陳睿涵

（西北工業(yè)大學(xué)啟迪中學(xué)，陜西 西安710000）

1 概述

1.1 概率論的歷史和發(fā)展

最初的概率論起源于賭博問題，在十五世紀(jì)，意大利的數(shù)學(xué)家塔塔利亞和帕喬利等人都討論過兩個(gè)人之間的賭金分配問題，概率論最早的著作是由荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯撰寫的《論賭博的計(jì)算》，而這本著作也是當(dāng)時(shí)概率論方面的最高著作，這也標(biāo)志著概率論的的誕生，而概率論學(xué)科中的真正奠基人便是伯努利家族的雅克布伯努利，他在著作《猜度術(shù)》中提出了以“伯努利定理”著稱的極限定理，而這個(gè)定理在這之后的概率學(xué)發(fā)展中占據(jù)了重要的地位。而在伯努利之后，法國(guó)的數(shù)學(xué)家棣莫弗在之前的概率論基礎(chǔ)上提出了正態(tài)分布，以及概率乘法等規(guī)則，之后拉普拉斯，高斯等人都對(duì)概率論做出了進(jìn)一步地深入研究工作，而拉普拉斯在他的著作《概率的分析理論》中以很強(qiáng)的分析工具來對(duì)概率論問題進(jìn)行處理[1]。正是在這部著作中，他給出了古典化模型的定義，事件發(fā)生的概率等于該事件可能出現(xiàn)的所有結(jié)果數(shù)和試驗(yàn)中可能的所有結(jié)果數(shù)之比。概率學(xué)再往后發(fā)展，便到了極限理論。俄國(guó)的數(shù)學(xué)家切比雪夫建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量的大數(shù)定律，而在這其中，泊松大數(shù)定律和伯努利定理變成了大數(shù)定律的特例。

1.2 隨機(jī)事件和概率

在概率學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中，很多事情是不斷發(fā)展并且相互聯(lián)系的，并且在這相互聯(lián)系的因果關(guān)系中，我們通過事件之間的因果關(guān)系可以將這些事件分為主要的兩大類。分別是確定性事件和不確定性事件。其中的確定性事件又包括必然事件和不可能事件兩種。如：太陽(yáng)每天從東邊升起，從西邊落下，便是必然發(fā)生的事件，而公雞下蛋便是不可能事件。這就說明這些事件之間的聯(lián)系和結(jié)果是必然的。而對(duì)于不確定性事件，在一定的條件下的結(jié)果是不確定的。例如：明天下不下雨，或者說拋擲一枚硬幣，觀察其是否正面朝上，這都是在一定的條件下結(jié)果不確定的事件，我們?cè)诟怕蕦W(xué)中也稱之為隨機(jī)事件，這個(gè)現(xiàn)象我們也稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。

概率：嚴(yán)格意義上指的是一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小。如太陽(yáng)從東邊升起的可能性便是100%，而從東邊落下的可能性便是0%。我們觀察可以得出，所有必然事件的發(fā)生概率皆為100%，不可能事件發(fā)生的概率為0%，而對(duì)于其他類事件諸如隨機(jī)事件。例如買東西買到次品，或者射擊打靶能否命中，都是既有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，所以它們的發(fā)生概率介乎于0%和100%之間，所以對(duì)于日常生活中的任何事件。我們都可以用概率模型來對(duì)它進(jìn)行定量分析。概率學(xué)中的不確定性確實(shí)是亟需解決的麻煩，但這也是多數(shù)情況下解決問題的主要甚至是唯一的途徑。

2 概率在生活中的實(shí)際應(yīng)用

本文通過研究概率及隨機(jī)事件在體育、金融、博彩、風(fēng)險(xiǎn)控制等行業(yè)的應(yīng)用來探究實(shí)際生活中概率學(xué)的用途和優(yōu)勢(shì)。

