張 然，賀西平，王照偉

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西省超聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710119)

0 引 言

超聲振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)于超聲加工而言是不可或缺的。超聲振動(dòng)系統(tǒng)一般由超聲換能器，超聲變幅桿及加工工具頭組成。變幅桿在振動(dòng)系統(tǒng)中的主要作用是聚集超聲振動(dòng)能量，將機(jī)械振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位移或速度放大，還可以作為機(jī)械阻抗變換器在換能器和聲負(fù)載之間進(jìn)行阻抗匹配[1]。近年來，隨著超聲技術(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，人們對(duì)超聲變幅桿的關(guān)注度也越來越高。許多學(xué)者在變幅桿研究方面取得了進(jìn)展。Makuta 等[2]提出使用鈦合金制成的中空階梯形變幅桿來放大超聲波振動(dòng)，很容易產(chǎn)生直徑小于100 μm 的微泡。王維鴿等[3]以設(shè)計(jì)大放大系數(shù)、高能量轉(zhuǎn)換效率的變幅桿為目標(biāo)，研究了內(nèi)通孔分別為柱孔和錐孔而外形為錐形的變幅桿，并計(jì)算了桿中應(yīng)力以及振動(dòng)位移的分布規(guī)律。張?jiān)齐姷萚4]設(shè)計(jì)了帶中心通孔的夾心式壓電換能器和圓錐變幅桿，用于超聲珩磨的超聲振動(dòng)系統(tǒng)。加工陶瓷等易碎材料時(shí)，利用超聲振動(dòng)的帶孔變幅桿的設(shè)備比起傳統(tǒng)的利用激光和水射流的設(shè)備更簡易和小型化[5-6]。孔型變幅桿還可將雞蛋殼的寬端打孔加工為圓形來提取可預(yù)防疾病的疫苗，克服了傳統(tǒng)方法即用金屬刀片切割器處理時(shí)會(huì)產(chǎn)生大噪聲且切割面粗糙、效率低等問題[7]。超聲加工裝置和拋光漿聯(lián)合可用于玻璃等易碎材料的加工孔領(lǐng)域[8-9]；超聲橢圓振動(dòng)套磨制孔技術(shù)可用于航空航天領(lǐng)域[10]；超聲加工還可用于超聲輔助珩磨和超聲輔助鉆削加工等領(lǐng)域[11]。

本文提出了中心孔分別為柱形和錐形的圓柱形變幅桿?；诮馕龇ㄍ茖?dǎo)了這兩種孔型變幅桿的頻率方程及性能參數(shù)表達(dá)式，利用有限元法計(jì)算了在諧振狀態(tài)下這兩種變幅桿的應(yīng)力及振動(dòng)位移沿軸向分布的規(guī)律。結(jié)果表明，柱形孔的深度為1/4波長時(shí)，放大系數(shù)只與橫截面積之比有關(guān)。在相同諧振頻率及面積系數(shù)下，錐形孔變幅桿的放大系數(shù)小于柱形孔變幅桿的放大系數(shù)大，但其應(yīng)力曲線光滑且應(yīng)力極大值較小。

1 頻率方程、放大系數(shù)的推導(dǎo)

圖1(a)、1(b)分別是帶有柱形孔、錐形孔、外形均為圓柱形的半波長變幅桿，編號(hào)為1#和2#。如圖1 所示，以輸入端圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直線坐標(biāo)系。1#中的S1、L1、S2和L2分別為實(shí)心部分與柱形孔的橫截面積與長度，實(shí)心端的半徑為R，柱形孔的孔半徑為R1，則S1=πR2， S2=π( R2?)，其中ξ1和2ξ 分別為輸入端與輸出端的縱向振動(dòng)位移；2#中的1S′、S2′、3S′、a 和b 分別為實(shí)心部分與錐形孔兩端的橫截面積與其對(duì)應(yīng)的長度，設(shè)實(shí)心端的半徑為R，錐形孔小端半徑為，孔大端半徑為，則S1′=πR2，S2′=π( R2?R)，S3′=π(R2?)，其中和2ξ′分別為輸入端與輸出端的縱向振動(dòng)位移。圖1(c)為陶瓷等易碎材料(圖中用矩形表示加工對(duì)象的截面，加工對(duì)象當(dāng)然也可以為其他形狀)被兩種變幅桿打孔后的效果圖，打孔的半徑為R。變幅桿的材料取 45#鋼，密度為 7 800 kg·m-3, 彈性模量為2.09×1011N·m-2,泊松比為0.28。外徑R 取26 mm，R1與取21 mm，取18 mm。

