余建軍，蔡世波,胥 芳，韋 威，鮑官軍，張立彬

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部/浙江省重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引言

近年來，協(xié)作型機(jī)器人在工業(yè)裝配、生活服務(wù)、醫(yī)療手術(shù)等領(lǐng)域得到了日益廣泛的應(yīng)用[1-2]。在與人體交互作業(yè)的過程中，協(xié)作機(jī)器人不僅要有較高的位置和力/力矩控制精確性，還要有足夠的作業(yè)安全性，傳統(tǒng)協(xié)作型機(jī)器人是基于剛性傳動部件進(jìn)行關(guān)節(jié)傳動，基于多模傳感信息融合及復(fù)雜控制算法達(dá)到控制精確性與作業(yè)安全性的目標(biāo)[3]。研究人員不斷嘗試研究開發(fā)具有可變剛度特性的柔順關(guān)節(jié)，并將其與傳統(tǒng)剛性關(guān)節(jié)型機(jī)械臂集成應(yīng)用，以期通過更便捷的感知與控制方法獲得系統(tǒng)的柔順性與安全性[4]。

磁流變液是一種主要由載液、軟磁材料顆粒、表面活性劑組成的智能材料，具有可控流變特性，當(dāng)外磁場強(qiáng)度為零時表現(xiàn)為牛頓流體，當(dāng)施加外磁場時表現(xiàn)為黏塑性體，且其黏性隨外磁場強(qiáng)度的變化而變化[5-6]。Takesue等[7-8]基于磁流變液的可控流變特性設(shè)計出一種高扭矩、低慣性的磁流變離合器，并提出一種提高磁流變離合器扭矩響應(yīng)特性的反饋控制方法；Miura等[9]基于磁流變液的流變特性提出一種用于被動控制的驅(qū)動器，實驗研究表明這種驅(qū)動器有外力作用時才會產(chǎn)生阻力，適用于人機(jī)交互的場景；Wang等[10]設(shè)計了一種高扭矩—重量比的磁流變離合器，在此基礎(chǔ)上開展了扭矩開環(huán)控制實驗和碰撞安全性實驗，實驗研究表明，磁流變離合器的階躍響應(yīng)特性優(yōu)于摩擦離合器；Kim等[11]基于磁流變液制動器進(jìn)行了閉環(huán)耐久性控制實驗研究，實驗結(jié)果表明，磁流變液制動器在剪切模式下工作105次循環(huán)后仍然具有很好的閉環(huán)控制效果；Li等[12]設(shè)計了一種磁流變離合器，基于Bingham模型提出一種(剪切應(yīng)力和勵磁電流的)擬合模型，基于常規(guī)比例—積分—微分(Proportional-Integral-Derivative，PID)控制策略實現(xiàn)了磁流變離合器的扭矩輸出控制。目前，研究人員對磁流變液傳動裝置的研究多集中于離合器、制動器和阻尼器，將磁流變液傳動裝置應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)的研究較少。

本文提出一種基于磁流變液耦合傳動的機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)，該關(guān)節(jié)主要由伺服電機(jī)、減速機(jī)、柔順關(guān)節(jié)耦合器組成，其中柔順關(guān)節(jié)耦合器即為基于磁流變液設(shè)計的一種多片式耦合傳動裝置，利用磁流變液的可控流變特性可使機(jī)器人關(guān)節(jié)具有主動柔順特性和更高的安全性。同時提出基于分?jǐn)?shù)階PID(PIλDμ)的磁流變液柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩控制方法[13]，并開展了磁流變液柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩控制實驗。

1 基于磁流變液的機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)

1.1 柔順關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)