2.1 概率在體育中的應(yīng)用

射箭比賽中采用的環(huán)靶的形狀是圓形，并且從內(nèi)到外是由分別等寬的同心環(huán)組成，構(gòu)成十個(gè)等寬的環(huán)區(qū)，環(huán)的中心位置我們稱之為環(huán)心，邊緣位置稱之為環(huán)邊，因此在射箭比賽中，我們把環(huán)心到環(huán)邊的十個(gè)環(huán)區(qū)分別記為十環(huán)、九環(huán)...一環(huán)，最終在比賽中擊中哪一環(huán)便得到哪一環(huán)的分?jǐn)?shù)，對(duì)于射箭比賽我們的直觀理解為越靠近靶心擊中越難，得分越高，接下來，我們從概率學(xué)角度來研究不同分?jǐn)?shù)的難易程度，我們假設(shè)箭靶呈圓形并且每個(gè)環(huán)的寬度相同，并且寬度設(shè)為r，我們采用幾何概型，其中十環(huán)的面積是πr^2 依此類托，從內(nèi)往外，九環(huán)、八環(huán)....一環(huán)的面積依次為3πr^2、5πr^2....19πr^2。我們假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在射箭途中不會(huì)脫靶，并且擊中靶上任何一個(gè)部位都為隨機(jī)的,所以由幾何概型的定義我們可以得出，對(duì)于任何一個(gè)射箭運(yùn)動(dòng)員來說，射中十環(huán)的概率是0.01，射中九環(huán)的概率是0.03，以此類推，射中八環(huán)七環(huán)...一直到一環(huán)的概率分別是0.05、0.07...0.19，所以從概率的角度來看，射中一環(huán)的概率最高，射中十環(huán)的概率最低，所以越靠近靶心的位置越難射中，相應(yīng)的分?jǐn)?shù)也會(huì)越高。

2.2 概率在金融方面的應(yīng)用

設(shè)某基金公司分別投資三只獨(dú)立的股票，且投資這三只股票的概率分別是0.7，0.6 和0.4，求（1）其中任意兩只股票至少有一只獲利的概率。（2）投資三只股票至少有一只獲利的概率。

解答：設(shè)P(A)，P(B),P(C)分別表示三只股票獲利，并且A,B,C相互獨(dú)立，其中P(A) =0.7,P(B) =0.6，P（C）=0.4，對(duì)于問題（1）則其中任意兩只股票至少由一只獲利的概率為：P=P (AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)+P(B)*P(C)-2P(A)*P(B)*P(C)=0.7*0.6+0.7*0.4+0.6*0.4-2*0.7*0.6*0.4=0.604。

對(duì)于問題(2),三只股票至少有一只獲利的概率,P=P(A+B+C)=P (A)+P (B)+P (C)-P (AB)-P (AC)-P (BC)+P (ABC)=0.7+0.6+0.4-0.7*0.6-0.7*0.4-0.6*0.4+0.7*0.6*0.4 = 0.928。

或者從反面考慮，三只股票至少有一只股票獲利的反面是沒有一只獲利，P=1-P（ABC)=1-0.3*0.4*0.6=0.928。

綜合以上的計(jì)算結(jié)果，我們可以得出結(jié)論:投資于多個(gè)股票的獲利的概率大于投資于單個(gè)的股票的獲利概率，這也是常見的概率學(xué)投資方法。

