袁維東，高瞻，劉浩康，繆國(guó)峰

航空工業(yè)南京機(jī)電液壓工程研究中心 航空機(jī)電系統(tǒng)綜合航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 211106

減振作為現(xiàn)代機(jī)械發(fā)展中一項(xiàng)重要研究課題，如何有效地抑制結(jié)構(gòu)無(wú)益振動(dòng)是研究的首要內(nèi)容，尤其是在航空航天、智能制造等高動(dòng)力現(xiàn)代科技的領(lǐng)域，對(duì)結(jié)構(gòu)的減振動(dòng)力學(xué)性能提出了更高的要求。其中以“輕”“薄”為主要特性的殼板薄壁構(gòu)件，在外部激勵(lì)下極易引起振動(dòng)，因此勢(shì)必要對(duì)其振動(dòng)進(jìn)行控制[1]。對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制一般可分為：主動(dòng)控制和被動(dòng)控制。近些年來(lái)，在結(jié)構(gòu)表面附加黏彈性阻尼材料的被動(dòng)減振技術(shù)已成為一種實(shí)用、有效減振降噪措施。實(shí)踐表明，黏彈性阻尼材料具有高阻尼特性，在振動(dòng)變形過(guò)程中通過(guò)相位的時(shí)滯特性來(lái)耗散能量，能在十分寬泛的頻帶內(nèi)抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲，故常被用作振動(dòng)結(jié)構(gòu)的減振材料。自從Kerwin和Edward[2]提出以黏彈阻尼材料構(gòu)建約束阻尼結(jié)構(gòu)以來(lái)，其越來(lái)越廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。不過(guò)，對(duì)于具有高速和大動(dòng)力化的減振對(duì)象，如航空航天中的多數(shù)結(jié)構(gòu)，因其具有輕量化要求，采用在結(jié)構(gòu)上全覆蓋阻尼材料的方案，并非是減振控制的最優(yōu)布局構(gòu)型。為此，如何有效地敷設(shè)黏彈性阻尼材料、提高結(jié)構(gòu)減振效果成為研究阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振的重點(diǎn)。

不少學(xué)者研究了殼阻尼結(jié)構(gòu)的減振特性，進(jìn)一步完善了阻尼結(jié)構(gòu)減振理論和技術(shù)。Bieniek和Freudenthal[3]通過(guò)建立殼中性面的受迫振動(dòng)，分析了約束阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)；王目凱等[4]提出了在指定頻帶內(nèi)能量耗散系數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)約束阻尼殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)分析。同時(shí)，對(duì)于薄壁構(gòu)件在約束阻尼結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型方面的減振優(yōu)化，也開(kāi)展了相關(guān)研究工作。Pedersen[5]采用了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化準(zhǔn)則法，分析了求解拓?fù)鋬?yōu)化域的局部模態(tài)與優(yōu)化參數(shù)的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系；楊德慶和柳擁軍[6]提出阻尼胞單元和阻尼拓?fù)涿舳雀拍睿o出了靈敏度排序方式減振優(yōu)化準(zhǔn)則；Lima等[7]推導(dǎo)了復(fù)數(shù)形式的靈敏度公式，建立了約束阻尼板頻率和溫變響應(yīng)的優(yōu)化減振函數(shù)；郭中澤和陳裕澤[8]以模態(tài)損耗因子最大化為設(shè)計(jì)目標(biāo)，采用變密度拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化準(zhǔn)則法求解最優(yōu)分布構(gòu)型?？梢钥闯?，結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振優(yōu)化的基礎(chǔ)理論在不斷地建立和推進(jìn)，但較多的是以薄板的阻尼結(jié)構(gòu)為首選對(duì)象給予了研究，而對(duì)薄殼減振優(yōu)化的研究相對(duì)較少。Kumar和Singh[9-10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)圓柱殼主動(dòng)約束阻尼層位置進(jìn)行優(yōu)化。王明旭和陳國(guó)平[11]基于均勻化方法，研究了約束阻尼殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振效果，得出多模優(yōu)化效果更佳的結(jié)論；柳承峰等[12]以漸進(jìn)優(yōu)化算法，研究了約束阻尼殼結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化，獲得較強(qiáng)的振動(dòng)能量耗損；石慧榮等[13]選取前三階模態(tài)最大損耗因子為目標(biāo)函數(shù)，利用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)兩端簡(jiǎn)支的圓柱殼進(jìn)行優(yōu)化分析；Kim等[14]從模態(tài)振型、應(yīng)變能密度和優(yōu)化算法3方面，對(duì)約束阻尼殼結(jié)構(gòu)減振拓?fù)錁?gòu)型的振動(dòng)效果進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，進(jìn)而得出優(yōu)化算法的拓?fù)錅p振優(yōu)勢(shì)。對(duì)于黏彈性阻尼材料本構(gòu)數(shù)學(xué)模型，Johnson和Kienholz[15]基于模態(tài)應(yīng)變能法(Modal Strain Energy, MSE)，構(gòu)建了將阻尼結(jié)構(gòu)復(fù)數(shù)解簡(jiǎn)化為實(shí)數(shù)解模態(tài)損耗因子的理論方法。

