毛艷慧 汪躍龍 程為彬

摘 ?要： 多雷達(dá)/聲吶跟蹤場(chǎng)景中，笛卡爾坐標(biāo)系由于測(cè)量轉(zhuǎn)換過(guò)程中依賴相同的估計(jì)狀態(tài)，不同雷達(dá)/聲吶量測(cè)轉(zhuǎn)換的誤差常是相關(guān)的。文中充分考慮這一相關(guān)性，給出了兩維及三維笛卡爾坐標(biāo)系下的去相關(guān)無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換模型，及計(jì)算互相關(guān)性的解析形式，并采用相對(duì)的估計(jì)性能評(píng)估準(zhǔn)則來(lái)驗(yàn)證所提算法的性能。仿真示例表明，考慮互相關(guān)后濾波性能明顯優(yōu)于經(jīng)典無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法。

關(guān)鍵詞： 目標(biāo)跟蹤; 非線性量測(cè); 無(wú)偏轉(zhuǎn)換; 雷達(dá)/聲吶跟蹤; 去相關(guān); 性能評(píng)估

中圖分類號(hào)： TN98?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2020）01?0114?05

Decorrelated unbiased measurement conversion model

for situation of multiple radars or sonars

MAO Yanhui 1， 2， WANG Yuelong1， CHENG Weibin1

Abstract： When tracking with multiple radars or sonars in Cartesian coordinates， the errors of converted measurements are correlated across radar or sonar stations due to their dependency on the same estimation state. In this paper， this cross?correlation is fully considered， a closed form of the cross?covariance across radars or sonars is presented for both 2D and 3D Cartesian coordinates， and the analytical form of cross?correlation is calculated. Two relative estimation performance evaluation metrics are then adopted to illustrate the performance of the algorithm. The simulation results show that the filtering performance of this method considering cross?correlation is obviously superior to the original unbiased conversion in most cases.

Keywords： target tracking; nonlinear measurement; unbiased conversion; radar/sonar tracking; de?correlation; performance assessment

0 ?引 ?言

在跟蹤問(wèn)題中，傳感器常提供目標(biāo)在傳感器坐標(biāo)下的量測(cè)（三維中為球坐標(biāo)，二維中為極坐標(biāo)），而目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)常在笛卡爾坐標(biāo)中進(jìn)行[1]。一個(gè)自然且常用的方法是把量測(cè)模型從傳感器坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到笛卡爾坐標(biāo)系中，進(jìn)而可以在笛卡爾坐標(biāo)系中應(yīng)用卡爾曼濾波器進(jìn)行跟蹤[2?6]。

量測(cè)模型轉(zhuǎn)換方法很多?，F(xiàn)有的經(jīng)典方法[7]是在一定徑向距離?角度測(cè)量誤差范圍內(nèi)，進(jìn)行量測(cè)轉(zhuǎn)換，但給出的是有偏且不一致的估計(jì)[8]。文獻(xiàn)[7]通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)換后的量測(cè)加上一個(gè)偏差補(bǔ)償，提出一種去偏差的量測(cè)轉(zhuǎn)換方法。文獻(xiàn)[9]利用經(jīng)典量測(cè)轉(zhuǎn)換方法中偏差的乘性本質(zhì)，通過(guò)給轉(zhuǎn)換后的量測(cè)乘上一個(gè)因子，提出乘法形式的無(wú)偏轉(zhuǎn)換方法（Unbiased Conversion of Measurement Model，UCM）。文獻(xiàn)[10]指出文獻(xiàn)[9]中轉(zhuǎn)換后量測(cè)噪聲的均值和協(xié)方差存在相容性問(wèn)題，并給出了修正。

通常在傳感器坐標(biāo)下（即三維球坐標(biāo)和二維極坐標(biāo)），傳感器間的量測(cè)噪聲是獨(dú)立不相關(guān)的。但由于轉(zhuǎn)換后的量測(cè)依賴于狀態(tài)，各傳感器間轉(zhuǎn)換后的量測(cè)誤差將彼此相關(guān)[11?12]。這一相關(guān)性對(duì)提高多傳感器跟蹤性能有很大幫助。在多傳感器場(chǎng)景下，針對(duì)如何計(jì)算這一相關(guān)性并提高跟蹤性能的問(wèn)題，本文首先分析了原始無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換算法在多傳感器情況下的缺陷;接著，基于此分析，給出了二維和三維笛卡爾坐標(biāo)下考慮互相關(guān)性的解析形式。