基于磁流變液的機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)主要由前桿和后桿組成，其中后桿內(nèi)部安裝有伺服電機(jī)、減速機(jī)和柔順關(guān)節(jié)耦合器，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 a 所示。柔順關(guān)節(jié)耦合器是磁流變液柔順關(guān)節(jié)的核心傳動部件，其結(jié)構(gòu)如圖1 b所示，磁流變液填充于柔順關(guān)節(jié)耦合器主、從動盤之間的工作間隙，在外部磁場作用下呈現(xiàn)可控的剪切屈服應(yīng)力，從而能夠在主、被動盤片之間發(fā)揮力矩傳遞的作用。當(dāng)勵磁電流發(fā)生變化時，磁流變液會發(fā)生流變效應(yīng)，且其流變過程可控、可逆。當(dāng)勵磁電流為零時，磁流變液會轉(zhuǎn)化為牛頓流體；當(dāng)勵磁電流足夠大時，磁流變液會轉(zhuǎn)化為類似固態(tài)的黏塑性體，宏觀表現(xiàn)為磁流變液的黏性可調(diào)，進(jìn)而能夠傳遞可控扭矩。基于磁流變液的機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)即利用了磁流變液的可控流變特性，使前桿的扭矩輸出具有主動柔順性，由于磁流變液剪切屈服應(yīng)力的可控特性，使磁流變液柔順關(guān)節(jié)前桿在運動過程中具有更高的安全性。表1所示為柔順關(guān)節(jié)耦合器的相關(guān)設(shè)計參數(shù)。

表1 柔順關(guān)節(jié)耦合器設(shè)計參數(shù)

1.2 柔順關(guān)節(jié)耦合器靜態(tài)模型

磁流變液填充于柔順關(guān)節(jié)耦合器主、被動盤片之間的工作間隙，在零磁場條件下呈現(xiàn)為牛頓流體，此時主要依靠磁流變液自身的零場粘度發(fā)揮扭矩傳遞作用，剪切應(yīng)力與剪應(yīng)變率呈線性關(guān)系。逐漸增大勵磁電流時，外磁場強(qiáng)度隨之增大，磁流變液的宏觀表現(xiàn)為粘度增大。剪切應(yīng)力受磁場強(qiáng)度和剪應(yīng)變率的影響，根據(jù)Bingham-Plastic模型[14]，磁流變液剪切傳動過程的剪切應(yīng)力

(1)

(2)

式中：Δω為(柔順關(guān)節(jié)耦合器)主、被動盤片之間的速度差；r為磁流變液的工作半徑；h為磁流變液的工作間隙。式(1)中的第二項是由磁流變液自身黏度產(chǎn)生的扭矩，可以忽略不計。

根據(jù)以上分析，在柔順關(guān)節(jié)耦合器的傳動盤片工作界面半徑r處取一微圓環(huán)，寬度為dr，得到的微傳遞扭矩

dT=τ·2πr·rdr。

(3)

因為柔順關(guān)節(jié)耦合器有多個盤片，設(shè)柔順關(guān)節(jié)耦合器的主動盤片和被動盤片的工作間隙數(shù)量為N，所以對式(3)兩邊進(jìn)行積分可得柔順關(guān)節(jié)耦合器的輸出扭矩

(4)

式中R1和R2分別為柔順關(guān)節(jié)耦合器被動盤片的外圓半徑和主動盤片的內(nèi)圓半徑。

勵磁線圈通電后，在外部磁場作用下將磁性顆粒鏈看作均勻的板，采用Maxwell應(yīng)力張量理論，考慮顆粒磁飽和與磁場集中效應(yīng)[15]，得到磁流變液靜態(tài)屈服應(yīng)力為

τm(H)=H2μ(χ⊥+1)sinθcosθ。

(5)

式中：μ為真空磁導(dǎo)率；χ⊥為垂直于板的磁化率；θ為磁場與板的夾角。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，磁場強(qiáng)度H和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為

B(H)=C1eC2H+C3。

(6)

基于柔順關(guān)節(jié)耦合器的磁路分析，結(jié)合安培定律得到磁感應(yīng)強(qiáng)度B和勵磁電流I的關(guān)系為

(7)

式中：Rm為柔順關(guān)節(jié)耦合器的磁路總磁阻；S為導(dǎo)線截面積；n為勵磁線圈匝數(shù)。聯(lián)立式(5)～式(7)，代入式(4)可得柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩傳遞靜態(tài)模型為

(8)

式中：C1，C2，C3均為常量，通過試驗測試得到；μ，χ⊥，θ根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，用MATLAB工具箱System Identification Toolbox辨識得到。