2.3 概率在博彩方面的應(yīng)用

我們采用對(duì)于國(guó)內(nèi)最常見的福利彩票- 雙色球玩法進(jìn)行概率學(xué)分析，其中雙色球兩塊錢一注，每注包括6 個(gè)紅色號(hào)碼球和1 個(gè)藍(lán)色號(hào)碼球，其中紅色號(hào)碼球的范圍實(shí)在1-33[2,3]，藍(lán)色號(hào)碼球的范圍是在1-16，而對(duì)于雙色球的獎(jiǎng)金設(shè)置，彩票公司將獎(jiǎng)金設(shè)置為彩票銷售額的50%，并且對(duì)于每注獲得的獎(jiǎng)項(xiàng)進(jìn)行分級(jí)，分別包括一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)一直到六等獎(jiǎng)，而其中一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)屬于高等獎(jiǎng)項(xiàng)，其余的屬于低等獎(jiǎng)，高等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金采用浮動(dòng)制，而低等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金采用固定制，當(dāng)期高等獎(jiǎng)金的金額等于當(dāng)期的獎(jiǎng)金（銷售額*50%）減去當(dāng)期低等降級(jí)你的金額，而具體的中獎(jiǎng)規(guī)則和獎(jiǎng)金分布可以被詳細(xì)的描述為:

a.一等獎(jiǎng)：中獎(jiǎng)規(guī)則是抽中6 個(gè)紅色球和1 個(gè)藍(lán)色球，獎(jiǎng)金大約為當(dāng)期高等獎(jiǎng)金的70%。

對(duì)應(yīng)的概率為：

b.二等獎(jiǎng)：中獎(jiǎng)規(guī)則是抽中6 個(gè)紅色球，獎(jiǎng)金大約是當(dāng)期高等獎(jiǎng)金的30%。

對(duì)應(yīng)的中獎(jiǎng)概率為

c.三等獎(jiǎng)：中獎(jiǎng)規(guī)則是抽中5 個(gè)紅色球和1 個(gè)藍(lán)色球，獎(jiǎng)金為每一注3000 元。

對(duì)應(yīng)的中獎(jiǎng)概率為

d.四等獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)規(guī)則是抽中5 個(gè)紅色球或者是4 個(gè)紅色球和1 個(gè)藍(lán)色球，獎(jiǎng)金為每一注200 元。

對(duì)應(yīng)的中獎(jiǎng)概率為

e.五等獎(jiǎng)：中獎(jiǎng)規(guī)則是抽中4 個(gè)紅色球或者是3 個(gè)紅色球和1 個(gè)藍(lán)色球，獎(jiǎng)金為每一注10 元。

對(duì)應(yīng)的中獎(jiǎng)概率

f.六等獎(jiǎng)：中獎(jiǎng)規(guī)則是抽中1 個(gè)藍(lán)色球（可以抽中2 個(gè)，1 個(gè)或者沒有抽中紅色球），對(duì)應(yīng)的中獎(jiǎng)概率。

而對(duì)應(yīng)的不中獎(jiǎng)概率為

對(duì)于上述問題，我們采用古典概型來計(jì)算不同獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的概率，因?yàn)槊恳环N獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的結(jié)果都是有限個(gè)，并且每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都是相同。

2.4 概率論在風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避中的運(yùn)用

對(duì)于在金融市場(chǎng)中的投資者來說，首先要考慮的目標(biāo)并不是目標(biāo)資產(chǎn)的盈利能力，而是如何才能夠合理地多樣化控制風(fēng)險(xiǎn)，因此規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)是現(xiàn)代投資組合理論的核心內(nèi)容，而概率論在資產(chǎn)組合理論中也起到了重要的作用[4]，我們從一個(gè)出售太陽(yáng)鏡和雨傘的商家來考慮如何能夠合理地降低在售賣商品中可能出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)，我們不妨假設(shè)商家售賣的雨傘和太陽(yáng)鏡的價(jià)格每件都是20 元，那么如果未來的天氣是晴天，則太陽(yáng)鏡的價(jià)格便會(huì)大幅上升，因此太陽(yáng)鏡的價(jià)格也會(huì)上漲到40 元每副，而雨傘的價(jià)格便會(huì)下跌到10 元每把，而如果未來的天氣是雨天，那么和晴天相反，雨傘的價(jià)格便會(huì)上漲到40 元，而太陽(yáng)鏡的價(jià)格便會(huì)下跌到10 元，如果假設(shè)未來的天氣出現(xiàn)晴天和雨天的概率分別都是50%，那么對(duì)于該商家，在囤貨的過程中，便有著很多的選擇，他可以選擇只囤太陽(yáng)鏡，或者只囤雨傘或者采用雨傘和太陽(yáng)鏡各囤一半等方式，那么我們接下來計(jì)算不同方式下這個(gè)商家的獲利數(shù)目和風(fēng)險(xiǎn)大小。

