李少峰 宋金寶

(浙江大學(xué)海洋學(xué)院，浙江舟山 316000)

引言

海洋中的波動(dòng)現(xiàn)象十分豐富.如：海洋表面的波浪、海嘯、潮汐和風(fēng)暴潮等，這些不同尺度海洋波動(dòng)的生成和演變通常與重力、地球的自轉(zhuǎn)及月亮和太陽(yáng)的引力等有關(guān).Larraza 和Putterman[1]對(duì)水槽中表面重力波進(jìn)行了理論研究，用多重尺度法幾乎是直接給出了水波振幅所滿(mǎn)足的立方非線(xiàn) 性Schr?dinger 方 程(non-linear Schr?dinger equation,NLSE)及其孤立波解，但是缺乏嚴(yán)密的推導(dǎo)和論證，也沒(méi)有考慮表面張力的影響.Djordjevic 和Redekopp[2]考慮到表面張力的作用，導(dǎo)出了有限水深中二維毛細(xì)重力波振幅所滿(mǎn)足的NLSE，對(duì)其解進(jìn)行了穩(wěn)定性劃分，揭示了短毛細(xì)重力波和長(zhǎng)重力波的共振條件.多重尺度分析是一種處理水波問(wèn)題的常用方法，可研究不同尺度下波浪的演化，大量學(xué)者[3-5]使用這種方法進(jìn)行水波的研究.也有些學(xué)者，如王本仁和魏榮爵[6]曾使用變分法研究水波.不管使用何種方法，諸多學(xué)者發(fā)展了毛細(xì)重力波的動(dòng)力機(jī)制.周顯初等[7-8]解釋了毛細(xì)重力孤立波橫向諧振中波峰尖、波谷平的原因.顏家壬等[9]研究了兩層流體中的毛細(xì)重力孤立波.Takuji 等[10]分析了短毛細(xì)重力波和長(zhǎng)重力波的非線(xiàn)性相互作用，指出了在共振情況下短波和長(zhǎng)波之間可以相互轉(zhuǎn)化能量，此時(shí)短波的群速度和長(zhǎng)波的相速度相匹配.Dias 等[11]詳細(xì)地討論了上述短波和長(zhǎng)波之間的演變過(guò)程、分叉及穩(wěn)定性.Parau 等[12]研究了三維毛細(xì)重力波，并與Vanden Broeck 等[13]給出的二維情況作了詳細(xì)的對(duì)比，指出二維和三維有較好的相似性.Kang 等[14]給出了有限水深下，伴有恒定渦度(代表流的剪切性)存在的周期性孤立毛細(xì)重力波.Wahlen 等[15-17]使用分叉理論嚴(yán)密地證明了在伴有非恒定渦度條件下周期性毛細(xì)波和毛細(xì)重力波的存在性.Martin 等[18-19]指出在伴有分段渦度分布的條件下，三波相互作用是可能的，然而調(diào)制不穩(wěn)定性是和四波共振作用相一致的.Tiron 等[20]數(shù)值計(jì)算了毛細(xì)重力波之間的相互共振作用.

