魯龍坤 莊茁 柳占立

摘要：本文回顧了裂紋尖端張開角（Crack Tip Opening Angle，CTOA）在飛機(jī)金屬薄壁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。主要回答了“為什么CTOA是一個(gè)有效的斷裂參數(shù)”和“CTOA怎樣估算工程結(jié)構(gòu)的斷裂過程”這兩個(gè)問題。韌性斷裂的微觀機(jī)理為空洞的形核、擴(kuò)展及合并過程，斷裂過程區(qū)（Fracture Process Zone，F(xiàn)PZ）包含了上述過程。CTOA實(shí)際上是FPZ的整體表征，因此CTOA是一個(gè)有效的斷裂參數(shù)。此外，CTOA準(zhǔn)則是一個(gè)局部斷裂準(zhǔn)則，它并不關(guān)心FPZ以外區(qū)域的狀態(tài)，這使得它能夠估算金屬薄壁結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展過程。

關(guān)鍵詞：CTOA；斷裂過程區(qū)；薄壁結(jié)構(gòu)；局部斷裂準(zhǔn)則；韌性斷裂

中圖分類號(hào)：V215.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2020.04.004

基金項(xiàng)目：清華大學(xué)“水木學(xué)者”計(jì)劃（2019SM077）

為了保證飛機(jī)服役期間的安全，必須對飛機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行完整性分析，而剩余強(qiáng)度分析是結(jié)構(gòu)完整性分析[1-3]的重要組成部分。此外，機(jī)翼、機(jī)身等飛機(jī)結(jié)構(gòu)通常歸屬于金屬薄壁結(jié)構(gòu)，因此金屬薄壁結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度分析在飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中占據(jù)十分重要的地位。

剩余強(qiáng)度分析的本質(zhì)就是裂紋擴(kuò)展過程的分析。金屬薄壁結(jié)構(gòu)通常由低強(qiáng)度、高韌性材料組成，并且結(jié)構(gòu)整體處于平面應(yīng)力狀態(tài)（厚度較?。?。因此，這類結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展過程具有以下特點(diǎn)[4]：（1）裂紋尖端的塑性區(qū)比較大，小范圍屈服條件不再滿足；（2）裂紋在結(jié)構(gòu)失效之前發(fā)生了較大范圍的擴(kuò)展。由于塑性區(qū)比較大，基于線彈性斷裂力學(xué)的評(píng)估方法不再適用，必須采用彈塑性斷裂參數(shù)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行評(píng)估。

常用的彈塑性斷裂參數(shù)主要有J積分與裂紋尖端張開位移（Crack Tip Opening Displacement，CTOD）兩種[5-6]。其中，J積分的推導(dǎo)前提為彈塑性材料的本構(gòu)關(guān)系由非線性彈性材料的本構(gòu)關(guān)系代替，如圖1所示，上述前提要求載荷不發(fā)生卸載。當(dāng)裂紋在金屬材料中擴(kuò)展時(shí)，裂紋尖端的載荷必然會(huì)發(fā)生卸載，卸載區(qū)的范圍與裂紋擴(kuò)展量正相關(guān)。換句話說，當(dāng)裂紋具有較大范圍的擴(kuò)展時(shí)，J積分不再適用。因此，CTOD及其演化而來的裂紋尖端張開角（Crack Tip Opening Angle，CTOA）成為估算大范圍屈服結(jié)構(gòu)長距離裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展的首選斷裂參數(shù)[4]。

CTOD/CTOA是衡量裂紋尖端變形的參數(shù)，該參數(shù)與裂紋尖端區(qū)域以外結(jié)構(gòu)的變形關(guān)系不大。此外，彈塑性裂紋的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展過程實(shí)際上就是裂紋面的形成過程，CTOA的局部特性與斷裂的局部本質(zhì)不謀而合。上述性質(zhì)使得CTOD/CTOA（尤其是CTOA）準(zhǔn)則在過去40年間取得了成功，它成功估算出了單裂紋試樣[7]、多裂紋試樣[8]、單裂紋加筋試樣[9]、多裂紋加筋試樣[10]，以及機(jī)翼/機(jī)身/全機(jī)等結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度[11]。

CTOA及其應(yīng)用也具有限制條件，并且CTOA參數(shù)的內(nèi)在機(jī)理亟待進(jìn)一步研究。本文將對CTOA的特點(diǎn)及其需要面對的問題進(jìn)行總結(jié)，并側(cè)重于闡述CTOA在金屬薄壁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。

1裂紋尖端張開角

1.1斷裂參數(shù)

