徐祖德

摘?要：本文以2019年全國Ⅰ卷理科第12題為載體，通過化繁為簡(jiǎn)、抽象模型、提煉公式，將幾何體外接球問題變得直觀、通透，簡(jiǎn)化計(jì)算量，適合在實(shí)踐中應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高考真題;幾何體;外接球

1?題目呈現(xiàn)

題目?（2019年全國Ⅰ卷理科第12題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（?）.

A.8 6πB.4 6πC.2 6πD. 6π

2?試題分析

本題緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，主要考查幾何體的外接球的體積問題，以三棱錐為載體，考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3?解法探究

思路1?對(duì)一個(gè)正三棱錐來說，底面邊長和側(cè)棱長是兩個(gè)基本量，這兩個(gè)基本量確定了，這個(gè)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征就確定了，外接球問題就自然解決了.于是本題可利用條件，建立等量關(guān)系求側(cè)棱長，再求外接球的半徑，從而求得外接球的體積.

解法1?設(shè)PA=PB=PC=2x，則EF=x.

又CF=3，在Rt△CEF中，由勾股定理可得，CE=3-x2.

在△ACP中，由中線定理可得，

AC2+CP2=2（AE2+CE2）.

則4+4x2=2（x2+3-x2）

解得x= 22.

所以PA=PB=PC=2.

過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC，則垂足點(diǎn)D為底面正三角形的中心.

所以PD=PC2-CD2= 63.

設(shè)正三棱錐外接球半徑為R，則有（PD-R）2+CD2=R2解得R= 62.

故球的體積為43πR3=6π，故選D.

思路2?求得側(cè)棱長后，根據(jù)各數(shù)據(jù)的特征，發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，于是可以將其補(bǔ)成正方體，從而可以快速求得外接球的半徑，問題就迎刃而解.

解法2?同思路1，先求得PA=PB=PC=2.

又AB=AC=BC=2，則△PAC，△PAB，△PBC均為等腰直角三角形.

所以PA，PB，PC兩兩互相垂直.

于是可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)棱長為 2的正方體，且正方體的外接球就是三棱錐的外接球.

設(shè)該三棱錐外接球半徑為R，則有（2R）2=（2）2+（2）2+（2）2.

解得R= 62.

故球的體積為43πR3=6π，故選D.

思路3?若對(duì)正三棱錐的性質(zhì)“對(duì)棱互相垂直”非常熟悉，我們還可以通過幾何證明三條側(cè)棱兩兩互相垂直，從而大大簡(jiǎn)化計(jì)算.

解法3?因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，所以EF是△PAB的中位線.

所以EF//PB.

又因?yàn)镃E⊥EF，所以CE⊥PB.

在三棱錐P-ABC中，因?yàn)镻A=PB=PC，△ABC為正三角形，所以AC⊥PB.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面ACP.

所以PB⊥PA，PB⊥PC.

所以在正三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直.

以下同解法2.

思路4?前面三種思路局限在立體幾何這個(gè)知識(shí)體系中，我們還可以利用空間向量的知識(shí)，轉(zhuǎn)化條件，發(fā)現(xiàn)棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直的特殊性，從而使問題輕松解決.

解法4?設(shè)PA=a→，PB=b→，PC=c→，依題意知a→=b→=c→，且〈a→，b→〉=〈b→，c→〉=〈a→，c→〉.

因?yàn)镃E=CP+PE=-c→+12a→，EF=12b→，∠CEF=90°，則CE·EF=（-c→+12a→）·b→2=0.

所以12cos〈a→，b→〉-cos〈b→，c→〉=0.

所以cos〈a→，b→〉=0.

所以a→⊥b→從而a→⊥c→，b→⊥c→

即PA，PB，PC兩兩互相垂直.

以下同解法2.

4?試題變式

思考1?根據(jù)正三棱錐的底面三角形外接圓與棱錐的高構(gòu)造一個(gè)圓錐，我們發(fā)現(xiàn)該圓錐的外接球即為正三棱錐的外接球，故可將正棱錐補(bǔ)成圓錐求解.

變式1?已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC=l，△ABC是邊長為a的正三角形，則球O的半徑為.

解析?如圖2，以△ABC的外接圓為底面，以PA為母線，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)圓錐，這時(shí)三棱錐的外接球即為圓錐的外接球.

在Rt△PAD中，有PA2=PD2+AD2，即l2=h2+r2.

在Rt△OAD中，有OA2=OD2+AD2，即R2=（h-R）2+r2.

所以R=l22h=l22 l2-13a2.

思考2?在本高考題中三棱錐P-ABC具有“三棱兩兩互相垂直”這一特殊的幾何性質(zhì)，我們可以削弱條件，三棱錐P-ABC中只有一條側(cè)棱PA⊥底面ABC，我們可以通過補(bǔ)成柱體求解.

變式2?已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=h，BC=a，∠BAC=θ，則球O的半徑為.

解析?如圖3，以△ABC的外接圓為底面，以PA為高，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)圓柱，這時(shí)三棱錐的外接球即為圓柱的外接球.

在Rt△OAD中，有OA2=OD2+AD2，即R2=（h2）2+r2.

在△ABC中，由正弦定理得2r=BCsin∠BAC=asinθ.

所以R=（h2）2+r2=h24+a24sin2θ= h2sin2θ+a22sinθ.

通過以上分析，我們可以得到特殊幾何體外接球半徑的三種常見求解公式：

（1）補(bǔ)方 ：R=12 a2+b2+c2

（2）補(bǔ)錐：?R=l22h

（3）補(bǔ)柱：R=（h2）2+r2

5?題后反思

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會(huì)解題，而想要學(xué)會(huì)解題，好的數(shù)學(xué)題目是關(guān)鍵，高考試題就恰恰是我們最佳研究對(duì)象.幾何體的外接球半徑問題，主要考查學(xué)生的空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，已成為高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.解決幾何體外接球半徑問題的關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇幾何體的一面，確定此面多邊形外接圓的圓心，再過此圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其它頂點(diǎn)的情況確定球心的準(zhǔn)確位置.而“補(bǔ)方”“補(bǔ)錐”“補(bǔ)柱”是解決特殊幾何體外接球半徑問題行之有效的方法.

（收稿日期：2019-12-01）