蔣天林

2019年高考江蘇卷第4題考查的是天體運動，好多考生感到比較“東方紅一號”運行速率時有困難，若作一輔助圓，則可順利攻克這一難點。同樣，當求解其他一些物理問題感到困惑時，通過作輔助圓也會有“豁然開朗”的感覺，使問題迎刃而解?，F(xiàn)舉例剖析可借助輔助圓進行求解的物理問題。

1.借助“軌道圓”求解天體運動問題。

點評：求解本題的關鍵是畫出變軌前的“軌道圓”，以便比較v1、v3的大小。

2.借助“等時圓”求解時間問題。

在一豎直圓面內(nèi)，從豎直直徑上端沿不同方向放置一些長短不同的光滑弦，下端都在同一豎直圓周上，則物體從靜止開始沿不同弦從上端滑到下端，所用時間相等。該圓稱為“等時圓”。

例2 一間新房要蓋屋頂，為了使下落的雨滴能夠以最短的時間淌離屋頂（屋頂?shù)牡走呴L度相同），則所蓋屋頂?shù)捻斀菓獮槿鐖D3所示四種情況中的（假設雨滴沿屋頂下淌時是在光滑的斜坡上由靜止下滑）（

）。

解析：作等時圓O如圖4所示，A點為圓的最低點，將四個斜面畫在一起，它們的底邊是AB，使得∠CAB=15°，∠DAB=30°，∠EAB=45°，∠FAB=60°，四個斜面與圓弧分別交于N、D、M、F四點。由等時圓的特點可知，tAN=tAD=tAM=tAF，所以tAC >tAD=tAF>tAE，即雨滴沿斜面EA運動的時間最短。

答案：C

點評：本題利用“等時圓”的結論大大簡化了解題的過程。

3.借助“等勢圓”求解電學問題。

在由點電荷形成的電場中，以點電荷為圓心的圓周上各點的電勢相等，該圓稱為“等勢圓”。

例3 如圖5所示，傾角θ=30°的直角三角形的底邊長為2L，且處于水平位置，斜邊為光滑絕緣導軌。整個裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，方向垂直于紙面向外。現(xiàn)在底邊中點O處固定一正點電荷Q，將一質量為m的帶正電的點電荷q從斜邊頂端A處由靜止釋放沿斜邊滑下（不脫離斜邊）?，F(xiàn)測得它滑到D點在斜邊上的垂足E處時的速度為v0，求點電荷q滑到斜面底端C處時的速率v。

解析：點電荷q在沿斜邊從E點運動到C點的過程中，受到重力、彈力、靜電力、洛倫茲力的作用，彈力、洛倫茲力不做功，靜電力的大小和方向在不斷變化。由幾何關系得x EO=xCO =x DO，以O為圓心，以OC長為半徑畫一輔助圓，C、D、E三點均在此圓上，如圖6所示。固定于圓心O處的點電荷Q在該圓上各點產(chǎn)生的電勢相同，即φD=φE=φC，因此點電荷q從E點運動到C點的過程中靜電力不做功。點電荷q從E點運動到C點的

點評：本題利用“等勢圓”找出了E、C兩點在同一等勢面上的關系，判斷出靜電力不做功，使問題變得簡單易解。

4.借助“軌跡圓”求解磁學問題。

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌跡是圓，該圓稱為“軌跡圓”。

例4 如圖7所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里。許多質量為m、帶電荷量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔O射人磁場區(qū)域。不計粒子自身重力和粒子間的相互影響。如圖8所示四幅圖像中的陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=mv/qB，則正確的是（

）。

解析：帶電粒子以相同的速率從同一位置垂直于磁場向各個方向射出時，它們的運動軌跡都是半徑R=mn/qB的圓。作出速度沿ON方向的粒子的軌跡圓，如圖9中的實線圓所示。粒子從小孔O射人磁場區(qū)域的速度方向在ON到 OM這180°的范圍內(nèi)，可以等效成粒子速度方向從ON方向逆時針旋轉180°，粒子的運動軌跡等效為圖9中的實線圓繞O點逆時針旋轉180°。

答案：A

點評：當大量的帶電粒子以相同的速率從同一位置垂直于磁場向各個方向射出時，所有粒子的運動軌跡都是半徑相同的圓，通過旋轉“軌跡圓”可以找到這些不同的圓，同時也可以找到粒子可能經(jīng)過的區(qū)域范圍。

“軌道圓”“等時圓”“等勢圓”“軌跡圓”等是求解物理問題時常用的輔助圓，借助輔助圓往往可以使得物理問題的求解變“山窮水盡”為“柳暗花明”。

（責任編輯 張巧）