上述文獻(xiàn)雖然均沒(méi)有考慮到均勻流對(duì)波的作用，但對(duì)本文關(guān)注的波流相互作用研究有重要的指導(dǎo)意義.早期，李家春等[21]考慮深水中二維Stokes波邊帶不穩(wěn)定性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)邊帶不穩(wěn)定增長(zhǎng)率定性地和理論相一致，且微風(fēng)會(huì)提高增長(zhǎng)率，而強(qiáng)風(fēng)卻會(huì)抑制.Sedletsky[22]分析了水深對(duì)高階Stocks 波調(diào)制不穩(wěn)定性的影響，指出水深加深時(shí)非線(xiàn)性作用加強(qiáng)，小波數(shù)情形下調(diào)制不穩(wěn)定會(huì)重新穩(wěn)定.近來(lái)，廖波等[23]、李少峰等[24]研究了被線(xiàn)性剪切流緩慢調(diào)制的有限水深重力波，這里的剪切流是由均勻流和流的剪切組成的，其中流的剪切刻畫(huà)了渦度.同時(shí)他們展示了剪切流對(duì)重力波穩(wěn)定性區(qū)域劃分的影響，發(fā)現(xiàn)了順流增強(qiáng)調(diào)制不穩(wěn)定，而逆流減弱它.Hsu 等[25]分析了被渦度緩慢調(diào)制的有限水深毛細(xì)重力波，他們指出毛細(xì)重力波穩(wěn)定性區(qū)域劃分被渦度有效地改變.另外，還有些學(xué)者[26-32]研究了不同物理背景下的波流相互作用，如徐祥德等[33]詳細(xì)介紹了大氣中大尺度波流相互作用及波動(dòng)傳播模態(tài)；徐俊麗等[34]分析了高頻波對(duì)定常Ekman 流解的影響；楊衡等[35]、魏艷等[36]、程永舟等[37-38]討論了波流和結(jié)構(gòu)物的相互作用.

在本文中，基于文獻(xiàn)[2]的研究成果及結(jié)合文獻(xiàn)[23-25]的分析方法，考慮均勻流對(duì)毛細(xì)重力波的調(diào)制作用.在第一節(jié)，將使用多重尺度法推導(dǎo)被均勻流調(diào)制的二維毛細(xì)重力波振幅在有限水深中所滿(mǎn)足的NLSE.在第二節(jié)，通過(guò)使用NLSE，分析被均勻流調(diào)制的毛細(xì)重力波的不穩(wěn)定性.第三節(jié)是本文的主要結(jié)論.由于毛細(xì)重力波與流的相互作用可以有效地改變海表粗糙度和海洋上層流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，所以這對(duì)海面風(fēng)場(chǎng)、海表壓強(qiáng)、海氣通量交換等有重要意義.另外，了解海表面的這些短波動(dòng)力機(jī)制，對(duì)衛(wèi)星遙感的精確測(cè)量和海氣耦合模式的改進(jìn)等也有重要意義.

1 方程的推導(dǎo)

1.1 控制方程與邊界條件

假設(shè)流體運(yùn)動(dòng)是無(wú)黏的、不可壓的和無(wú)旋的.如圖1 所示，考慮均勻流作用下二維毛細(xì)重力水波在有限水深中的傳播，坐標(biāo)原點(diǎn)o位于靜止水面處，x方向是水波的傳播方向，y方向垂直向上與重力方向相反，z垂直紙面向外.這里，把與波動(dòng)方向一致的均勻流稱(chēng)為順流，反之稱(chēng)為逆流.故二維水波基本方程組[39-42]可表述為

圖1 二維毛細(xì)重力水波在均勻流作用下的傳播.ζ(x,t)是自由面波動(dòng)，c 是波速度Fig.1 Schematic of the Eulerian framework for two-dimensional propagating capillary-gravity waves with a uniform fl w.ζ(x,t)is the free surface elevation and c is the wave velocity

其中，φ 是速度勢(shì)函數(shù)，U是均勻流為常數(shù)，h為流體的深度，ζ 為自由面起伏，g是重力加速度，a為流體表面張力系數(shù)，ρ 為流體的密度，?為二維Laplace 算子.其中下標(biāo)表示對(duì)相應(yīng)變量求導(dǎo).式(2)是自由面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件，式(3)是自由面上的動(dòng)力學(xué)邊界條件，式(4)是底邊界條件.