優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimality Criteria, OC)是拓?fù)鋬?yōu)化變密度法中的一種迭代求解算法，具有完備的理論依據(jù)和工程應(yīng)用價(jià)值。其應(yīng)用于靜力學(xué)結(jié)構(gòu)時(shí)，每一拓?fù)渥兞烤苋〉谜龜?shù)值，然而在動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)中則會(huì)有非全域迭代拓?fù)渥兞康呢?fù)靈敏度，以至于全域優(yōu)化變量并不能整體尋優(yōu)。這種只有其中部分變量參與優(yōu)化迭代的方式將導(dǎo)致拓?fù)渥兞恐堤S和不連續(xù)的狀況發(fā)生，最終迭代結(jié)果將不收斂或局部收斂[16-17]。為了滿足和提升結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能，發(fā)揮OC法優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用于以航空航天等領(lǐng)域薄殼結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象的拓?fù)錅p振動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題研究，本文基于變密度法的拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化理論，從數(shù)學(xué)的理論角度，建立了優(yōu)化目標(biāo)靈敏度一般公式，演算全局優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的改進(jìn)準(zhǔn)則法，并分析了薄殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振以及多模態(tài)減振優(yōu)化問(wèn)題。

1 阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振模型

1.1 結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子

為了衡量復(fù)合殼約束阻尼結(jié)構(gòu)的減振效果，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)基本理論，可采用結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子推進(jìn)阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振動(dòng)力學(xué)優(yōu)化。對(duì)于黏彈性阻尼減振材料，其材料損耗因子比一般彈性材料高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，通?？珊雎越饘俨牧蠐p耗因子，并且在優(yōu)化迭代中涉及大量的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)和阻尼材料復(fù)數(shù)本構(gòu)模型的計(jì)算，十分耗時(shí)，故本文基于能量的角度進(jìn)行研究。根據(jù)有限單元法(Finite Element Method, FEM)和模態(tài)應(yīng)變能法(MSE),可得復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)變能計(jì)算式為

(1)

式中：Ei、μi分別為第i階模態(tài)應(yīng)變能和振型；K為剛度矩陣。

黏彈性動(dòng)力學(xué)理論表明，其有明顯的溫度和頻率非線性的變化特性，目前已建立了多種不同的力學(xué)本構(gòu)模型，但較為實(shí)用的是常復(fù)數(shù)模量模型[18]，進(jìn)而復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子寫成

(2)

以便于諧響分析，對(duì)于復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)采用黏彈性阻尼材料，基于模態(tài)應(yīng)變能法[19]，其模態(tài)損耗因子與模態(tài)阻尼比之間數(shù)學(xué)關(guān)系：ηi≈2ξi。并可寫出阻尼結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)振動(dòng)平衡方程：

(3)

1.2 插值函數(shù)變密度模型

變密度法是基于某種插值模型，建立優(yōu)化結(jié)構(gòu)材料的物理屬性與偽密度之間的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的數(shù)值變化來(lái)決定優(yōu)化結(jié)構(gòu)材料的分布狀態(tài)。固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)的優(yōu)化求解過(guò)程中，阻尼結(jié)構(gòu)的約束材料與對(duì)應(yīng)的阻尼材料存在狀態(tài)[0,1]作一致變化，可建立復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)插值模型數(shù)學(xué)公式為

(4)

式中：E0、ρ0分別為阻尼材料的楊氏彈性模量和密度；n為有限元網(wǎng)格的單元數(shù)；χn為第n個(gè)單元插值模型的偽密度或設(shè)計(jì)變量；p、q為SIMP插值模型的懲罰因子；Emin、ρmin為了避免優(yōu)化迭代中出現(xiàn)奇異值問(wèn)題，通常設(shè)置為0.001；I1(χn)、I2(χn)為材料插值模型函數(shù)。