1.3 柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩傳遞動態(tài)模型

基于Bingham-Plastic的模型可以在靜態(tài)過程中準(zhǔn)確建立柔性關(guān)節(jié)耦合器輸出扭矩與電流的靜態(tài)關(guān)系式，但是無法計算動態(tài)過程中柔順關(guān)節(jié)耦合器的實際輸出扭矩。這是因為Bingham-Plastic模型本身忽略了磁流變液以外的其他因素，磁流變液的磁滯現(xiàn)象不明顯，而且響應(yīng)時間為毫秒級，與磁流變液相比，柔順關(guān)節(jié)耦合器中其他導(dǎo)磁部件存在的磁滯和漏磁現(xiàn)象會導(dǎo)致柔順關(guān)節(jié)耦合器的動態(tài)響應(yīng)無法像靜態(tài)模型那樣準(zhǔn)確。另一方面，磁流變液在滑差傳動過程中的溫漂特性、流體之間的摩擦都會影響柔順關(guān)節(jié)耦合器的動態(tài)性能，也增加了控制難度。考慮上述因素，現(xiàn)有理論難以建立精確的柔順關(guān)節(jié)耦合器動態(tài)模型，本文采用自回歸原理[17]，將模型的下一個輸出樣本與之前的觀察結(jié)果相關(guān)聯(lián)，即

y(t)=-a1y(t-1)-…-any(t-n)

+b1μ(t-1)+…+bmμ(t-m)。

(9)

式中：y(t-i)和μ(t-i)(i=1,2,…)分別為t時刻之前輸入量和輸出量的觀測值；ai，bi(i=1,2,…)為模型參數(shù)。

根據(jù)式(9)可以得到柔順關(guān)節(jié)耦合器輸出扭矩的動態(tài)模型測量值，其中該模型的輸入為靜態(tài)模型式(6)中的扭矩Ts，輸出為動態(tài)扭矩的測量值T(t)，

T(t)=-a1T(t-1)-…-anT(t-n)

+b1Ts(t-1)+…+bmTs(t-m)。

(10)

2 分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計

PIλDμ控制器[18]在整數(shù)階PID控制器的基礎(chǔ)上引入微分階次μ和積分階次λ兩個可調(diào)參數(shù)，通過調(diào)節(jié)μ和λ的取值可以得到不同的控制(器)結(jié)構(gòu)。如圖2a所示，整數(shù)階PID的微分階次μ和積分階次λ只能取0和1兩個值，分別對應(yīng)圖中4個點，當(dāng)μ=λ=0時為P(比例)控制；當(dāng)μ=0，λ=1時為PI(比例—積分)控制；當(dāng)μ=1，λ=0時為PD(比例—微分)控制；當(dāng)μ=λ=1時為常規(guī)PID控制。圖2b所示的陰影部分為PIλDμ控制器參數(shù)的微分和積分階次的取值范圍，因為λ和μ可以取任意值，其取值范圍由整數(shù)階PID控制器的“點”擴(kuò)展為“面”，所以PIλDμ的控制形式更加靈活，可以獲得更好的控制效果。

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階PID控制器原理

在分?jǐn)?shù)階微積分理論發(fā)展過程中，G-L (Grunwald-Letnicov)是分?jǐn)?shù)階微積分最廣泛應(yīng)用的定義之一[19]，針對PIλDμ控制系統(tǒng)，G-L分?jǐn)?shù)階微積分定義[20]為

(11)

(12)

PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為

(13)

式中：Kp，Ki，Kd分別為比例、積分和微分增益；λ，μ分別為積分階次和微分階次。

針對柔順關(guān)節(jié)耦合器動態(tài)模型，PIλDμ控制器的單位反饋控制系統(tǒng)如圖3所示，其中：Td(t)為系統(tǒng)輸入，T(t)為系統(tǒng)輸出，e(t)=Td(t)-T(t)為系統(tǒng)誤差，I(t)為控制器輸出。

2.2 基于理想Bode傳遞函數(shù)的PIλDμ控制器設(shè)計

基于理想Bode傳遞函數(shù)設(shè)計PIλDμ控制器的具體方法是：通過期望截止頻率和相位裕量求出理想Bode傳遞函數(shù)，基于該開環(huán)傳遞函數(shù)和控制對象求出PIλDμ控制器。該方法設(shè)計的PIλDμ控制器對增益的變化具有很強(qiáng)的魯棒性[21-22]。理想Bode傳遞函數(shù)為

(14)