對(duì)估計(jì)算法的性能評(píng)估，廣泛應(yīng)用的均方根誤差度量（Root Mean Square Error，RMSE）有一定缺陷，最為明顯的是它受大的誤差主導(dǎo)[11]。因?yàn)閹缀尉导炔皇艽蟮恼`差值主導(dǎo)也不受小的誤差值主導(dǎo)，文獻(xiàn)[12]中推薦使用幾何均值，以得到一個(gè)較為公正的評(píng)估結(jié)果。但由于均方根誤差和幾何均值沒(méi)有相對(duì)的參考量，只是絕對(duì)度量誤差各自意義上的平均值，所以對(duì)場(chǎng)景敏感[13]。如，估計(jì)誤差[x=1]對(duì)估計(jì)量[x=100]是1%，而對(duì)估計(jì)量[x=2]是50%，若僅僅用絕對(duì)誤差度量是不公平的?；趲缀尉档南鄬?duì)度量，貝葉斯估計(jì)誤差商（Bayesian Estimation Error Quotient，BEEQ）更適合比較帶有不同先驗(yàn)信息或數(shù)據(jù)的估計(jì)器，可給出更好的評(píng)估結(jié)果[14?15]。

本文采用BEEQ和EMER來(lái)評(píng)估考慮互相關(guān)后相對(duì)于先驗(yàn)信息和量測(cè)數(shù)據(jù)的改進(jìn)，仿真結(jié)果表明考慮互相關(guān)性后的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法在大多數(shù)情況下明顯優(yōu)于原始的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法，清楚地揭示了考慮這一互相關(guān)的重要性。

1 ?問(wèn)題描述

在多雷達(dá)/聲吶場(chǎng)景下，二維極坐標(biāo)時(shí)，其量測(cè)信息包括目標(biāo)的徑向距離和方位角。傳感器坐標(biāo)中的徑向距離和方位角分別為：

[rlm=r+vlrβlm=β+vlβ， ? ? l=i，j] （1）

式中：[r，β]分別為目標(biāo)真實(shí)的徑向距離和方位角;上標(biāo)[l]代表第[l]個(gè)傳感器;[vlr，vlβ]分別為第[l]個(gè)傳感器的量測(cè)噪聲，且彼此獨(dú)立，均值為零，方差分別為[σ2r，σ2β]。

三維球坐標(biāo)時(shí)，量測(cè)的徑向距離、方位角和俯仰角分別為：

[rlm=r+vlrβlm=β+vlβ， ? ? l=i，jεlm=ε+vlε] （2）

式中：[r，β，ε]分別為目標(biāo)真實(shí)的徑向距離、方位角和俯仰角;[vlr，vlβ，vlε]分別為第[l]個(gè)傳感器的量測(cè)噪聲，且彼此獨(dú)立，均值為零，方差分別為[σ2r，σ2β，σ2ε]。

基于上述方程，要解決的問(wèn)題是如何在笛卡爾坐標(biāo)中充分利用傳感器坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)的量測(cè)信息，精確估計(jì)目標(biāo)的真實(shí)位置。

2 ?考慮互相關(guān)時(shí)的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換

2.1 ?經(jīng)典的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法

以二維情況為例，通過(guò)極坐標(biāo)到笛卡爾坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，第[l]個(gè)雷達(dá)的轉(zhuǎn)換量測(cè)為：

[xlmylm=rlmcos βlmrlmsin βlm] （3）

若方位角噪聲[vlβ]概率密度函數(shù)關(guān)于[y]軸對(duì)稱，對(duì)式（3）取期望得到：

[Εxlmylm=λβrcos βλβrsin β] （4）

式中[λβ=Εcos vlβ]。假定[λβ≠0]，UCM提出的無(wú)偏轉(zhuǎn)換為：

[xu，lmyu，lm=λ-1βrlmcos βlmλ-1βrlmsin βlm] （5）

量測(cè)模型可重寫(xiě)為：

[xu，lm=x+xu，lm-xyu，lm=y+yu，lm-y] （6）

轉(zhuǎn)換后的量測(cè)誤差為：

[xu，lm=xu，lm-xyu，lm=yu，lm-y] （7）

測(cè)量噪聲協(xié)方差為：

[Rlp=covxu，lmyu，lmrlm，βlm=R11，lpR12，lpR21，lpR22，lp] ? （8）

經(jīng)典的無(wú)偏轉(zhuǎn)換方法給出：

[R11，lp=varxu，lmrlm，βlm=（λ-2β-2）（rlm）2cos2βlm+12[（rlm）2+（σlr）2]（1+λ′βcos 2βlm）R22，lp=varyu，lmrlm，βlm=（λ-2β-2）（rlm）2sin2βlm+12[（rlm）2+（σlr）2]（1-λ′βcos 2βlm）R12，lp=covxu，lm，yu，lmrlm，βlm=（λ-2β-2）（rlm）2sin βlmcos βlm+12[（rlm）2+（σlr）2]λ′βsin 2βlm] （9）