1.2 非線(xiàn)性Schr?dinger 方程

引入下列多重尺度[2]

其中，波陡ε=kA是度量非線(xiàn)性程度的小參數(shù)，k是載波波數(shù)，A是振幅，cg是群速度.把式(5)代入式(1)～式(4)中，得到新的方程組

其中式(4)沒(méi)有變化.對(duì)φ 在y=0 附近按ζ 冪次Taylor 展開(kāi)，進(jìn)行線(xiàn)性化處理上邊界條件(7)和(8).假設(shè)方程組(4)，(6)～(8)有如下的漸近解

其中，ω 是角頻率，n是諧波數(shù)，φ?n和ζ?n分別表示φn和ζn的共軛.然后把φn和ζn關(guān)于ε 小級(jí)數(shù)展開(kāi)

這里j是階數(shù)，假設(shè)φ00=ζ00=0.將式(9)和式(10)代入式(4)，式(6)～式(8)中，得到了前三階攝動(dòng)問(wèn)題的方程組.

(1)εe1(表示一階一次諧波項(xiàng))：確定了頻散關(guān)系

(2)ε2e1：確立了行波的群速度

其中，μ=kh是劃分淺水和深水的無(wú)量綱參量，一般認(rèn)為μ>π 屬于深水，μ<0.1π 是淺水，介于二者之間是有限水深.同時(shí)ζ01=0

其中，D是待確定的慢變量函數(shù).

(3)ε2e2：獲得了φ22及ζ22的表達(dá)式

(4)ε3e0：得到一個(gè)由短波調(diào)制產(chǎn)生的平均流動(dòng)勢(shì)φ10的長(zhǎng)波方程

它描述以波速U±(gh)1/2向左右傳播的長(zhǎng)波所伴隨的參數(shù)變化.同時(shí)

(5)ε3e1：經(jīng)過(guò)繁瑣的計(jì)算，由于頻散關(guān)系，B和Dη被消除了，最終得到了描述波形包絡(luò)演化的NLSE

式中

它說(shuō)明在N=σ2/(3-σ2)處毛細(xì)重力波發(fā)生分叉，是一種Wilton 漣漪現(xiàn)象，在深水情形下，σ=1，N=1/2.另一處是

有量綱形式是

它反映了長(zhǎng)重力波與短毛細(xì)重力波發(fā)生共振，此時(shí)短波的群速度與長(zhǎng)波的相速度相一致.同樣地可以得到自由面ζ 的振幅a所滿(mǎn)足的方程

同時(shí)有必要考慮在深水情形下NLSE 系數(shù)的變化，即μ→∞時(shí)

2 穩(wěn)定性分析

顯然式(26)有如下的Stokes 波解

其中a0是初始振幅，考慮在振幅和相位上有小擾動(dòng)的解

將上式代入式(26)中，線(xiàn)性化Stokes 波解，有

分開(kāi)上述方程實(shí)部和虛部，產(chǎn)生一個(gè)關(guān)于小擾動(dòng)的常系數(shù)線(xiàn)性方程組

它有如下的解

其中，L和Γ 分別是擾動(dòng)波數(shù)和擾動(dòng)角頻率，將式(32)代入方程組(31)中，式(31)有非零解的充要條件是

無(wú)量綱不穩(wěn)定最大增長(zhǎng)率是

如圖2(a)所示，5 條曲線(xiàn)將(N,μ)平面劃分為6 個(gè)區(qū)域，其中“S”表示Stokes 波解是調(diào)制穩(wěn)定的，而“U”表示Stokes 波解是調(diào)制不穩(wěn)定的，但是均勻流不影響這個(gè)區(qū)域的劃分.曲線(xiàn)1 和曲線(xiàn)5 表示非線(xiàn)性系數(shù)，曲線(xiàn)1 與μ軸的交點(diǎn)為熟悉的μ=1.363，表示在不考慮表面張力時(shí)，μ<1.363，重力波是穩(wěn)定的；μ >1.363，它是不穩(wěn)定的.曲線(xiàn)2 表示耗散系數(shù)，即相速度達(dá)到最小值且和群速度相一致.曲線(xiàn)3 和4 是的奇異處，分別表示毛細(xì)重力波分叉及長(zhǎng)波和短波共振.由式(27)知，曲線(xiàn)2 和3 的漸近線(xiàn)分別是N=2/31/2-1，N=1/2,如圖2(b)所示，它們之間毛細(xì)重力波是穩(wěn)定的；長(zhǎng)短波共振曲線(xiàn)4 有漸近線(xiàn)

