張樹義, 聶 輝, 張芯語

(渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013)

全文設E是實賦范線性空間,其范數(shù)為||·||,E*是E的對偶空間.對偶映象Jp:E→2E*(1

1 預備知識

定義1 設C是實賦范線性空間E的閉子集,T:C→C是一映象.稱T為半緊的,如果對C中任何有界序列{xn},使得||xn-Txn||→0(n→∞), 則存在子列{xni}?{xn},使得xni→x*∈C.

定義2C上的自映象族I:={T(t):t≥0}被稱為非擴張半群,如果滿足下列條件:

ⅰ)T(t1+t2)=T(t1)T(t2)x,?t1,t2∈R+和x∈C;

ⅱ)T(0)x=x,?x∈C;

ⅲ) 對?x∈C,tT(t)x是連續(xù)的;

ⅳ) 對?t≥0,T(t)是C上的非擴張映象,即對?x,y∈C,t∈R+,有

||T(t)x-T(t)y||≤||x-y||.

如果這族映象I∶={T(t):t≥0}滿足條件ⅰ)～ⅲ),則I被稱為:

a) 偽壓縮半群, 如果對?x,y∈C, 存在j(x-y)∈J(x-y),使得

〈T(t)x-T(t)y,j(x-y)〉≤||x-y||2;

b) 一致Lipschitz半群,如果存在有界可測函數(shù)L:[0,+∞)→[0,+∞),使得對?x,y∈C和t≥0,有

||Tn(t)x-Tn(t)y||≤L(t)||x-y||,n≥1;

c) 嚴格偽壓縮半群,如果存在有界函數(shù)λ:[0,+∞)→[0,+∞)和對?x,y∈C,存在j(x-y)∈J(x-y),使得對?t≥0,有

d) 全漸近嚴格偽壓縮半群,如果存在有界函數(shù)λ:[0,+∞)→[0,+∞)和序列 {μn}?[0,∞)和{ξn}?[0,∞),μn→0和ξn→0(n→∞),對?x,y∈C,存在j(x-y)∈J(x-y),使得對?t≥0,n≥1,有

〈Tn(t)x-Tn(t)y,j(x-y)〉≤

||x-y||2-λ(t)||(I-Tn(t))x-

(I-Tn(t))y||2+μnφ(||x-y||)+ξn,

其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)且嚴格增加的函數(shù),φ(0)=0;

e) 漸近嚴格偽壓縮半群,如果存在有界函數(shù)λ:[0,+∞)→[0,+∞)和序列{kn}?[0,+∞),kn→1(n→∞),對?x,y∈C,存在j(x-y)∈J(x-y),使得對?t≥0,n≥1,有

〈Tn(t)x-Tn(t)y,j(x-y)〉≤kn||x-y||2-λ(t)||(I-Tn(t))x-(I-Tn(t))y||2.

xn=αnu+(1-αn)T(tn)xn,?n≥1,

(1)

xn+1=(1-αn)xn+αnT(tn)xn,?n≥1,

(2)

xn+1=(1-αn)xn+αnTn(tn)xn,?n≥1,

(3)

證明了定理1.

對定理1,我們指出:

表明定理1中條件ⅱ)不滿足.因此,定理1需要改進.

近幾年我們使用新的分析方法,在文獻[7-9]中用映象滿足條件(A′)代替半緊的條件,建立了嚴格偽壓縮映象迭代序列強收斂定理.另一方面,文獻[10-18]使用新的分析方法,研究了幾類非線性映象不動點的迭代逼近問題.受上述工作的啟發(fā),本文在賦范線性空間中引入并研究了廣義全漸近嚴格偽壓縮半群和帶誤差的顯式迭代序列的收斂性,使用新的分析方法建立了廣義全漸近嚴格偽壓縮半群和具誤差的顯式迭代序列的強收斂性定理,改進和擴展了Chang等[4]和Yang等[5]的研究成果.

首先引入了一類新的廣義全漸近嚴格的偽壓縮半群.

定義3 如果映象集合I={T(t):t≥0}滿足定義1中條件ⅰ)～ⅲ),則I被稱為

f) 廣義全漸近嚴格偽壓縮半群,如果存在有界函數(shù)λ:[0,+∞)→[0,+∞),對?x,y∈C,存在jp(x-y)∈Jp(x-y),{μn(x)}?[0,∞)和{rn(x)}?[0,∞),μn(x)→0和rn(x)→0(n→∞),使得對?t≥0,n≥1,〈Tn(t)x-Tn(t)y,jp(x-y)〉≤||x-y||p-λ(t)||(I-Tn(t))x-(I-Tn(t))y||p+μn(x)φ(||x-y||)+rn(x),其中φ:[0,+∞)→[0,+∞)是一個連續(xù)且嚴格增加的函數(shù),φ(0)=0;