式中：ωcg為柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩傳遞系統(tǒng)截止頻率；α∈(1,2)。

基于理想Bode傳遞函數(shù)設(shè)計的PIλDμ使閉環(huán)系統(tǒng)對增益變化具有很強(qiáng)的魯棒性，系統(tǒng)增益變化時將會使截止頻率ωcg發(fā)生變化，但不會引起相位裕度φm=π-πα/2變化，這種對系統(tǒng)增益變化不敏感的特性正是柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩傳遞控制系統(tǒng)所期望的。因此，基于理想Bode傳遞函數(shù)的這種特征設(shè)計PIλDμ控制器，可以使系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與理想Bode傳遞函數(shù)相同。閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)ωcg和α之間的關(guān)系為：

σ%≈0.8(α-1)(α-0.75)，1<α<2；

(15)

(17)

假設(shè)控制對象的傳遞函數(shù)為Cp(s)，PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為Cc(s)，理想Bode傳遞函數(shù)為C(s)，

(18)

PIλDμ控制器的設(shè)計步驟如下：

(1)根據(jù)柔順關(guān)節(jié)耦合器系統(tǒng)要求的頻域截至頻率ωcg和相位裕度φm計算理想Bode傳遞函數(shù)C(s)。

(2)根據(jù)上述閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計的時域指標(biāo)計算ωcg和α。

(3)根據(jù)式(19)得出PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)Cc(s)。

2.3 柔順關(guān)節(jié)耦合器的扭矩控制策略仿真

利用理想Bode傳遞函數(shù)的頻域設(shè)計方法可以分別得到PIλDμ和整數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)，PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為Cc(s) = 4.15+2.02/s1.13+35.13s0.81，整數(shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)為Cq(s) = 0.06+9.98/s+0.027s。在MATLAB/Simulink中建立兩種控制器的閉環(huán)仿真系統(tǒng)，圖4所示為柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，用于對比PIλDμ控制器和整數(shù)階PID控制器的仿真效果。

從圖4可以看出，無任何控制器作用的控制對象系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期較長，超調(diào)量較大，調(diào)節(jié)時間較長；而在PIλDμ和整數(shù)階PID控制器作用下，系統(tǒng)的動態(tài)性能得到明顯改善，超調(diào)量明顯減小，上升時間和調(diào)節(jié)時間都明顯減短，其中PIλDμ控制對系統(tǒng)階躍響應(yīng)的速度明顯更快，調(diào)節(jié)時間更短，超調(diào)量近似為零。表2所示為系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動態(tài)指標(biāo)，同樣可見PIλDμ控制器的超調(diào)量較小，響應(yīng)較快，調(diào)節(jié)時間較短。

表2 單位階躍響應(yīng)

以一組單位正弦信號作為仿真系統(tǒng)的期望扭矩信號，圖5所示為柔順關(guān)節(jié)扭矩控制系統(tǒng)在PIλDμ控制器和整數(shù)階PID控制器作用下對目標(biāo)扭矩的跟蹤控制效果?？梢钥闯觯琍IλDμ控制器對期望扭矩的跟蹤誤差小于整數(shù)階PID控制器，對目標(biāo)扭矩表現(xiàn)出更好的跟蹤控制效果。

3 實驗

為了驗證PIλDμ算法的準(zhǔn)確性，建立了柔順關(guān)節(jié)耦合器實驗平臺，并基于LabVIEW圖形化編程環(huán)境編寫了PIλDμ和整數(shù)階PID控制算法程序。實驗平臺和實驗流程如圖6所示，其基于NI PXI-1042Q機(jī)箱配置的多功能數(shù)據(jù)采集模塊NI 6259和模擬輸出模塊NI 6704構(gòu)成實驗控制系統(tǒng)，可實現(xiàn)對系統(tǒng)數(shù)據(jù)采集、伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速控制以及程控直流電源的控制。伺服電機(jī)為柔順關(guān)節(jié)耦合器系統(tǒng)提供動力，動態(tài)扭矩傳感器輸出扭矩信號，NI 6259采集模塊將扭矩電壓信號轉(zhuǎn)化為扭矩數(shù)值，通過控制NI 6704輸出模擬信號，使可程控直流電源為柔順關(guān)節(jié)耦合器提供穩(wěn)定、可調(diào)的直流電流，實驗平臺的主要產(chǎn)品如表3所示。