式中：[λβ=Ecos vlβ;λ′β=Ecos 2vlβ]。

經(jīng)典的UCM方法因?yàn)橹豢紤]單部雷達(dá)的量測(cè)轉(zhuǎn)換后的協(xié)方差，忽略了雷達(dá)之間的互相關(guān)性，因此應(yīng)用于多雷達(dá)系統(tǒng)時(shí)，無(wú)法保證估計(jì)的無(wú)偏性和精確性，僅僅適用于單個(gè)雷達(dá)的場(chǎng)景。

2.2 ?多傳感器時(shí)UCM的性能分析

用多個(gè)傳感器進(jìn)行跟蹤時(shí)，轉(zhuǎn)換后的量測(cè)誤差不同傳感器間是互相關(guān)的。在多傳感器時(shí)，如果忽略了這種相關(guān)性，濾波器性能很有可能發(fā)散。一個(gè)可行的方法是把所有來(lái)自多傳感器轉(zhuǎn)換后的量測(cè)疊起來(lái)形成一個(gè)向量，然后考慮轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差間的互相關(guān)性，使用中心式融合進(jìn)行濾波。

給定來(lái)自傳感器[i，j]的量測(cè)[zim，zjm]，轉(zhuǎn)換后的量測(cè)誤差記為[eu，im=xu，imyu，im′]，[eu，jm=xu，jmyu，jm′]。將兩個(gè)誤差疊起來(lái)得到[eu，im′，eu，jm′′]，然后記[R]為增廣的協(xié)方差矩陣：

[R=RipRi，jRi，jTRjp] （10）

其對(duì)角塊可以通過(guò)式（9）計(jì)算得到。非對(duì)角塊在下節(jié)進(jìn)行推導(dǎo)。

2.3 ?互相關(guān)性的推導(dǎo)

由于單傳感器情況下真實(shí)的協(xié)方差依賴于目標(biāo)真實(shí)的徑向距離和真實(shí)的俯仰角，這在現(xiàn)實(shí)中常常是得不到的。在式（9）中，UCM是直接基于觀測(cè)給出的[Rlp]，為了與對(duì)角塊[Rip，Rjp]一致，本文非對(duì)角塊[Ri，j]推導(dǎo)仍然基于觀測(cè)。

2.3.1 ?二維情況下互相關(guān)性的推導(dǎo)

給定來(lái)自傳感器[i，j]的兩個(gè)無(wú)偏轉(zhuǎn)換量測(cè)[zu，im，zu，jm]，記[R]非對(duì)角塊為[Ri，j=r11r12r21r22]，于是有：

[r11=cov（xu，im，xu，jmrim，βim，rjm，βjm）=Eλ-1βrimcos βim-（rim-vir）cos（βim-viβ）[λ-1βrjmcos βjm-（rjm-vjr）cos（βjm-vjβ）]rim，βim，rjm，βjm=λ-2βrimrjmcos βimcos βjm-rimrjmcos βimcos βjm-rimrjmcos βjmcos βim+λ2βrimrjmcos βimcos βjm=（λ-1β-λβ）2rimrjmcos βimcos βjm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）]

類似的，可得：

[r12=cov（xu，im，yu，jmrim，βim，rjm，βjm）=（λ-1β-λβ）2rimrjmcos βimsin βjmr21r21=cov（yu，im，xu，jmrim，βim，rjm，βjm）=（λ-1β-λβ）2rimrjmsin βimcos βjmr22=cov（yu，im，yu，jmrim，βim，rjm，βjm）=（λ-1β-λβ）2rimrjmsin βimsin βjm] ? ? ? ?（12）

簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里假設(shè)量測(cè)噪聲[vlr，vlβ]，[l=i，j]有相同的統(tǒng)計(jì)量，即[E[vir]=E[vjr]=0]，[var（vir）=var（vjr）=σ2r]，但可直接推廣到非同分布的情況。

