黃欽華 高遠 袁海英 文家燕

摘要：為提高Boost變換器輸出電壓的控制性能和抗干擾性，提出一種電壓環(huán)和電流環(huán)均采用分數(shù)階比例積分（PI）控制器的雙閉環(huán)控制方法。該方法在建立的雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制系統(tǒng)數(shù)學模型基礎上，結合控制系統(tǒng)頻域設計理論設計出電流環(huán)、電壓環(huán)的分數(shù)階PI控制器參數(shù)，并利用Bode圖分析了被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。Boost變換器的雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制仿真結果表明，即使在電源電壓、負載，以及期望輸出電壓的變化條件下，相比雙閉環(huán)整數(shù)階PI，以及電壓環(huán)分數(shù)階PI、電流環(huán)整數(shù)階PI的兩種控制情形，該方法能實現(xiàn)變換器具有更好的輸出電壓性能和控制魯棒性。

關鍵詞：Boost變換器;分數(shù)階：雙閉環(huán);比例積分控制器：魯棒性

中圖分類號：TM46DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2020.01.002

0引言

Boost變換器是DC-DC變換器的一種重要類型，通過對其開關器件的通斷控制，可實現(xiàn)對直流電源的升壓變換輸出;在電動汽車、光伏發(fā)電系統(tǒng)等領域具有廣泛的應用前景Ⅲ?？刂撇呗允菍崿F(xiàn)DC-DC變換器高性能電壓輸出的重要保證。然而，DC-DC變換器固有的非線性和非最小相位特性，以及系統(tǒng)參數(shù)、外部電源和負載的時變性，會使得基于電壓單閉環(huán)控制的系統(tǒng)電壓輸出不能有效滿足高性能要求的應用工況。近年來，有學者提出了電壓和電流反饋的雙閉環(huán)控制策略，把對變換器電容電壓的控制問題轉(zhuǎn)化為對電感電流的控制問題，在一定程度上可降低系統(tǒng)非最小相位特性和時變干擾對控制性能的不良影響。如文獻[6]對Boost變換器采用雙閉環(huán)控制結構，設計一種基于電流模式的非線性控制器，不僅控制輸出電壓具有良好的動靜態(tài)性能，而且對電源輸入電壓的變化也有著較強的輸出控制魯棒性。

目前，DC-DC變換器大都采用整數(shù)階的控制方法。自本世紀以來，人們研究發(fā)現(xiàn)分數(shù)階控制相比傳統(tǒng)的整數(shù)階控制情形，被控系統(tǒng)具有更好的動態(tài)性能和魯棒性等特點，這極大促進了分數(shù)階理論在電機、飛行器等控制工程領域中的應用。在DC-DC變換器控制領域，基于電壓單閉環(huán)的分數(shù)階控制已有報道，且可獲得相比整數(shù)階控制更好的效果。為克服Boost變換器PI^λD^μ控制器的多控制參數(shù)（包含兩個分數(shù)階次參數(shù)）整定困難，文獻[10]通過定義控制性能指標函數(shù)，采用粒子群算法進行優(yōu)化搜索獲取控制器參數(shù)，研究結果顯示PI^λD^μ控制能有效提高變換器的電壓輸出品質(zhì)，以及降低系統(tǒng)參數(shù)變化對控制的不良影響。文獻[11]通過設計外部負載參數(shù)的自適應估計律，以及構建分數(shù)階PI滑模函數(shù)，推導出Boost變換器的自適應分數(shù)階滑?？刂破?，可使系統(tǒng)具有良好的電壓輸出瞬態(tài)響應和抗負載變化能力。

為提高Boost變換器的控制性能和魯棒性，鑒于系統(tǒng)雙閉環(huán)控制和分數(shù)階控制的優(yōu)勢特點，提出一種電壓一電流雙閉環(huán)分數(shù)階比例積分（PI）控制方法，并根據(jù)建立的雙閉環(huán)分數(shù)階控制系統(tǒng)數(shù)學模型，采用頻域設計理論，通過分步混合式的設計過程，整定出電流環(huán)和電壓環(huán)的分數(shù)階PI控制器參數(shù)。Boost變換器的雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制仿真對比結果驗證了所提出方法的有效性。

1Boost變換器雙閉環(huán)分數(shù)階控制系統(tǒng)的數(shù)學建模

圖1為包括了Boost變換器的電壓、電流雙閉環(huán)分數(shù)階控制系統(tǒng)原理圖。圖1中，υ_o和i_L分別為變換器實際的輸出電壓和電感電流，υ_ref、i_Lref分別表示期望的輸出電壓和電感電流;電流控制誤差e_i（t）=i_Lref-i_L和電壓控制誤差e_υ（t）=υ_ref-υ_o，分別為電流環(huán)控制器和電壓環(huán)控制器的輸入信號，u（t）、i_Lref則分別是電流環(huán)控制器和電壓環(huán)控制器的輸出信號;d（t）為u（t）與三角波信號調(diào)制作用產(chǎn)生的脈沖寬度調(diào)制（PWM）信號，其體現(xiàn)為控制主電路開關器件S通斷變化的占空比。假定Boost變換器處電流連續(xù)工作模式，利用開關平均建模方法，可獲得如下形式的占空比-電流傳遞函數(shù)G_id（s）和電感電流一輸出電壓傳遞函數(shù)G_voiL（s）。