圖2 Stokes毛細(xì)重力波穩(wěn)定區(qū)域劃分Fig.2 Stability diagram for Stokes capillary-gravity waves

曲線(xiàn)5 有漸近線(xiàn)

值得注意的是，毛細(xì)重力波在曲線(xiàn)4 和5 漸近線(xiàn)之間是穩(wěn)定的，但當(dāng)μ1 時(shí)，即深水時(shí)，它們?cè)讦梯S上的截?cái)?/4 和35/4 可以被忽略，這兩條邊界線(xiàn)重合在一起(斜率相同)，它們之間穩(wěn)定區(qū)域消失，這也解釋了長(zhǎng)短波共振在深水中消失的原因[2,25].

2.1 不穩(wěn)定最大增長(zhǎng)率

如圖3 所示，知N大致上被劃分為4 個(gè)部分:[0,0.15]，(0.15,0.5)，[0.5,1.1]，(1.1,+∞)，其中(0.15,0.5)是穩(wěn)定區(qū)域.我們來(lái)分析不穩(wěn)定最大增長(zhǎng)率隨水深的變化趨勢(shì).如圖3(a)所示，N=0時(shí)，實(shí)線(xiàn)與μ軸的交點(diǎn)為μ=1.363，隨著N增大，交點(diǎn)μ值變小，體現(xiàn)了調(diào)制不穩(wěn)定的重新穩(wěn)定；且隨著μ變大而變大，逐漸趨于一個(gè)常值，亦隨著N增大而增大.但在N∈[0.5,1.1]中，如圖3(b)所示，隨著μ變大而變小，且N越大下降的趨勢(shì)越快，在深水時(shí)達(dá)到常值.曲線(xiàn)4 及曲線(xiàn)5 將N∈(1.1,+∞)不穩(wěn)定區(qū)域隔開(kāi)，所以隨μ變化被分為兩部分，如圖3(c)、圖3(d)所示，在μ前半段，隨μ增大而逐漸減小到0，隨N增大，每條曲線(xiàn)向右邊的N=+∞靠近；在μ后半段，亦隨μ增大而減小，但趨于一個(gè)常值，且隨著N增大，曲線(xiàn)向右移動(dòng)，遠(yuǎn)離N=+∞.

圖3 =0 時(shí)，無(wú)量綱最大增長(zhǎng)率隨水深μ的變化Fig.3 Dimensionless maximum growth rateas a function of dimensionless water depthμfor=0

如圖4(a)所示，在N前半段，隨N增大先減小后增大，且隨著水深增大，變化范圍變大，逐漸向右偏移；但在N后半段，如圖4(b)所示，隨N增大而增大，隨水深增大而減小且向右偏移.

圖4 =0 時(shí)，無(wú)量綱最大增長(zhǎng)率隨N 的變化Fig.4 Dimensionless maximum growth rateas a function of N for=0 at differentμ

圖5 無(wú)量綱最大增長(zhǎng)率的變化Fig.5 Dimensionless maximum growth rate

圖5 無(wú)量綱最大增長(zhǎng)率的變化(續(xù))Fig.5 Dimensionless maximum growth rate(continued)

2.2 不穩(wěn)定增長(zhǎng)率

圖6 =0 時(shí)，無(wú)量綱增長(zhǎng)率隨無(wú)量綱擾動(dòng)波數(shù)的變化Fig.6 Dimensionless growth rate as a function of dimensionless perturbation wave number for =0 at different N

圖6 =0 時(shí)，無(wú)量綱增長(zhǎng)率隨無(wú)量綱擾動(dòng)波數(shù)的變化(續(xù))Fig.6 Dimensionless growth rateas a function of dimensionless perturbation wave numberfor=0 at different N (continued)

如圖7 所示，與圖5 有類(lèi)似的結(jié)果，順流使無(wú)量綱不穩(wěn)定增長(zhǎng)率變小，逆流使之變大，且相差的倍數(shù)都是1-.