明顯地，若[λβ≠0]，擴(kuò)展后協(xié)方差陣的非對(duì)角塊明顯非零。條件[λβ≠0]對(duì)單峰和[[-a，a]（a<π）]上均勻分布的情況是合理的[4]。

多雷達(dá)/聲吶傳感器場(chǎng)景下進(jìn)行跟蹤時(shí)，濾波中同時(shí)用到式（10）～式（12）。直觀上，考慮互相關(guān)性后，應(yīng)用了更多有效信息，相較經(jīng)典的無(wú)偏轉(zhuǎn)換方法跟蹤性能的改進(jìn)，將在仿真部分進(jìn)行驗(yàn)證。

2.3.2 ?三維情況下互相關(guān)性的推導(dǎo)

三維情況下的無(wú)偏轉(zhuǎn)換為：

[xu，lm=λ-1βλ-1εrlmcos εlmcos βlmyu，lm=λ-1βλ-1εrlmcos εlmsin βlmzu，lm=λ-1εrlmsin εlm] （13）

三維情況下的[Ri，j]可以類似得到：

[r11=（λ-1βλ-1ε-λβλε）2rimrjmcos εimcos βimcos εjmcos βjmr12=（λ-1βλ-1ε-λβλε）2rimrjmcos εimcos βimcos εjmsin βjmr13=（λ-1βλ-2ε-λβ-λ-1β+λβλ2ε）rimrjmcos εimcos βimsin εjmr21=（λ-1βλ-1ε-λβλε）2rimrjmcos εimsin βimcos εjmcos βjmr22=（λ-1βλ-1ε-λβλε）2rimrjmcos εimsin βimcos εjmsin βjmr23=（λ-1βλ-2ε-λβ-λ-1β+λβλ2ε）rimrjmcos εimsin βimsin εjmr31=（λ-1βλ-2ε-λβ-λ-1β+λβλ2ε）rimrjmsin εimcos βjmcos εjmr32=（λ-1βλ-2ε-λβ-λ-1β+λβλ2ε）rimrjmsin εimsin βjmcos εjmr33=（λ-1ε-λε）2rjmrjmsin εimsin εjm] （14）

式中：[λβ=E（cos vlβ）];[λε=E（cos vlε）]。

三維情況下擴(kuò)展后的協(xié)方差矩陣，明顯地，若[λβ≠0]，擴(kuò)展后協(xié)方差陣的非對(duì)角塊明顯非零。亟需考慮多雷達(dá)/聲吶間互相關(guān)信息。

3 ?性能評(píng)估準(zhǔn)則

3.1 ?貝葉斯估計(jì)誤差商

BEEQ是用來(lái)評(píng)估貝葉斯估計(jì)的一種相對(duì)度量[7]。對(duì)于動(dòng)態(tài)的估計(jì)器，它刻畫(huà)了估計(jì)精度相對(duì)于預(yù)測(cè)估計(jì)的改進(jìn)，對(duì)參數(shù)估計(jì)器可以理解為估計(jì)[x]相對(duì)于先驗(yàn)[x]的改進(jìn)。其定義為：

[r*（x）=AEE（x）AEE（x）=i=1Mxi-xii=1Mxi-xi] ?（15）

式中：[M]為總的蒙特卡洛次數(shù);[xi，xi]為第[i]次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的待估量和估計(jì)量;[xi]為第[i]次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的先驗(yàn)均值或者預(yù)測(cè)值。

3.2 ?均方根誤差度量

目前工程中廣泛應(yīng)用的性能評(píng)估指標(biāo)為均方根誤差（RMSE），其具體定義為：

[RMSE（x）=1Mi=1Mxi212] ? ? （16）

式中：[M]為蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù);[i]表示第[i]次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn);記[x，x]為待估量和估計(jì)量;估計(jì)誤差[x=x-x];[xi=x′ixi12]。

4 ?仿真示例及結(jié)果分析

RMSE和GAE因?yàn)闆](méi)有任何的參考量，所以都是絕對(duì)的度量，即使是對(duì)同一場(chǎng)景，它們對(duì)先驗(yàn)信息和數(shù)據(jù)精確度都表現(xiàn)敏感。而相對(duì)的誤差度量比絕對(duì)的度量更能揭示內(nèi)在的誤差性能。采取BEEQ和EMER分別來(lái)評(píng)估不同的先驗(yàn)信息和數(shù)據(jù)，[x]相對(duì)于[x]和[x]的精度提高。針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景來(lái)比較考慮互相關(guān)性后的量測(cè)轉(zhuǎn)換算法對(duì)估計(jì)性能的提高。仿真部分用UCM?C表示本文提出的考慮互相關(guān)后的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換算法，用UCM表示原始的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換算法。