基于有限元法單元矩陣組合理論，可有

(5)

式中：下標(biāo)s、v、c和上標(biāo)e分別為約束阻尼結(jié)構(gòu)的基層、阻尼層、約束層和有限單元標(biāo)識(shí)；M為質(zhì)量矩陣；TN為優(yōu)化區(qū)域約束阻尼有限單元數(shù)。

1.3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型

任何實(shí)際問(wèn)題均需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以便于展開(kāi)問(wèn)題的定量分析。阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振優(yōu)化也不例外，首先建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，明確指明優(yōu)化求解的迭代方向。在約束阻尼結(jié)構(gòu)中優(yōu)化目標(biāo)可以結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有特性參數(shù)，如固有頻率、模態(tài)損耗因子或模態(tài)阻尼比等作為目標(biāo)，當(dāng)然也可采用若干特征點(diǎn)的振幅或加速度、動(dòng)撓度以及響應(yīng)頻率等。鑒于模態(tài)損耗因子可以表征在某階振動(dòng)時(shí)耗損能量多少的度量，其值越大，表示阻尼結(jié)構(gòu)耗能越多，故可以以模態(tài)損耗因子為優(yōu)化目標(biāo)。然而考慮到優(yōu)化準(zhǔn)則法是以目標(biāo)函數(shù)的極小值形式出現(xiàn)，為了便于借助現(xiàn)存的一些成熟優(yōu)化迭代技巧推進(jìn)優(yōu)化，本文以模態(tài)損耗因子負(fù)值最小作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，增加移動(dòng)常數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)為正值，以便于對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析。為滿足減振設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)輕量化要求，通常優(yōu)化模型的約束條件之一是對(duì)在基體上使用黏彈性阻尼材料的體積作一定限制，與此同時(shí)減振優(yōu)化對(duì)象尋優(yōu)前后，不宜使結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性如頻率、模態(tài)、振型等出現(xiàn)過(guò)大的變化，影響預(yù)期結(jié)構(gòu)優(yōu)化性能[20-21]。綜上因素，復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(6)

在工程實(shí)踐中，結(jié)構(gòu)的工作頻率段振動(dòng)通常包括前幾階振型，并且在不同激擾條件下，其振動(dòng)貢獻(xiàn)會(huì)發(fā)生一定的改變。因此，在考慮多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化的同時(shí)，通過(guò)不同的權(quán)重系數(shù)?i來(lái)控制各階模態(tài)的減振效果，且最好依據(jù)模態(tài)參與因子取定?i。當(dāng)然，也可對(duì)某一階頻率進(jìn)行減振優(yōu)化分析，選取權(quán)重系數(shù)為1，其他階次頻率權(quán)重系數(shù)為0，故可看出此拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)具有較廣的適用性。

2 減振優(yōu)化目標(biāo)靈敏度分析

變密度法拓?fù)鋬?yōu)化中，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)方向主要取決于對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量求解的梯度，即靈敏度，它準(zhǔn)確反映了優(yōu)化迭代方向的敏感性。加之目標(biāo)函數(shù)是單模態(tài)優(yōu)化線性疊加的數(shù)值關(guān)系，由此可先推演單模態(tài)減振優(yōu)化靈敏度數(shù)值公式。

對(duì)式(2)求模態(tài)損耗因子梯度，并整理可有

(7)

(8)

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元理論，可知復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)滿足：

(9)

將式(9)等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)χn求偏導(dǎo)，整理得

(10)

(11)

聯(lián)立式(9)和式(10)整理求解可有

(12)

接著，將式(10)～式(12)變換求解可得

(13)

為了使目標(biāo)靈敏度具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，基于材料插值模型函數(shù)，推導(dǎo)一般靈敏度計(jì)算公式。

將式(1)對(duì)設(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo)，可有

(14)

聯(lián)立式(7)、式(8)、式(13)和式(14)，則整理推導(dǎo)出

(15)

式(4)可作變換有

E′(χn)=I′1(χn)E0=

(16)

ρ′(χn)=I′2(χn)ρ0=

(17)

基于有限元的單元能量理論，可得

(18)

(19)

進(jìn)一步將式(15)、式(18)和式(19)聯(lián)立可有

(20)

