程相文，王志乾

（華北理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

0 引言

靜電陀螺儀是目前投入使用的精度最高的陀螺儀［1］，它是利用超高真空中強電場產(chǎn)生的支撐力將球轉(zhuǎn)子懸浮起來，由于它采用非接觸支撐，不存在摩擦，因此可以獲得極高的精度［2－3］。

球形轉(zhuǎn)子是靜電陀螺儀中最重要的部件。因為鈹具有低密度、高彈性模量、低泊松比、高比熱、低熱膨脹系數(shù)等優(yōu)良的物理性能和機械性能，從而使鈹成為靜電陀螺儀球轉(zhuǎn)子的首選材料［4］。靜電陀螺儀根據(jù)球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)可以分為兩大類：空心大球靜電陀螺儀和實心小球靜電陀螺儀。因為實心小球靜電陀螺儀具有體積小、重量輕、功耗低、精度及穩(wěn)定性好等優(yōu)點，使其在各國市場上得到廣泛應(yīng)用［5］。本文介紹的是實心小球靜電陀螺儀中的兩種經(jīng)典實心鈹轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，并對兩種結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量誤差精度進行計算分析，從而為靜電陀螺儀實心鈹轉(zhuǎn)子的研制工作提供重要的參考依據(jù)。

1 靜電陀螺儀實心球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

靜電陀螺儀實心球轉(zhuǎn)子采用的是直徑為Φ10的實心鈹球。靜電陀螺儀實心鈹球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)有多種形式，由于陀螺儀系統(tǒng)的工作需要，實心球轉(zhuǎn)子要造成唯一主慣性軸（H軸），即繞主慣性軸軸線旋轉(zhuǎn)時的慣性矩要大于繞其他軸線旋轉(zhuǎn)時的慣性矩。該主慣性軸是通過鑲嵌異種高密度金屬來獲得的［6］。

現(xiàn)主要對以下兩種結(jié)構(gòu)進行分析：一種結(jié)構(gòu)是在直徑Φ10金屬鈹球的制備中加入3根位置精度要求極高的鉭絲［7］，并在加工中確保鉭絲位置以形成慣性主軸，3根鉭絲在空間內(nèi)相互平行且相互夾角為120°，如圖1所示。

另一種結(jié)構(gòu)是在金屬鈹球中加入三根鉭絲如圖2所示，其中的3根鉭絲位置分布參考四軸球體研磨機的4根軸線，任意兩根鉭絲間夾角為109.471 2°，三根鉭絲匯交于球心，與水平面的夾角為19.471 2°，它們在水平面投影后相互間夾角為120°，從而形成如圖2所示位置的慣性主軸［8－9］。

圖1 三根鉭絲相互平行的球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

圖2 3根鉭絲具有夾角的球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)

2 理論基礎(chǔ)

設(shè)有共原點的兩組右手直角坐標(biāo)系xiyizi和xjyjzj，i系稱為舊系，j系稱為新系，如圖3所示。

圖3 兩個共原點的坐標(biāo)系

xj軸、yj軸和zj軸關(guān)于xiyizi的方向角分別是α1，β1，γ1；α2，β2，γ2；α3，β3，γ3。用i1，i2，i3和j1，j2，j3分別表示兩組坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量，于是有：

設(shè)空間有一點P（矢徑為r），關(guān)于這兩組坐標(biāo)系的坐標(biāo)分別是（xi，yi，zi）和（xj，yj，zj），于是有：

分別用i1，i2，i3點乘式（3）可得：

進一步用矩陣簡寫為：

其中：（r）i和（r）j為同一點P 分別在坐標(biāo)系i及j中的列陣，即（r）i＝（xi，yi，zi）T，（r）j＝（xj，yj，zj）T，方陣［Cij］為：

右下標(biāo)表示該方陣是由坐標(biāo)系j變換到坐標(biāo)系i的坐標(biāo)變換矩陣，并且稱［Cij］為方向余弦矩陣［10］。

在共原點的坐標(biāo)變換中，由繞一個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的方向余弦坐標(biāo)變換可知，繞x軸旋轉(zhuǎn)α的方向余弦矩陣為：

方陣的右上角（α）表示坐標(biāo)系j是由坐標(biāo)系i繞x軸轉(zhuǎn)過α角而得。同樣，繞y軸旋轉(zhuǎn)β及繞z軸旋轉(zhuǎn)θ的方向余弦矩陣為：

而鉭絲在球體中的偏轉(zhuǎn)并不是單純的繞一個軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換，是任意旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換。已知可以用繞三個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角來表示任意轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)變換矩陣，對于旋轉(zhuǎn)次序作如下規(guī)定，先繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角，再繞新的y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞新的x軸旋轉(zhuǎn)α角。因為坐標(biāo)系的連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)遵循矩陣右乘原則，則此旋轉(zhuǎn)變換矩陣展開后為：