式中，D、V_o分別為Boost變換器在穩(wěn)態(tài)工作情況下的占空比和輸出電壓，并有關系V_o=V_in/（1-D）。

圖2是Boost變換器雙閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型框圖。圖2中G_c1（s）、G_c2（s）分別表示電流環(huán)分數(shù)階控制器和電壓環(huán)分數(shù)階控制器;G_m（s）=1/V_m是PWM調(diào)制器的傳遞函數(shù)，其中載波幅值V_m通常取值為1V。為實現(xiàn)高性能的輸出電壓控制，電流環(huán)和電壓環(huán)的分數(shù)階控制器設計是技術關鍵。

1.1雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制器

本文為降低雙閉環(huán)分數(shù)階控制器的設計復雜性，電流環(huán)和電壓環(huán)均采用分數(shù)階PI控制器，控制器對應的數(shù)學表達式分別為

式中，k_p1、k_p2為控制器的比例控制參數(shù)，k₁₁、k₁₂為控制器的積分控制參數(shù);λ₁、λ₂∈（0，1）表示分數(shù)階積分的階次參數(shù)。相比整數(shù)階PI控制器，分數(shù)階次參數(shù)引入使得控制器具有更好的控制靈活性，特別是當階次參數(shù)為1時，控制器將退變?yōu)閭鹘y(tǒng)的整數(shù)階PI控制形式。上述的分數(shù)階PI控制器具有的頻率特性如下規(guī)律：

根據(jù)式（5），可進一步求出對應的相頻和幅頻特性數(shù)學表達式：

1.2雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

根據(jù)圖2，結合式（1）、式（3）可求得電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)G_iB（s）：

利用式（8）和式（2）可求出電壓環(huán)被控對象的傳遞函數(shù)數(shù)學模型G_v（s）：

G_v（s）=G_iB（s）G_voiL（s）=

進一步可獲得G_v（s）的相頻特性和幅頻特性：

結合上述的系統(tǒng)數(shù)學模型，對電壓環(huán)和電流環(huán)的分數(shù)階PI控制器參數(shù)進行合理的綜合設計是實現(xiàn)變換器獲得優(yōu)良控制性能的重要保證。

2雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制器設計

由控制系統(tǒng)的頻域設計理論可知，對于被控系統(tǒng)G（s），當給定期望的截止頻率W_c相位裕度ψ_m，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的要求，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)、G_o（s）應滿足如下的頻域設計準則：

1）相位裕度準則

2）魯棒性準則

3）幅值準則

鑒于雙閉環(huán)的分數(shù)階PI控制器存在6個待設計參數(shù)，若直接從雙閉環(huán)分數(shù)階控制系統(tǒng)的數(shù)學模型出發(fā)，利用以上3個頻域設計準則，對控制器參數(shù)進行嚴格的解析求解較為困難。因此，為降低控制器參數(shù)綜合設計的復雜性，同時有別于現(xiàn)有基于智能搜索算法的多參數(shù)一步設計方法，本文采取如下具有分步混合特點的設計步驟對雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制器的參數(shù)進行設計。

Step 1設計電流環(huán)整數(shù)階PI控制器

令式（3）中λ₁=1，取超調(diào)量≤5%，阻尼比為0.707的性能要求，結合式（8），采用文獻[15]的仿真輔助設計方法，可設計出電流環(huán)整數(shù)階PI控制器的k_P1和k_I1參數(shù)，即有：

因此，在電流環(huán)整數(shù)階PI控制條件下，式（11）可簡化為：

進一步可求得G_v（s）的相頻特性和幅頻特性：

Step 2根據(jù)頻域設計準則，設計電壓環(huán)分數(shù)階PI控制器

選取期望的截止頻率ω_c和相位裕度ω_m，結合式（18）和式（6），分別根據(jù)相位裕度準則式（13）和魯棒性準則式（14），可求出如下λ_I2與λ₂關系式：

結合式（19）和式（7），根據(jù)幅值準則（15）可得到關于K_P2的數(shù)學表達式：可首先利用式（20）和式（21）繪制K_I2-λ₂曲線取交點的方法確定k_I2與λ₂，然后再根據(jù)式（22）求出k_P2數(shù)值。對于λ₂=1的電壓環(huán)整數(shù)階PI控制情形，可直接通過求解式（20）得到k₁₂。

Step 3選擇恰當?shù)姆謹?shù)階次參數(shù)λ₁。，對電流環(huán)整數(shù)階PI控制器進行分數(shù)階化

以Step 1所得k_P1和K_I1參數(shù)作為電流環(huán)分數(shù)階PI控制器的比例和積分控制參數(shù)，結合電壓環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖，在保持控制穩(wěn)定性條件下，以增強系統(tǒng)控制魯棒性為目的，選擇恰當?shù)姆謹?shù)階次參數(shù)λ₂，從而實現(xiàn)對電流環(huán)整數(shù)階PI控制器的分數(shù)階化。