式中：KEei、SEei分別為當(dāng)前某一迭代單元的第i階模態(tài)動(dòng)能和模態(tài)應(yīng)變能；I′1(χn)、I′2(χn)為材料插值模型一階導(dǎo)數(shù)。

3 拓?fù)錅p振優(yōu)化算法

已有研究表明，基于優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)的設(shè)計(jì)變量啟發(fā)式迭代格更新方法，是一種與優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量數(shù)量無(wú)關(guān)的迭代公式，具有優(yōu)化尋優(yōu)效率高和嚴(yán)格的理論推導(dǎo)等特點(diǎn)。不過(guò)，在動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中靈敏度數(shù)值以實(shí)數(shù)范圍變化，即正數(shù)或負(fù)數(shù)均可出現(xiàn)。若直接采用靜力學(xué)中優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化求解，勢(shì)必引起設(shè)計(jì)變量負(fù)值的出現(xiàn)，將會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化迭代無(wú)法進(jìn)行。常規(guī)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化準(zhǔn)則法通過(guò)將正的靈敏度置為零，保留負(fù)靈敏度值，而這樣做易引起拓?fù)渥兞刻S以及局部?jī)?yōu)化解[22]。因此，以復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于改進(jìn)準(zhǔn)則法進(jìn)行拓?fù)錅p振動(dòng)力學(xué)演算。

3.1 動(dòng)力學(xué)改進(jìn)準(zhǔn)則法

建立不隨優(yōu)化目標(biāo)凸性的求解算法，根據(jù)優(yōu)化理論，基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法中序列凸規(guī)劃方法構(gòu)建相似性函數(shù)，并建立泰勒展開(kāi)式逼近，推導(dǎo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型嚴(yán)格凸性條件。首先對(duì)式(6)演算拉格朗日優(yōu)化函數(shù)[23]：

(21)

式中：Λ、β-n、β+n均為拉格朗日乘子。僅須進(jìn)一步滿足Karush-Kuhn-Tucke條件，并求其極值點(diǎn)處的χn值，即有

?ψ/?χn+Λ(?V/?χn)-β-n+β+n=0

(22)

為了構(gòu)造相似性函數(shù)，引入移動(dòng)參數(shù)c，令ψ-cV=ψ*，Λ=Λ*-c，并代入式(22)，得

(?ψ*/?χn)+Λ*(?V/?χn)-β-n+β+n=0

(23)

進(jìn)一步令yn=(1/χn)ζ，根據(jù)泰勒展開(kāi)思想構(gòu)造逼近函數(shù)，即使自變量yn逼近ψ*，接著可令

(24)

式中：ψ0為一常數(shù)。推導(dǎo)式(24)對(duì)yn導(dǎo)數(shù)，則

?ψ*/?yn=αn

(25)

顯然，當(dāng)αn≥0時(shí)，近似函數(shù)ψ*具有嚴(yán)格凸性。

另一方面推導(dǎo)式(24)對(duì)χn導(dǎo)數(shù)，可得

?ψ*/χn=?[αn(χn)-ζ]/?χn=

?(ψ-cV)/?χn

化簡(jiǎn)并整理后，有

αn=-(?ψ/?χn-c(?V/?χn))(χn)ζ+1/ζ

(26)

c≥(?ψ/?χn)/(?V/?χn)

(27)

確定移動(dòng)參數(shù)c數(shù)值關(guān)系，使αn≥0滿足函數(shù)嚴(yán)格凸性條件。

3.2 構(gòu)建改進(jìn)準(zhǔn)則法迭代律

在建立凸性條件的基礎(chǔ)上，完成啟發(fā)式迭代格的推導(dǎo)。為此，對(duì)式(21)進(jìn)一步細(xì)化設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化迭代空間，并簡(jiǎn)化算式可令δn=?V/?χn，這樣便將式(21)函數(shù)整理簡(jiǎn)化為

式中：

(28)

式中：Ω、-Ω、+Ω分別表示拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的中間值、最小值和最大值集合。為了求解式(28)，在求解式(29)所示數(shù)學(xué)問(wèn)題同時(shí)，結(jié)合式(22)和式(23)求得，即

min:ln,χmin≤χn≤χmax

(29)

同理，由拉格朗日極值條件易得

(30)

將αn、δn代入式(30)化簡(jiǎn)得設(shè)計(jì)變量滿足極值條件迭代格為

(31)

