V波器的權(quán)值；Rk表示通過多普勒濾波器后的噪聲加雜波協(xié)方差矩陣；ψ0表示空域錐角。

3.4 算法步驟與計(jì)算量分析

Step1構(gòu)造自適應(yīng)時(shí)域?yàn)V波器，根據(jù)主瓣雜波的頻率構(gòu)造主瓣雜波區(qū)域?qū)ьl矢量矩陣，并構(gòu)造雜波區(qū)除去主瓣雜波區(qū)后的導(dǎo)頻矢量矩陣，并根據(jù)3.2節(jié)中重構(gòu)導(dǎo)頻矢量矩陣，根據(jù)重構(gòu)的導(dǎo)頻矢量矩陣的結(jié)構(gòu)引入加權(quán)矩陣，最后由式(16)計(jì)算出濾波器的復(fù)權(quán)值。

Step2由式(17)計(jì)算經(jīng)過自適應(yīng)時(shí)域?yàn)V波器的信號(hào)。

Step3計(jì)算空域?yàn)V波器的權(quán)值。

Step4根據(jù)自適應(yīng)空域?yàn)V波器的權(quán)值計(jì)算輸出信號(hào)。

在實(shí)際應(yīng)用中，主瓣雜波都是通過先驗(yàn)知識(shí)估計(jì)并進(jìn)行存儲(chǔ)，因此主瓣雜波的相關(guān)矩陣可以離線獲取，所以計(jì)算量主要集中在濾波器權(quán)值計(jì)算上，文中提到的方法與1DT法都屬于降維的方法[10]，并且與空域處理的過程類似，故只需要比較時(shí)域的計(jì)算量，設(shè)所需的樣本數(shù)為L，則有L≥2N。那么，時(shí)域加權(quán)稀疏約束的后多普勒空時(shí)自適應(yīng)處算法的時(shí)域的計(jì)算量為LK2+2K3/3，1DT法時(shí)域的計(jì)算量為LK2+2K3/3?？梢娺@2種方法的計(jì)算量差異并不大。

4 仿真分析

在同樣的條件下，分析1DT法、自適應(yīng)時(shí)域?yàn)V波法，稀疏約束時(shí)域自適應(yīng)、加權(quán)稀疏約束時(shí)域自適應(yīng)方法的性能。對(duì)于32×32的均勻面陣，按列合成陣元數(shù)為32 的均勻線陣，假設(shè)一個(gè)相干處理間隔處理的脈沖數(shù)K=32。載機(jī)平臺(tái)的高度為9 km,脈沖重復(fù)頻率fr=2 000 Hz，天線陣元間距取半波長，雜噪比CNR=60 dB，信噪比SNR=0。按照經(jīng)驗(yàn)值[13]，2個(gè)時(shí)域約束系數(shù)都取λt=0.004。雜波取樣數(shù)主瓣雜波相對(duì)其它副瓣的相對(duì)加權(quán)值L1=10 dB，雜波功率譜方差δ2=40。假設(shè)歸一化主瓣雜波的范圍為[fc-0.05,fc+0.05]，在該頻率范圍內(nèi)按照0.005的歸一化頻率間隔進(jìn)行取樣，假設(shè)主瓣的歸一化頻率范圍為[f0-0.05,f0+0.05]，其他頻率范圍則為副瓣頻率，同樣按照0.005的歸一化頻率間隔進(jìn)行取樣。

文章中涉及到得方法在空域處理的方法都是一樣的，所以只需要對(duì)不同方法的時(shí)域性能進(jìn)行分析。當(dāng)歸一化主瓣雜波的頻率為fc=0.15，f0=0.4時(shí)，雜波頻率距離主瓣中心頻率較遠(yuǎn)，常規(guī)的自適應(yīng)方法能夠在保持較低副瓣的前提下保證較深的具有一定寬度的深零陷，見圖2。

當(dāng)歸一化主瓣雜波頻率fc=0.3，f0=0.4時(shí)，主瓣雜波距離主瓣頻率較近，如圖3所示，此時(shí)常規(guī)的自適應(yīng)方法雖然仍然能生成較低的零陷，但是其旁瓣也發(fā)生了嚴(yán)重的畸變，此時(shí)該方法顯然已經(jīng)不適用了。對(duì)于稀疏約束自適應(yīng)濾波器后，該方法具有與1DT法相似的旁瓣，但是其在主瓣雜波處的零陷深度顯然不如常規(guī)自適應(yīng)方法。對(duì)于加權(quán)稀疏約束法而言，該方法不僅能夠保持較低的旁瓣，而且能夠形成比上述2種方法更好的具有一定寬度的深零陷。

圖2 1DT法與常規(guī)自適應(yīng)頻率響應(yīng)圖

圖3 4種方法的頻率響應(yīng)圖

通過輸出時(shí)域?yàn)V波器的信雜比(Signal-to-Clutter-noise Ratio,SCR)衡量濾波器的性能，其定義為

式中：ω表示時(shí)域?yàn)V波器的權(quán)值；Rs表示期望信號(hào)時(shí)域自相關(guān)矩陣；Rc+i表示噪聲加雜波的時(shí)域自相關(guān)矩陣。

根據(jù)圖4可以看出，加權(quán)稀疏約束的空時(shí)自適應(yīng)處理方法的輸出信雜比優(yōu)于1DT法、常規(guī)自適應(yīng)方法和稀疏約束的方法，表明該方法能夠有效抑制雜波，尤其是對(duì)主瓣雜波的抑制具有非常好的效果。

在實(shí)際情況中天線陣元難免存在陣元幅相誤差，由文獻(xiàn)[23]可知幅相誤差均滿足零均值的高斯分布，在本文中取幅相誤差均服從均值為零，方差為5%的高斯分布，與文獻(xiàn)[23]分析方法一致，可以得到4種算法的輸出信雜比的對(duì)比圖，見圖5。

由圖5可知當(dāng)存在幅相誤差時(shí)，在時(shí)域處理中加權(quán)稀疏約束自適應(yīng)的方法性能仍然優(yōu)于1DT的方法和時(shí)域自適應(yīng)處理方法，并且與圖4對(duì)比，加權(quán)稀疏約束的空時(shí)自適應(yīng)方法輸出信雜比損失較小，抗幅相誤差的性能較好。

圖4 4種方法的輸出信雜比

圖5 存在幅相誤差時(shí)4種方法的輸出信雜比

5 結(jié)語

文中提出基于加權(quán)稀疏約束的時(shí)域自適應(yīng)空時(shí)處理方法，將陣列信號(hào)處理中的自適應(yīng)波束形成的思想引入時(shí)域自適應(yīng)處理，設(shè)計(jì)的時(shí)域?yàn)V波器不僅有較低的旁瓣而且能夠在主瓣雜波頻率形成具有一定寬度的深零陷，能夠有效提高對(duì)雜波的抑制性能，并且在存在幅相誤差時(shí)具有較好的穩(wěn)健性，最后仿真實(shí)驗(yàn)證了算法抑制雜波的性能較好。