a.假設(shè)該商家的初始啟動(dòng)資金為400 元，如果全部屯雨傘，那么該商家未來可以購(gòu)買20 把雨傘，如果未來是晴天，那么銷售額為20*10=200 元，如果未來是雨天，則銷售額為20*40=800，那么出現(xiàn)盈利400 元（800-400=400），而因?yàn)槌霈F(xiàn)雨天和晴天的概率一樣，所以綜合該商家的綜合盈利數(shù)目為0.5*400+0.5*（-200)=100 元。

b.同樣如果全部囤太陽(yáng)鏡，那么就可以購(gòu)買20 幅太陽(yáng)鏡，那么如果未來是晴天，則銷售額是20*40 = 800 元，則會(huì)出現(xiàn)盈利400 元（800-400 = 400），如果未來是雨天，則銷售額是20*10 =200 元，則出現(xiàn)虧損200（200-400=-200）元。而因?yàn)槌霈F(xiàn)晴天和雨天的概率一樣，所以綜合該商家的綜合盈利數(shù)目也為0.5*400+0.5*-200 = 100 元。

c.如果一半囤太陽(yáng)鏡，一半囤雨傘，那么就可以購(gòu)買10 幅太陽(yáng)鏡和10 把雨傘，那么如果未來是晴天，那么太陽(yáng)鏡的售價(jià)會(huì)上升到40 元，雨傘的價(jià)格便會(huì)下降到10 元，那么最終銷售額是10*40+10*10 = 500 元，則會(huì)出現(xiàn)盈利100 元（500-400=100），而如果未來是雨天，那么太陽(yáng)鏡的售價(jià)會(huì)下降到10 元，而雨傘的價(jià)格會(huì)上升到40 元，那么最終的銷售額也會(huì)是10*10+10*40= 500 元，也會(huì)出現(xiàn)盈利100 元，所以最終不管在哪一種天氣情況下，該商家的最終盈利都會(huì)是100 元。

可以看出，三種投資模式下最終的獲利數(shù)目都是一樣，但是對(duì)于前兩種模式，投資者行為更加極端，更加受天氣的影響，比如對(duì)于囤雨傘，一旦出現(xiàn)晴天，便會(huì)出現(xiàn)虧損，可以看出這對(duì)商家的持續(xù)經(jīng)營(yíng)十分不利，所以商家需要進(jìn)行多元的投資來控制風(fēng)險(xiǎn)，提高確定性。提高持續(xù)的盈利能力。而對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡者來說，多元化的投資可以適當(dāng)?shù)慕档惋L(fēng)險(xiǎn)并相應(yīng)的提高確定性來提高投資者的效用。風(fēng)險(xiǎn)和收益控制也是金融市場(chǎng)上投資者需要面臨的核心問題。

2.5 概率論在決策分析中的應(yīng)用

在很多的現(xiàn)實(shí)情況中，決策者需要就當(dāng)前或者未來即將發(fā)生的問題來從若干個(gè)解決方案中選擇一個(gè)或者多個(gè)最佳的方案。所以決策者需要就發(fā)生的問題來進(jìn)行比較科學(xué)的分析，選擇最優(yōu)策略，并且盡量避免損失。而很顯然概率論可以幫助決策者顯著提高決策勝率和決策水平。我們選擇保險(xiǎn)公司的投保問題來看概率論在決策分析中的運(yùn)用。對(duì)于保險(xiǎn)公司而言，公司一方面既要照顧到保險(xiǎn)受益人的經(jīng)濟(jì)利益，但是同時(shí)，公司作為一個(gè)整體也要考慮公司的盈利能力。