式中：k為迭代次數(shù)。若令Q=(?ψ/?χn)/(?V/?χn)，并結(jié)合式(27)可知，Q是一個(gè)與設(shè)計(jì)變量數(shù)量有關(guān)的參量，可建立第k次迭代中參數(shù)ck用∞-范數(shù)表示：ck=‖Q‖∞，且Q=[Q1,Q2,…,Qn]T?？紤]到每次迭代時(shí)設(shè)計(jì)變量的移動(dòng)極限，故改進(jìn)準(zhǔn)則法的設(shè)計(jì)變量迭代格為

(32)

并且，

式中：λ(0<λ<1)為設(shè)計(jì)變量移動(dòng)極限值。

在優(yōu)化算法尋優(yōu)過(guò)程中，大量的偽密度設(shè)計(jì)變量更新帶來(lái)了優(yōu)化對(duì)象的不同片區(qū)物理屬性躍變，避免優(yōu)化前后振型發(fā)生紊亂致使優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型失效。在迭代優(yōu)化中通過(guò)振型控制因子(MAC)的數(shù)值大小[23]，直觀的反映每次迭代情況，其計(jì)算公式為

(33)

式中：τ≤1正系數(shù)，一般取值0.9。迭代格更新設(shè)計(jì)變量時(shí)，優(yōu)化振型趨于穩(wěn)定的量化MAC近于1。若有變化，則須調(diào)整迭代格參數(shù)，并作進(jìn)一步迭代尋優(yōu)。

復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)減振尋優(yōu)，借助大型商用軟件ANSYS給予數(shù)值處理，通過(guò)二次開(kāi)發(fā)語(yǔ)言APDL編程實(shí)現(xiàn)改進(jìn)準(zhǔn)則法迭代格。圖1為算法程序流程圖。

圖1 復(fù)合殼結(jié)構(gòu)減振拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)流程Fig.1 Topology optimization procedure for damping shells

4 優(yōu)化算例分析

為了進(jìn)一步分析和驗(yàn)證上述減振拓?fù)鋬?yōu)化的理論，采用航空航天等工程中應(yīng)用廣泛的復(fù)合殼結(jié)構(gòu)作為優(yōu)化對(duì)象。

殼結(jié)構(gòu)外形尺寸參數(shù)弧度半徑R=1 m，轉(zhuǎn)角θ=30°，長(zhǎng)度L=0.55 m?；w材料厚度3 mm，楊氏彈性模量43.2 GPa，泊松比0.33，密度1 810 kg/m3。黏彈性阻尼材料楊氏彈性模量15 MPa，密度為1 550 kg/m3，泊松比0.495，材料損耗因子0.75，鋪設(shè)厚度1 mm。黏彈性阻尼材料應(yīng)用于被動(dòng)三層約束阻尼結(jié)構(gòu)，約束層厚度1.5 mm，采用與基層相同的材料。同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)的諧響應(yīng)激勵(lì)力為單位力，提取頻率1～200 Hz，圖2給出了薄殼一端固支約束、激勵(lì)點(diǎn)、提取點(diǎn)和前三階模態(tài)應(yīng)變場(chǎng)。

對(duì)結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)振型，運(yùn)用改進(jìn)準(zhǔn)則法進(jìn)行拓?fù)錅p振優(yōu)化，約束層與阻尼層視為一層優(yōu)化結(jié)構(gòu)，且優(yōu)化后材料體積為全覆蓋的50%。表1為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)的5種不同取值情況，分別代表全覆蓋約束阻尼層、一階優(yōu)化、二階優(yōu)化、三階優(yōu)化和前三階多模態(tài)減振優(yōu)化數(shù)值計(jì)算的設(shè)定值，并列出了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)損耗因子和固有頻率的數(shù)值結(jié)果。其中，主要考慮前三階模態(tài)減振中的權(quán)系數(shù)加權(quán)作用，以求結(jié)構(gòu)損耗因子最大值的優(yōu)化目標(biāo)，因此權(quán)重系數(shù)?1=?2=?3=1/3。以下拓?fù)錅p振分析中，未指明的情況下均為改進(jìn)準(zhǔn)則法的尋優(yōu)數(shù)據(jù)。

圖2 薄殼模型與應(yīng)變能分布Fig.2 Element model and modal strain energy of constrained damping shells

表1 不同權(quán)值薄殼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子和固有頻率Table 1 Modal loss factors and natural frequency of single-shell structure