3 結(jié)論

圖7 無(wú)量綱增長(zhǎng)率隨無(wú)量綱擾動(dòng)波數(shù)的變化Fig.7 Dimensionless growth rate as a function of dimensionless perturbation wave number at different

該文分析了均勻流對(duì)毛細(xì)重力波的調(diào)制作用.從水波基本方程出發(fā)，考慮了均勻流的作用，使用多重尺度分析方法導(dǎo)出了毛細(xì)重力波振幅所滿(mǎn)足的NLSE.通過(guò)毛細(xì)重力波調(diào)制穩(wěn)定性分析，知NLSE 中頻散系數(shù)α 和非線(xiàn)性系數(shù)γ 同號(hào)時(shí)，毛細(xì)重力波是調(diào)制穩(wěn)定的；α 與γ 異號(hào)時(shí)，它是調(diào)制不穩(wěn)定的，此時(shí)會(huì)有鐘型孤立波的產(chǎn)生.而α 和γ 的大小是與均勻流、水深和表面張力有關(guān)的.通過(guò)對(duì)α 與γ 符號(hào)的判斷，知α=0 和γ=0 及它們的奇異處5 條曲線(xiàn)將(N,μ)平面劃分為6 個(gè)區(qū)域，從左到右，穩(wěn)定和不穩(wěn)定依次交換；在深水時(shí)，N軸被劃分為3 個(gè)穩(wěn)定和不穩(wěn)定依次交替的片段，即N∈[0,0.15]∪(0.5,+∞)時(shí)，毛細(xì)重力波是調(diào)制不穩(wěn)定的；但N∈(0.15,0.5]時(shí)，它是調(diào)制穩(wěn)定的.均勻流對(duì)這些區(qū)域的劃分沒(méi)有影響.同時(shí)也得到了微擾動(dòng)的頻散關(guān)系，給出了毛細(xì)重力波不穩(wěn)定的增長(zhǎng)率及最大增長(zhǎng)率隨水深、表面張力及擾動(dòng)波數(shù)的變化趨勢(shì).指出了順流會(huì)減小增長(zhǎng)率及最大增長(zhǎng)率，逆流會(huì)增加它們.

海洋上界面過(guò)程直接影響和調(diào)控著海氣邊界層結(jié)構(gòu)與海氣相互作用，特別是發(fā)生在海氣界面的海洋表面波動(dòng)在海氣相互作用中發(fā)揮著重要作用.當(dāng)風(fēng)吹過(guò)海面時(shí)，會(huì)在海面產(chǎn)生切應(yīng)力，這種摩擦應(yīng)力會(huì)使海面形成毛細(xì)重力波和重力波，它們與海流的相互作用會(huì)有效地改變海表粗糙度和海洋上層流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而影響海氣界面動(dòng)量、熱量及水汽的交換.盡管風(fēng)浪頻譜的主要能量集中于譜峰頻率附近，但譜的高頻率部分對(duì)研究海-氣相互作用和海面的反射性能等有重要意義.本文建立了一個(gè)關(guān)于均勻流與毛細(xì)重力高頻波相互作用的簡(jiǎn)單模型，來(lái)刻畫(huà)實(shí)際海洋中復(fù)雜的海流與高頻波的相互作用.了解海表這些短波動(dòng)力機(jī)制，對(duì)衛(wèi)星遙感的精確測(cè)量、海氣相互作用的深入研究及海氣耦合模式的改進(jìn)等有重要意義.