表3 柔順關(guān)節(jié)耦合器產(chǎn)品型號

3.1 靜態(tài)模型驗證實驗

根據(jù)磁流變液的Bingham-Plastic模型和Maxwell應(yīng)力張量理論建立了柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩傳遞的靜態(tài)模型，根據(jù)MATLAB的System Identification Toolbox工具箱辨識得到相關(guān)設(shè)計參數(shù)。為了驗證靜態(tài)模型的正確性，實驗以一組扭矩正弦信號作為柔順關(guān)節(jié)耦合器系統(tǒng)的輸入，圖7所示為正弦電流作用下系統(tǒng)輸出扭矩的測量值和估計值的變化曲線以及兩者之間的誤差曲線。

從圖7 a可以看出，輸出扭矩在某些時刻有一定波動，測量值和期望值也有一定相位延遲。估計值與測量值存在誤差是由于：①在扭矩傳動過程中，柔順關(guān)節(jié)耦合器中的導(dǎo)磁材料存在磁滯；②安裝過程中，柔順關(guān)節(jié)耦合器在對中性上有一定誤差；③可編程電源響應(yīng)有一定延時，無法達(dá)到零延時響應(yīng)；④建模過程中的忽略項引入了誤差。

3.2 動態(tài)跟蹤實驗

為了進(jìn)一步驗證PIλDμ控制器在磁流變液柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩控制過程中的優(yōu)越性，分別以正弦波、三角波和方波信號作為期望輸出扭矩，最大期望扭矩值均設(shè)為3 Nm。分別采用PIλDμ控制器和整數(shù)階PID控制器對期望扭矩進(jìn)行了跟蹤控制，圖8所示為3種波形的動態(tài)跟蹤控制實驗數(shù)據(jù)。

表4給出了不同控制器作用下的動態(tài)相應(yīng)參數(shù)，對比發(fā)現(xiàn)在PIλDμ控制作用下，系統(tǒng)響應(yīng)更快，超調(diào)量更小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間更短。表5所示為PIλDμ和整數(shù)階PID控制作用下的扭矩測量值與期望值之間的均方值誤差和均方根誤差，實驗數(shù)據(jù)表明PIλDμ控制器對柔順關(guān)節(jié)耦合器扭矩的控制具有更小的均方值誤差和均方根誤差，對期望扭矩的控制精度優(yōu)于整數(shù)階PID控制器。

表4 柔順關(guān)節(jié)耦合器階躍響應(yīng)

表5 整數(shù)階PID與PIλDμ的均方值誤差MSE和均方根誤差RMSE

4 結(jié)束語

本文基于磁流變液多片式耦合傳動裝置設(shè)計了一種機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)，其中利用磁流變液的可控流變特性控制機(jī)器人柔順關(guān)節(jié)的可變剛度，并結(jié)合Bingham-Plastic模型和Maxwell應(yīng)力張量理論建立了柔順關(guān)節(jié)耦合器的靜態(tài)模型?；谧曰貧w原理建立了柔順關(guān)節(jié)耦合器的動態(tài)模型，并提出一種基于PIλDμ算法的動態(tài)扭矩控制方法，利用理想Bode傳遞函數(shù)的頻域響應(yīng)方法設(shè)計了PIλDμ控制器。采用MATLAB/Simulink對柔順關(guān)節(jié)耦合器的動態(tài)扭矩控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果表明PIλDμ控制算法對系統(tǒng)動態(tài)扭矩的控制比整數(shù)階PID算法更優(yōu)。最后搭建了柔順關(guān)節(jié)耦合器動態(tài)扭矩控制實驗系統(tǒng)，基于LabVIEW圖形化語言分別開發(fā)了PIλDμ控制程序和整數(shù)階PID控制程序，通過實驗驗證了PIλDμ控制算法的有效性和優(yōu)越性。未來的研究將考慮將柔順關(guān)節(jié)耦合器應(yīng)用于下肢關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人，本文為今后集成應(yīng)用磁流變液與傳統(tǒng)康復(fù)機(jī)器人關(guān)節(jié)并實現(xiàn)關(guān)節(jié)的可變剛度控制提供了理論依據(jù)。