圖3(a)、圖3(b)與圖3(c)給出了針對(duì)前三階單模態(tài)優(yōu)化函數(shù)拓?fù)錁?gòu)型迭代歷程?？梢?jiàn)在前幾次迭代中，拓?fù)涞€有大幅度的變化，均有先下降再上升的趨勢(shì)，說(shuō)明了OC算法極值尋優(yōu)的基本特性；同時(shí)拓?fù)錁?gòu)型云圖中出現(xiàn)了大量的中間密度，并開(kāi)始顯現(xiàn)出優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型的初始原貌。隨著迭代的進(jìn)行，設(shè)計(jì)變量的中間值逐漸變少，向[0,1]兩端趨近(深藍(lán)色為0，紅色為1)，最終優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型穩(wěn)定清晰。它表明從整體上看迭代穩(wěn)定前波動(dòng)幅度較大，目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)域范圍變化大，具有不單一變化于一極點(diǎn)而穩(wěn)定的特點(diǎn)。進(jìn)一步與圖2中應(yīng)變能云圖對(duì)比分析，不難發(fā)現(xiàn)各階拓?fù)錁?gòu)型迭代過(guò)程中，密度值較大的阻尼約束單元優(yōu)先分布于應(yīng)變能相對(duì)較大的位置，密度值小的處于應(yīng)變能較小的位置，隨著迭代的進(jìn)行密度較大趨于1，表示敷設(shè)阻尼材料位置，密度較小多半趨于0，表示原基體。這主要由于應(yīng)變能小的位置，黏彈性阻尼材料對(duì)振動(dòng)能耗損相對(duì)較弱。從化增加，出現(xiàn)曲線的跌宕，這是由于隨著非最大應(yīng)變處粘貼阻尼材料的進(jìn)行，最大應(yīng)變與小應(yīng)變處交替迭代更新，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)阻尼約束單元出現(xiàn)了大微量的變化，使得尋優(yōu)范圍擴(kuò)大，出現(xiàn)了顯著的不局限于已有某一迭代極值點(diǎn)的優(yōu)化過(guò)程。

根據(jù)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)振動(dòng)通常是由多階振型相互作用的結(jié)果，在工程實(shí)際中，常常是固有頻率最低的幾個(gè)振型的貢獻(xiàn)占了壓倒地位，多模態(tài)振動(dòng)是承力件基本運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖3(d)為多模態(tài)優(yōu)化迭代歷程，從圖中可看出，偽密度值逐漸迭代至0或1，其數(shù)量比重增加，中間密度減少，穩(wěn)定的減振拓?fù)錁?gòu)型漸顯。同樣可看出，高密度阻尼材料主要敷設(shè)在前三階應(yīng)變能較大的交集區(qū)，反之，低密度阻尼材料在最小應(yīng)變能的交集區(qū)。

進(jìn)一步可看出，薄殼阻尼材料的減振優(yōu)化迭代次數(shù)較少，便于形成灰度值少(產(chǎn)生于中間密度數(shù)量少)的拓?fù)錁?gòu)型，迭代至25次以上可達(dá)到尋優(yōu)穩(wěn)定狀態(tài)。不同的權(quán)值優(yōu)化歷程圖均顯示，在第4次迭代左右出現(xiàn)了起伏較大的波動(dòng)，且優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型云圖趨向0值增多，這是由于集中于中間密度的趨勢(shì)減弱，兩級(jí)趨向性增強(qiáng)。在此基礎(chǔ)上，隨著迭代次數(shù)進(jìn)一步增加，拓?fù)錁?gòu)型的灰度漸少，最終優(yōu)化迭代至穩(wěn)定的減振拓?fù)錁?gòu)型。

圖3 模態(tài)優(yōu)化函數(shù)拓?fù)錁?gòu)型迭代歷程Fig.3 Iteration of modal optimization function and topology shape

對(duì)于不同權(quán)值函數(shù)，固有頻率優(yōu)化迭代變化隨優(yōu)化函數(shù)波動(dòng)而改變。圖4給出了其變化歷程，各優(yōu)化函數(shù)均以較小的波動(dòng)范圍引起固有頻率的變化，變化差值在±5 Hz以內(nèi)，因此模態(tài)損耗因子的優(yōu)化不影響結(jié)構(gòu)固有頻率和振型，并且滿足優(yōu)化模型約束條件的給定值，優(yōu)化穩(wěn)定后的數(shù)值可見(jiàn)表1中給出前三階模態(tài)固有頻率。