1.1 柱形孔變幅桿

中心孔為圓柱形的變幅桿的位移函數(shù)可表達(dá)為

圖1 兩種孔型變幅桿及易碎材料被打孔后的示意圖Fig.1 Schematic diagrams of two horns and the punched fragile material

其中：R (x ) = R ? R1；面積系數(shù)。兩端自由邊界條件為

實(shí)空兩部分連接處的連續(xù)性條件為

由式(2)、(3)確定常數(shù)A、B、C 和D，代入式(1)，得到位移表達(dá)式：

頻率方程和放大系數(shù)分別為

1.2 錐形孔變幅桿

中心孔為錐形的變幅桿的位移函數(shù)可表達(dá)為

實(shí)空兩部分連接處的連續(xù)性條件為

由式(8)、(9)確定常數(shù)A、B、C 和D，代入式(7)，得到位移表達(dá)式：

頻率方程和放大系數(shù)分別為

其中：

2 性能參數(shù)計(jì)算

2.1 柱形孔變幅桿

2.1.1 實(shí)心部分長度對(duì)性能參數(shù)的影響

取變幅桿工作頻率為20 kHz 時(shí)，改變圓柱孔變幅桿實(shí)心部分長度的大小，得出1#變幅桿的諧振長度、位移節(jié)點(diǎn)和放大系數(shù)隨實(shí)心桿長度的變化規(guī)律，如圖2 所示。

從圖2 中可看出，諧振長度和位移節(jié)點(diǎn)位置隨L1變化的規(guī)律大致相似。當(dāng)L1的范圍為0～30 mm時(shí)，諧振長度和位移節(jié)點(diǎn)位置隨L1的增大而減??；當(dāng)L1的范圍為30～110 mm 時(shí)，諧振長度和位移節(jié)點(diǎn)位置隨L1的增大而增大；當(dāng)L1大于110 mm 時(shí)，諧振長度和位移節(jié)點(diǎn)位置逐漸減小。放大系數(shù)隨L1的增大先增大再減小，當(dāng)L1=65 mm 時(shí)，諧振長度為1L 的兩倍，放大系數(shù)達(dá)到最大。

圖2 諧振長度、位移節(jié)點(diǎn)位置、放大系數(shù)和實(shí)心桿長度的關(guān)系Fig.2 The relationships between resonant length, displacement node, amplification factor and the length of the solid part

2.1.2 中心孔半徑對(duì)性能參數(shù)的影響

保持L1= L2=65 mm、R=26 mm 不變，改變圓柱孔半徑大小，計(jì)算得出放大系數(shù)、諧振頻率與中心孔半徑之間的關(guān)系如圖3 所示。

2.2 錐形孔變幅桿小端半徑對(duì)性能參數(shù)的影響

圖3 放大系數(shù)、諧振頻率與圓柱孔半徑的關(guān)系Fig.3 The relationships between amplification factor, resonant frequency and the radius of the cylindrical hole

由圖4 和圖5 可知，保持錐形孔變幅桿的外徑等其它因素不變，只改變錐形孔小端半徑的大小。在諧振狀態(tài)下，放大系數(shù)與應(yīng)力相對(duì)值皆隨錐形孔小端半徑的增大而增大。

圖4 放大系數(shù)與錐形孔小端半徑的關(guān)系Fig.4 The relationship between amplification factor and the radius of the small end of the tapered hole

圖5 應(yīng)力相對(duì)值與錐形孔小端半徑的關(guān)系Fig.5 The relationship between the relative value of stress and the radius of the small end of the tapered hole

2.3 兩種變幅桿的諧振頻率與放大系數(shù)的關(guān)系

取變幅桿的工作頻率為14～25 kHz，圓柱孔變幅桿的圓柱孔半徑R1為最大值23 mm，令編號(hào)為3#；錐形孔變幅桿的錐形孔小端半徑為為18 mm，錐形孔大端半徑為 3R′為23 mm，令其編號(hào)為4#。代入以上各表達(dá)式中，可計(jì)算得到兩種變幅桿的放大系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系，如圖6 所示。

由圖6 可知，兩種孔型變幅桿的放大系數(shù)都大于相同外形幾何尺寸實(shí)心均勻桿的放大系數(shù)(實(shí)心均勻桿的放大系數(shù)為1)。面積系數(shù)相同的兩種變幅桿在同一頻率工作時(shí)，柱形孔變幅桿的放大系數(shù)比錐形孔變幅桿的放大系數(shù)大。