傳感器坐標(biāo)中量測(cè)為：

[rmβm=h（x）+v=x2+y2arctanyx+vrvβ] （17）

式中[x=[x，y]]表示目標(biāo)在笛卡爾坐標(biāo)系中的真實(shí)位置。假設(shè)[vr，vβ]為零均值的高斯噪聲，彼此獨(dú)立，方差分別為[σ2r，σ2β]，[x，y=[-5 000，20 000]，σr=100] m。

4.1 ?場(chǎng)景一：方位角測(cè)量誤差[σβ=0.1]

在這一場(chǎng)景中，方位角測(cè)量誤差[σβ=0.1]。如圖1所示，UCM?C的性能顯著優(yōu)于UCM。在傳感器坐標(biāo)中角度測(cè)量誤差變大的情況下，帶有噪聲的角度測(cè)量將導(dǎo)致轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差間的強(qiáng)相關(guān)，因?yàn)橐蜃覽（λ-1β-λβ）2]進(jìn)一步變大。UCM完全無(wú)視這種相關(guān)性，本文提出的UCM?C考慮了這種相關(guān)性。在此場(chǎng)景下，即使[α]增大到了10，二者性能之間的差別仍然存在。

UCM?C的BEEQ曲線從1變到了0.4，這表明此場(chǎng)景中，隨著傳感器量測(cè)精度的變差，數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)變小了。盡管如此，UCM的BEEQ曲線在[α]大于5之前，其值都大于1。而UCM?C的BEEQ曲線一直低于1。與場(chǎng)景一相比，兩種算法的RMSE曲線顯著增大到了300。

4.2 ?場(chǎng)景二：方位角測(cè)量誤差增大至[δβ=0.2]

方位角測(cè)量誤差進(jìn)一步增大，兩種量測(cè)模型轉(zhuǎn)換算法的BEEQ，RMSE，GAE曲線如圖2所示。圖2a）表明兩種算法都隨著方位角量測(cè)誤差的增大性能下降，BEEQ都大于1，這是因?yàn)樵诖藞?chǎng)景中量測(cè)比上一個(gè)場(chǎng)景中更加不準(zhǔn)確，先驗(yàn)均值比量測(cè)要好。本文提出的UCM?C算法的BEEQ幅值變化明顯比傳統(tǒng)的UCM要小。

另外，在圖2b）中有一個(gè)很有意思的現(xiàn)象就是在最后兩種算法的RMSE曲線有交叉，是因?yàn)镽MSE這一度量總是受大的誤差值主導(dǎo)。圖2c）給出了兩種算法的GAE曲線，從中可以看出，UCM?C性能明顯優(yōu)于UCM，這與兩種算法的BEEQ曲線反映的二者間的差別一致。

5 ?結(jié) ?論

由于傳感器坐標(biāo)和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)的不一致，在跟蹤問(wèn)題中，常把量測(cè)模型從傳感器坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到笛卡爾坐標(biāo)中，進(jìn)而應(yīng)用卡爾曼濾波器進(jìn)行跟蹤。而經(jīng)典的測(cè)量模型轉(zhuǎn)換方法忽視了轉(zhuǎn)換后量測(cè)誤差之間的相關(guān)性，本文在分析經(jīng)典的模型轉(zhuǎn)換量測(cè)方法在多傳感器場(chǎng)景中的局限性后，給出了二維和三維笛卡爾坐標(biāo)下考慮互相關(guān)性的解析形式。仿真結(jié)果表明，考慮互相關(guān)性后的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法在大多數(shù)情況下明顯優(yōu)于經(jīng)典的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換方法。

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作者簡(jiǎn)介：毛艷慧（1982—），女，博士后，講師，主要研究方向?yàn)闋顟B(tài)估計(jì)、目標(biāo)跟蹤。

汪躍龍（1965—），男，教授，主要研究方向?yàn)橹悄芸刂?、?dǎo)向鉆井井下控制技術(shù)。

程為彬（1970—），男，教授，主要從事載體姿態(tài)測(cè)量方向研究。