隨著優(yōu)化函數(shù)的迭代，不同階的模態(tài)損耗因子具有相應(yīng)不同的變化。圖5給出了對(duì)應(yīng)于不同階次優(yōu)化函數(shù)的損耗因子迭代過(guò)程。從圖中可知損耗因子值初期遞增，隨后減小逐漸趨于穩(wěn)定，以及其優(yōu)化曲線變化與目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值關(guān)系式(6)

圖4 模態(tài)優(yōu)化固有頻率迭代歷程Fig.4 Iteration of modal optimization natural frequency

圖5 模態(tài)優(yōu)化損耗因子迭代歷程Fig.5 Iteration of modal optimization loss factor

保持一致。同時(shí)可得中間密度較為集中時(shí)，模態(tài)損耗因子的數(shù)值出現(xiàn)隨之增加的趨勢(shì)，相反趨于兩級(jí)或灰度值減少時(shí)，損耗因子呈現(xiàn)下降。這表明在目標(biāo)函數(shù)值趨于穩(wěn)定時(shí)，若灰度較多，雖表現(xiàn)出損耗因子增加或穩(wěn)定，但由此提取的拓?fù)錁?gòu)型與計(jì)算的損耗因子相比會(huì)有所減小，導(dǎo)致結(jié)果存在虛增情況。在此，進(jìn)一步驗(yàn)證了抑制灰度值的重要性。

不難發(fā)現(xiàn)，圖3～圖5中在迭代25次附近曲線出現(xiàn)突變，呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)，緊接著趨于穩(wěn)定變化。為了抑制灰度值的產(chǎn)生，并且使趨于1的或趨于0的偽密度分別為設(shè)計(jì)變量最小值χmin和最大值χmax，因此在算法迭代中可增大插值模型懲罰因子p和q，減小設(shè)計(jì)變量移動(dòng)極限值λ，這樣可以在優(yōu)化迭代穩(wěn)定的后期減少中間密度材料的存在，提高拓?fù)錁?gòu)型約束阻尼層與實(shí)際所采用材料屬性的一致性。

圖6給出了針對(duì)靈敏度的正負(fù)數(shù)量的迭代跟蹤，提出靈敏度正數(shù)比=正數(shù)/總數(shù)，并以此作為度量分析。優(yōu)化過(guò)程中起始迭代次數(shù)均以大于0.6的比值尋優(yōu)，中間迭代數(shù)以低于0.6的比值尋優(yōu)。反映了動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中若僅以靈敏度負(fù)值參與迭代優(yōu)化，難以滿足體積約束條件，會(huì)使尋優(yōu)域縮小，表明靈敏度正負(fù)比值的波動(dòng)性，可能引起出現(xiàn)極值點(diǎn)解和拓?fù)錁?gòu)型跳躍。

為此，采用一般優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)上述算例展開(kāi)拓?fù)錅p振優(yōu)化。圖7(a)、圖7(b)和圖7(c)為一般法單模態(tài)優(yōu)化迭代歷程。與圖3對(duì)比，可以看出在迭代優(yōu)化初期，曲線變化比較相似，但從拓?fù)錁?gòu)型云圖上看一般法優(yōu)化的中間密度數(shù)量較多，趨向于密度為0或1的變化減弱?？煽闯觯瑘D7(a)在迭代10次附近、圖7(b)在迭代13次附近曲線出現(xiàn)明顯的下降，隨著中間密度值增多，優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型反而出現(xiàn)倒退的現(xiàn)象，并結(jié)合圖6分析，可得能參與優(yōu)化迭代的設(shè)計(jì)變量正數(shù)比明顯高于體積約束系數(shù)0.5，致使中間密度增加，且優(yōu)化滿足不了減振優(yōu)化模型的體積約束條件而迭代優(yōu)化中止。

圖6 模態(tài)優(yōu)化靈敏度正數(shù)比迭代歷程Fig.6 Iteration of modal optimization sensitivity positive ratio

圖7 一般法模態(tài)優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型迭代歷程Fig.7 Iteration of modal optimization function and topology shape by unimproved OC method

圖7(c)進(jìn)一步表明一般法的參與設(shè)計(jì)變量正數(shù)比低于約束體積系數(shù)時(shí)，可進(jìn)行迭代優(yōu)化，中間密度較多，迭代變化平緩，反映出尋優(yōu)極值點(diǎn)不易變化；從圖6(c)中可得到迭代后期出現(xiàn)不滿足約束條件的靈敏度正數(shù)比，但是在設(shè)計(jì)變量移動(dòng)極限值的作用下，同樣能穩(wěn)定拓?fù)錁?gòu)型。