圖6 3#、4#變幅桿的放大系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系Fig.6 The relationship between amplification factor and resonant frequency of horns 3# and 4#

3 有限元模擬

利用有限元軟件建立與3#、4#變幅桿相對(duì)應(yīng)的模型，并進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算了中心孔分別為柱形和錐形、外形為圓柱形的變幅桿在縱振動(dòng)模態(tài)下沿軸向方向的位移和應(yīng)力分布曲線。將變幅桿輸入端振動(dòng)位移作為位移分布相對(duì)值的參考點(diǎn)，在諧振狀態(tài)下，兩種孔型變幅桿沿軸向的位移分布曲線如圖7 所示。選擇變幅桿實(shí)心棒部分任意一點(diǎn)(本文選取32 mm 處)的應(yīng)力值做參考點(diǎn)進(jìn)行歸一化處理，得到兩種孔型變幅桿沿軸向的應(yīng)力分布曲線，如圖8 所示。

圖7 3#、4#變幅桿沿軸向的位移分布Fig.7 The displacement distributions along the axial direction of horns 3# and 4#

從圖7 和圖8 中可以看出，在相同面積系數(shù)與諧振頻率下，錐形孔變幅桿的放大系數(shù)較小，但歸一化后的應(yīng)力曲線較光滑，且應(yīng)力最大值比圓柱孔變幅桿的應(yīng)力最大值降低了57.2%。有限元模擬結(jié)果與計(jì)算結(jié)果較吻合。

4 分析與討論

圖8 3#、4#變幅桿沿軸向的應(yīng)力分布Fig.8 The stress distribution along the axial direction of horns 3# and 4#

由圖2 與圖3 中的數(shù)據(jù)可以看出，在圓柱孔變幅桿內(nèi)孔不變的情況下，實(shí)心桿長度等于諧振長度的1/2 時(shí)，位移節(jié)點(diǎn)位于變幅桿的中心位置，且放大系數(shù)達(dá)到最大；當(dāng)圓柱孔深度與實(shí)心桿長度相等時(shí)，放大系數(shù)隨圓柱孔半徑的增大而增大，且變幅桿的輸入輸出端橫截面比率不能超過4.6。

由圖4 和圖5 可知，保持錐形孔變幅桿的外徑等其它因素不變，只改變錐形孔小端半徑的大小。在諧振狀態(tài)下，放大系數(shù)與應(yīng)力相對(duì)值皆隨錐形孔小端半徑的增大而增大。取錐形孔大端半徑與圓柱孔所能達(dá)到的最大半徑(即23 mm)相同時(shí)，由圖6可知，當(dāng)兩種孔型變幅桿的面積系數(shù)相同時(shí)，錐形孔變幅桿的放大系數(shù)比帶圓柱孔變幅桿的放大系數(shù)小。當(dāng)錐形孔變幅桿的錐孔大端突破文獻(xiàn)[6]結(jié)果的限制，當(dāng)其小端半徑增大至接近23mm 時(shí)，縱向振動(dòng)很難由實(shí)心部分傳到中孔部分。

圖7 和圖8 為有限元模擬的結(jié)果，兩種孔型變幅桿的放大系數(shù)都大于實(shí)心桿的放大系數(shù)(即1)；在相同面積系數(shù)與諧振頻率下，錐形孔變幅桿的放大系數(shù)較小，但歸一化后的應(yīng)力曲線較光滑，且應(yīng)力最大值比圓柱孔變幅桿的應(yīng)力最大值降低了57.2%。這很好地驗(yàn)證了上述規(guī)律。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)對(duì)放大系數(shù)與應(yīng)力的不同要求進(jìn)行選擇。

5 結(jié) 論

本文對(duì)中心孔分別為柱形和錐形、外形為圓柱形的超聲變幅桿進(jìn)行了推導(dǎo)計(jì)算及有限元設(shè)計(jì)，可得到以下結(jié)論：

(1) 兩種孔型變幅桿的放大系數(shù)都大于相同外形尺寸實(shí)心桿的放大系數(shù)。

(2) 保持錐形孔變幅桿的外徑等其它因素不變，只改變錐形孔小端半徑的大小，錐形孔變幅桿的放大系數(shù)隨錐形孔小端半徑的增大而增大。

(3) 當(dāng)兩種孔型變幅桿的面積系數(shù)相同時(shí)，錐形孔變幅桿的放大系數(shù)比帶圓柱孔變幅桿的放大系數(shù)小，但應(yīng)力最大值比帶圓柱孔變幅桿的降低了57.2%，且應(yīng)力曲線較光滑。