3 模型計算

鉭絲在偏轉(zhuǎn)前后轉(zhuǎn)動慣量的偏差，可以轉(zhuǎn)換為以一根鉭絲中點為原點，分析該鉭絲上的任一點在發(fā)生偏轉(zhuǎn)前后的轉(zhuǎn)動慣量的偏差。在鉭絲上任一點A處取微段dx，其質(zhì)量為dm、矢徑為r，則該點A關(guān)于鉭絲偏轉(zhuǎn)前后的兩組坐標(biāo)系的坐標(biāo)分別是（xi，yi，zi）和（xj，yj，zj）（如圖4、圖5所示）。已知轉(zhuǎn)動慣量的表達式為J＝dmR2，其中R是質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸的垂直距離。兩種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)軸均滿足在空間內(nèi)與偏轉(zhuǎn)前的zi軸平行，且過球心。

因為已知（r）i＝［Cij］（r）j，所以有：程中繞x、y、z軸轉(zhuǎn)過一定相同的角度，即θ＝β＝α，從而可以計算出偏轉(zhuǎn)后的質(zhì)點A的坐標(biāo)，最后對偏轉(zhuǎn)前后質(zhì)點A的轉(zhuǎn)動慣量進行計算比較。

（1）對第一種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)進行分析：

如圖4可知，偏轉(zhuǎn)之前質(zhì)點A的坐標(biāo)為（0，0，z1），即xj＝0、yj＝0、zj＝z1，為方便計算現(xiàn)假設(shè)鉭絲偏轉(zhuǎn)時繞x、y、z軸轉(zhuǎn)過的角度均為10°，即θ＝10°、β＝

因此由式（12）、式（13）可知計算鉭絲上質(zhì)點A在偏轉(zhuǎn)后的轉(zhuǎn)動慣量比較復(fù)雜，因此可以假設(shè)鉭絲在偏轉(zhuǎn)過10°、α＝10°，則可得：

（2）對第二種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)進行分析：

由圖5可知，偏轉(zhuǎn)之前質(zhì)點A的坐標(biāo)為（0，y2，z2），即xj＝0、yj＝y(tǒng)2、zj＝z2，同理為方便計算現(xiàn)假設(shè)鉭絲偏轉(zhuǎn)時繞x、y、z軸轉(zhuǎn)過的角度均為10°，即θ＝10°、β＝10°、α＝10°，則可得：

圖4 第一種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)鉭絲偏轉(zhuǎn)

圖5 第二種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)鉭絲偏轉(zhuǎn)

現(xiàn)對這兩種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)鉭絲偏轉(zhuǎn)前后的轉(zhuǎn)動慣量進行綜合分析。分析兩種結(jié)構(gòu)偏轉(zhuǎn)前后質(zhì)點A轉(zhuǎn)動慣量的誤差，可以轉(zhuǎn)化為分析質(zhì)點A在鉭絲偏轉(zhuǎn)前后與旋轉(zhuǎn)軸的距離變化的大小。由于旋轉(zhuǎn)軸與偏轉(zhuǎn)前的z軸平行，所以分析質(zhì)點A到轉(zhuǎn)軸的距離，只需考慮x、y軸坐標(biāo)即可。第一種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)偏轉(zhuǎn)前質(zhì)點A的x、y坐標(biāo)為（0，0），偏轉(zhuǎn)后為（0.199z1，－0.141z1），偏轉(zhuǎn)量為Δx＝0.199z1、Δy＝0.141z1；第二種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)偏轉(zhuǎn)前質(zhì)點A的x、y坐標(biāo)為（0，y2），偏轉(zhuǎn)后為（－0.199z2，2.612z2），偏轉(zhuǎn)量為Δx＝0.199z2、Δy＝｜2.612z2－y2｜＝0.212z2。整理數(shù)據(jù)可得表1。

表1 兩種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)偏轉(zhuǎn)量 mm

由表1可知，若z1、z2取值相同，則明顯第二種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)x、y軸坐標(biāo)偏轉(zhuǎn)量較大，即在相同情況下，第二種球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)質(zhì)點A與旋轉(zhuǎn)軸的距離變化較大。

4 結(jié)論

由以上理論計算可知，三根鉭絲空間內(nèi)相互平行且相互夾角為120°的球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)（見圖1）在鉭絲偏轉(zhuǎn)后的轉(zhuǎn)動慣量的誤差小于任意兩根鉭絲間夾角為109.471 2°、三根鉭絲匯交于球心的球轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)（見圖2），因此圖1所示球轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)精度更高，在鈹轉(zhuǎn)子加工制造過程中更有利于保證其精度。