圖7(d)給出了一般法多模態(tài)優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型過(guò)程。同樣反映出與一般法單模態(tài)迭代優(yōu)化中不易滿足體積約束條件的分析相一致的情況。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證其算法的優(yōu)化效果，采用不同權(quán)值拓?fù)錁?gòu)型作諧響應(yīng)分析，且與全覆蓋約束阻尼層諧響應(yīng)對(duì)比。圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)為單階模態(tài)優(yōu)化諧響分析曲線。與全覆蓋阻尼激勵(lì)幅值相比均有所增加，但增加的幅值較小，同時(shí)驗(yàn)證了表1中模態(tài)損耗因子變化，在體積減少50%的前提下，一階和三階模態(tài)損耗因子下降2.3%、9.3%以及二階模損耗因子上升1.5%；圖8(d)給出了針對(duì)前三階多模態(tài)權(quán)值優(yōu)化諧響分析曲線，另外結(jié)合表1中多模態(tài)優(yōu)化特性數(shù)值，結(jié)果表明與單模態(tài)優(yōu)化相比，有更好的減振效果，一階損耗因子增加相對(duì)而言較多，提升了一階單模態(tài)優(yōu)化效果。優(yōu)化阻尼和全覆蓋阻尼結(jié)構(gòu)諧響應(yīng)分析的共峰值激勵(lì)頻率與表1中優(yōu)化前后固有頻率變化相一致，驗(yàn)證了其合理性。不過(guò)，可看出未優(yōu)化的高階模態(tài)減振幅值相對(duì)于全覆蓋阻尼有所增加，由于高階振型較復(fù)雜，與敷設(shè)在優(yōu)化區(qū)域顯現(xiàn)較集中的已優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型相比，減振效果有所減弱。

從優(yōu)化前后幅頻特性曲線可以看出，第三階共峰值均相對(duì)較小，根據(jù)振動(dòng)理論，可知激勵(lì)頻率與固有頻率較接近時(shí)其主振型起主導(dǎo)作用，并且圖2(a)所示的提取點(diǎn)位置處固有頻率主振型幅值較小，進(jìn)而使未優(yōu)化阻尼結(jié)構(gòu)同樣出現(xiàn)較低的共振響應(yīng)峰。

在優(yōu)化體積減少50%的前提下，殼結(jié)構(gòu)均能優(yōu)化得到與全敷設(shè)約束阻尼材料同等的減振效果，甚至在低頻段優(yōu)化效果有相對(duì)大的提升，結(jié)構(gòu)的頻率和振型保持在約束范圍內(nèi)，提高了結(jié)構(gòu)的輕量化要求，改善結(jié)構(gòu)減振控制中的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 模態(tài)優(yōu)化前后諧響應(yīng)分析Fig.8 Harmonic response analysis of single shell mode optimiz

5 結(jié) 論

1) 以50%為體積約束條件，多階優(yōu)于單階模態(tài)優(yōu)化，得到與全覆蓋約束阻尼層相比，模態(tài)損耗因子偏差卻不超過(guò)10%的效果，亦可在合適減少材料的情況下，引起結(jié)構(gòu)損耗因子提高，增加能量耗散，抑制振動(dòng)響應(yīng)。

2) 提出對(duì)靈敏度正數(shù)比的分析，反映出動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中靈敏度正、負(fù)數(shù)集共存，優(yōu)化中應(yīng)避免非靈敏度全域優(yōu)化迭代發(fā)生和拓?fù)錁?gòu)型跳躍。

3) 拓?fù)錁?gòu)型灰度越大，模態(tài)損耗因子越大，進(jìn)而在優(yōu)化過(guò)程中，避免因?yàn)槌霈F(xiàn)懲罰不夠?qū)е路€(wěn)定構(gòu)型包含較多中間密度值的情況發(fā)生，使得優(yōu)化結(jié)果虛增，同時(shí)拓?fù)錁?gòu)型顯示可將約束阻尼材料較多敷設(shè)在振動(dòng)響應(yīng)大的區(qū)域，能夠最大限度的抑制振幅。

4) 全域靈敏度改進(jìn)準(zhǔn)則法對(duì)復(fù)合殼結(jié)構(gòu)不同權(quán)值優(yōu)化，驗(yàn)證了算法具有迭代快、尋優(yōu)域廣和拓?fù)錁?gòu)型清晰穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì)。