3設計實例

以系統(tǒng)參數(shù)為V_in=60v，，L=2.5mH，C=440uF，R=120Q的Boost變換器為例，并假定變換器處于V₀=120v，D=0.5的穩(wěn)態(tài)工作情況。根據(jù)Step 1方法，可設計出電流環(huán)整數(shù)階PI控制器表達式：

根據(jù)Step 2過程，選擇ω_c=8300rad/s、ψ_m=π/3，由式（20）和式（21）繪制出如圖3所示的K_I2-λ₂的關系曲線圖，并由該圖交點確定k_I2=94.51、λ₂=0.8后，再根據(jù)式（22）可求出k_p2=2.6528.因此，所設計的電壓環(huán)分數(shù)階PI控制器為：

G_c2（s）=2.6528（1+94.51s^-0.8） （24）

當λ₂=1時，根據(jù)式（20）和式（22）可直接設計得到電壓環(huán)整數(shù)階PI控制器：

G_c2（s）=2.7114（1+543.5226^-1） （25）

依照Step 3的控制器分數(shù)階化方法，選取電流環(huán)控制器的分數(shù)階次參數(shù)λ₁=0.25，繪制如圖4所示的電壓環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖。由圖4可見，Boost變換器雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制（λ₁=0.25，λ₂=0.8），相比傳統(tǒng)的雙閉環(huán)整數(shù)階PI控制（λ₁=1，λ₂=1），以及電流環(huán)整數(shù)階PI、電壓環(huán)分數(shù)階PI的控制情形（λ₁=1，λ₂=0.8），對應的截止頻率ω_c和相位裕度ψ_m均符合設計要求，且相位曲線在截止頻率的平坦范圍變寬，這表明λ₁=0.25時，可使得雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制系統(tǒng)具有更強的控制魯棒性。因此，可設計分數(shù)階電流環(huán)PI控制器為：

4控制仿真結果及分析

在MATLAB/Simulink環(huán)境下，搭建Boost變換器的雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制系統(tǒng)仿真模型，其中分數(shù)階積分數(shù)值運算采用Oustaloup濾波算法實現(xiàn)。設置仿真模型的PWM工作頻率為40kHz，電源輸入電壓V_in=60v，負載電阻R=120Ω，期望輸出電壓V_ref=120v。

為驗證所提控制方法的有效性和先進性，仿真過程中分別考慮了變換器系統(tǒng)期望輸出電壓、電源電壓和負載電阻的變化運行情況，同時還對比系統(tǒng)雙閉環(huán)整數(shù)階PI，以及電流環(huán)整數(shù)階PI、電壓環(huán)分數(shù)階PI的控制仿真結果。圖5示出了調(diào)壓情況下（V_ref在1.2s時刻由120v跳變至140v）Boost變換器的輸出電壓響應曲線。圖6是負載電阻跳變情況下（R在1.2s時刻由120Ω跳變至100Ω，2.2s時刻再由100Ω跳變至150Ω）的輸出電壓圖。圖7給出了電源電壓變化時（V_in在1.2s時刻由60v跳變至70v，2.2s時刻再由70v跳變至50v）的輸出電壓變化情況。

由圖5-圖7看出，即使在期望輸出電壓、電源電壓和負載電阻的變化情況下，相比雙閉環(huán)整數(shù)階PI，以及電流環(huán)整數(shù)階PI、電壓環(huán)分數(shù)階PI的控制情形，雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制方法能使得Boost變換器的輸出電壓具有較快的控制響應速度、更好的對期望輸出電壓穩(wěn)定跟蹤控制性能，以及抗電源輸入電壓和外部負載的變化干擾能力。

5結語

針對Boost變換器控制問題，本文提出一種電流環(huán)、電壓環(huán)的雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制方法，并建立Boost變換器雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制系統(tǒng)數(shù)學模型。將數(shù)學模型與頻域設計理論相結合，提出采用一種分步混合式方法設計出電流環(huán)和電壓環(huán)的分數(shù)階PI控制器參數(shù)。該參數(shù)設計方法有別于現(xiàn)有基于智能優(yōu)化搜索算法的一步設計‘方法，不需要計算機大量運算;同時可兼顧參數(shù)設計的解析性，以及可降低多閉環(huán)系統(tǒng)控制參數(shù)綜合設計過程的復雜性。Boost變換器雙閉環(huán)分數(shù)階控制系統(tǒng)的控制仿真對比結果表明，本文所提出的雙閉環(huán)分數(shù)階PI控制方法具有更優(yōu)的期望輸出電壓跟蹤控制性能和魯棒性。此外，分數(shù)階PI控制器與整數(shù)階PI控制器的實現(xiàn)結構類似，且分數(shù)階積分環(huán)節(jié)可采用逼近的數(shù)字濾波器技術實現(xiàn)。因此，研究結果為探索DC-DC變換器高性能的控制策略，提供了有用的控制理論方法參考。