g) 廣義漸近嚴格偽壓縮半群,如果存在有界函數(shù)λ:[0,+∞)→[0,+∞)和序列{kn}?[0,+∞),kn→1(n→∞), 對?x,y∈C,存在jp(x-y)∈Jp(x-y)和{rn(x)}?[0,∞),rn(x)→0(n→∞),使得對?t≥0,n≥1,〈Tn(t)x-Tn(t)y,jp(x-y)〉≤kn||x-y||p-λ(t)||(I-Tn(t))x-(I-Tn(t))y||p+rn(x);

h) 廣義漸近半壓縮半群,如果存在有界函數(shù)λ:[0,+∞)→[0,+∞)和一個序列{kn}?[0,+∞),kn→1(n→∞),對x∈C,y∈F(T(t)),存在jp(x-y)∈Jp(x-y)和{τn}?[0,∞),τn→0(n→∞),使得對?t≥0,n≥1,〈Tn(t)x-Tn(t)y,jp(x-y)〉≤kn||x-y||p-λ(t)||x-Tn(t)x||p+τn.

注1 在f)中,如果對p=2,μn(x)=μn,rn(x)=ξn,x∈C,則廣義全漸近嚴格偽壓縮半群便是全漸近嚴格偽壓縮半群.

(4)

式中,{αn},{βn},{γn},{δn}是(0,1)中4個實數(shù)列, {un},{vn}是C中2個有界序列.

對I={T(t):t≥0},修正這個條件如下.

為了證明本文的主要結果,需要如下引理.

引理1[13]設E是實賦范線性空間,Jp:E→2E*是對偶映象,則?x,y∈E,有

移項得:

因此,對任意正整數(shù)h≥n4,有

(6)

由式(6),得:

矛盾.因此,式(6)對k+1成立.由第二數(shù)學歸納法,?n≥N,式(6)成立.故

2 主要結果

ⅰ)αn+γn≤1,βn+δn≤1,n≥1;

即

和對x,y∈C,n≥1,有

式中,L=L*+1.又,φ是不減函數(shù),如果λ≤M,有φ(λ)≤φ(M),如果λ≥M,φ(λ)≤M*λp.于是這2種情況有φ(λ)≤φ(M)+M*λp.令

由式(4),式(7),式(8)和引理1有

由式(4)和式(8),有

和

把式(10)代入式(9),應用不等式pap-1b≤2p-1(ap+bp),式中,a,b∈[0,+∞),有

式中,

注意到

式中,

化簡不等式(11),有

對x*∈F取下確界,有

在式(12)中用n代替n+1,有

把式(12)和式(13)相加,得:

由式(8),?t≥0,有

這蘊含

由式(8),?t≥0,又有

這蘊含

(16)

把式(16)代入式(15)有

這和條件(A′)一起給出

把式(17)代入式(14)有

式中,

取下確界x*∈F,有

其中

顯然,0

下面用第二歸納法證明?n≥m,有

(19)

下面往證,對n=k+1,式(19)也成立.假設式(19)不成立,則

從而d(xk+1,F)≥Q.由f的單調(diào)遞增性有f(d(xk+1,F))≥f(Q).由式(18),有

這是一個矛盾.因此式(19)對n=k+1成立.由第二歸納法,n≥m,式(19)成立.由式(19),有

這表明?n≥m,有[d(xn,F)]p≤2Q.因此,由式(18),?n≥m有

注2 定理2從以下方面改進與推廣了定理1:

ⅰ) 將全漸近嚴格偽壓縮半群擴展到更一般的廣義全漸近嚴格偽壓縮半群;

ⅱ) 將Banach空間推廣到實賦范線性空間;

ⅴ) 將迭代序列式(3)推廣為更一般的帶誤差的迭代序列式(4);

ⅷ) 定理2的主要證明與已往完全不同.

在定理2中?x∈C, 取μn(x)=μn,rn(x)=ξn,p=2,則有定理3.

在定理4中?x∈C,取rn(x)=0,p=2,則有定理5.

3 結 論

全漸近嚴格偽壓縮半群是一類比較廣泛的非線性映象,它以嚴格偽壓縮半群和漸近嚴格偽壓縮半群為特例.而廣義全漸近嚴格偽壓縮半群是全漸近嚴格偽壓縮半群的推廣,因此研究其迭代逼近問題是非常有意義的.本文使用新的分析技巧,在實賦范線性空間中建立了廣義全漸近嚴格偽壓縮半群公共不動點具誤差迭代序列的強收斂定理.所得結果與以往相比不需要任何有界性條件,而且較強的半緊條件被條件(A′)所取代,主要結果證明與已往也完全不同.這樣獲得的結果擴大了相關定理的適用范圍.