比如說某一個(gè)單位發(fā)生萬元以上損失事故的概率是p=1/100, 并且保險(xiǎn)公司可以針對(duì)此項(xiàng)事故開辦一種一年期的保險(xiǎn)，開辦此保險(xiǎn)需要投保人繳納保險(xiǎn)費(fèi)用100 元，但是如果在一年內(nèi)該單位出險(xiǎn)，那么便可以從保險(xiǎn)公司獲得賠償a(a＞100)元，我們?yōu)榱耸沟帽ｋU(xiǎn)公司基于盈利目的而要求該保險(xiǎn)公司的預(yù)期收益不低于賠償金額的5%，那么請(qǐng)問在我們這只產(chǎn)品中，投保人能夠獲得的最大賠償金應(yīng)該是多少?

我們可以用x 表示保險(xiǎn)公司的收益，那么x=100 或者x=100-a

所以最終保險(xiǎn)公司獲得收益的期望是0.99*100+0.01*（100-a）

所以最大賠償金額1666 元

我們選取另一個(gè)實(shí)例，也就是承包工程的決策，假設(shè)某一個(gè)工程隊(duì)需要去承包一項(xiàng)工程，如果能夠在三天內(nèi)完成，那么就可以獲得利潤(rùn)8000 元，如果在四天內(nèi)能夠完成，那么也會(huì)相應(yīng)獲利5000 元，但是如果五天完成，那么便會(huì)被罰款10000 元，而根據(jù)工程隊(duì)的過往項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn)，工程隊(duì)三天，四天和五天完成此項(xiàng)工程的概率分別為0.3，0.4，0.3，那么請(qǐng)以此判斷，該工程隊(duì)是否適合承包該工程。

假設(shè)該工程隊(duì)獲得的利潤(rùn)為X 元

則P(X = 8000) = 0.3，P(X = 5000) =0.4，P(x = -10000) =0.3

所以最后獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望是

所以最終該工程隊(duì)獲得的平均利潤(rùn)是1400 元＞0，所以我們認(rèn)為該工程隊(duì)適合承包該工程。

3 結(jié)論

20 世紀(jì)以來，由于各種理論課題和實(shí)踐過程的擴(kuò)大深入，概率論已經(jīng)被引入到多種工程和社會(huì)科學(xué)中，而目前來看概率論在經(jīng)濟(jì)，金融統(tǒng)計(jì)和管理等領(lǐng)域已經(jīng)成為了很有效的工具和方法?，F(xiàn)在概率論已經(jīng)發(fā)展成了一門比較完整并且和實(shí)際聯(lián)系較為緊密的學(xué)科，由于其獨(dú)特的數(shù)學(xué)概念和方法，也逐漸成為了數(shù)學(xué)里面一個(gè)很重要的分支。本文主要研究的是概率的基本定義和在實(shí)際生活中的主要應(yīng)用等問題。我們研究的主要應(yīng)用場(chǎng)景具體可以分為體育，金融，博彩，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，決策分析等領(lǐng)域。而我們?cè)谶@些領(lǐng)域所用到的概率論模型和算法主要包括隨機(jī)事件，條件概率，全概率公式，貝葉斯公式等。我們?cè)谘芯窟@些生活中的具體問題時(shí)，希望能夠通概率達(dá)到認(rèn)清問題本質(zhì)的目的，這樣便可以讓我們?cè)谔幚砀鄰?fù)雜、龐大的問題時(shí)做到更加的簡(jiǎn)潔有效。并且我們也希望通過概率能夠?qū)κ虑樽龀龊侠淼念A(yù)測(cè)，并采用相應(yīng)的方法來合理的規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。總之，在現(xiàn)實(shí)生活中，存在很多的隨機(jī)事件，我們相信概率論在以后的生活中一定能夠發(fā)揮更巨大的作用。