斷裂的實(shí)質(zhì)是材料發(fā)生分離，這一結(jié)果使得材料的連續(xù)性假設(shè)不再有效，因此連續(xù)介質(zhì)力學(xué)本身不足以描述斷裂現(xiàn)象，需要額外引入描述斷裂現(xiàn)象的參數(shù)，這些參數(shù)就是斷裂參數(shù)。

有效的斷裂參數(shù)必須在一定的條件下具有通用性，即從一種幾何構(gòu)型獲得的斷裂參數(shù)臨界值可以應(yīng)用到另一種幾何構(gòu)型。基于上述思路，斷裂參數(shù)必然經(jīng)歷兩個(gè)階段：產(chǎn)生階段與應(yīng)用階段。圖2給出了上述兩個(gè)階段。

顧名思義，生成階段是指斷裂參數(shù)的提出階段。這一階段包含如下步驟：（1）提出缺陷的理想模型；（2）尋找描述缺陷局部狀態(tài)的物理量，這些物理量就是潛在的斷裂參數(shù)。這些斷裂參數(shù)的有效性將通過應(yīng)用階段驗(yàn)證。由于斷裂參數(shù)的臨界值在一定程度上反映了缺陷的臨界狀態(tài)，應(yīng)用階段的核心思路為由一種構(gòu)型獲得的臨界斷裂參數(shù)估算另一構(gòu)型的裂紋擴(kuò)展行為。

1.2 CTOA的定義

CTOA是指裂紋面的夾角[12]，它有工程與數(shù)學(xué)兩個(gè)常用的定義。由于CTOA的工程定義便于應(yīng)用數(shù)學(xué)定義從而便于理論分析，因此有必要對CTOA的兩個(gè)定義都進(jìn)行介紹。CTOA的工程定義為裂紋尖端后特定距離d處的裂紋面張開位移與距離d的比值：

當(dāng)裂紋擴(kuò)展時(shí)，裂紋尖端處于臨界狀態(tài)，此時(shí)的CTOA即為臨界CTOA（ψcr）。由于真實(shí)的裂紋面不是平面，d值的不同可能會(huì)導(dǎo)致不同的臨界CTOA。針對上述問題，美國國家航空航天局（NASA）分別采用0.5mm、1.0mm、1.5mm的測量位置（d值）測量了鋁合金2024-T351的臨界CTOA（材料厚度分別為1.0mm、1.6mm、2.3mm）[13]，德國GKSS分別采用0.25mm、0.5mm、0.75mm、1.0mm、1.5mm的測量位置（d值）測得了鋁合金5083 H321的臨界CTOA（厚度為3.0mm）[14]。他們得出了相同的結(jié)論：（1） d值越小，臨界CTOA數(shù)據(jù)點(diǎn)越發(fā)散；（2）數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值與d值無關(guān)。

由于真實(shí)裂紋面的曲折性[6]，結(jié)論（1）并不難理解，而結(jié)論（2）的唯一解釋便是：裂紋尖端附近的裂紋面可以等效為一個(gè)三角形，如圖4所示。

上述解釋得到了GKSS的證實(shí)[14]，他們的試驗(yàn)表明：當(dāng)裂紋擴(kuò)展量Δa不太大時(shí)，臨界CTOA等于δ5-Δa曲線的斜率。因此：

1.4 CTOA與裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力

最近，魯龍坤等[28]從理論上證明了“為什么CTOA是一個(gè)有效的斷裂參數(shù)”，其論證過程如下：

首先，裂紋擴(kuò)展問題的本質(zhì)是裂紋面的形成問題，有效的斷裂參數(shù)必須能夠表征這一過程。對于單位厚度試樣，假設(shè)形成裂紋面所消耗的功率為Pcrack，這個(gè)功率可以看作一個(gè)力FT乘以一個(gè)速度。如果將這個(gè)速度取為裂紋尖端擴(kuò)展速度a？，就好像在裂紋尖端施加了一個(gè)力一樣，這個(gè)力推動(dòng)著裂紋尖端向前移動(dòng)，這個(gè)力就是裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力。有效的斷裂參數(shù)必然與FT相關(guān)：

βFPZ是一個(gè)只取決于FPZ內(nèi)材料微觀破壞機(jī)理的參數(shù)。因此，CTOA等價(jià)于裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力，CTOA是一個(gè)有效的斷裂參數(shù)。

2臨界CTOA在薄壁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

金屬薄壁結(jié)構(gòu)的面內(nèi)幾何通常大于4倍厚度，因此臨界CTOA非常適用模擬金屬薄壁結(jié)構(gòu)中裂紋的擴(kuò)展行為。本節(jié)總結(jié)了CTOA準(zhǔn)則預(yù)測薄壁結(jié)構(gòu)斷裂過程的基本流程。

2.1基本思路

CTOA準(zhǔn)則應(yīng)用的基本思路為“裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力等于裂紋擴(kuò)展阻力”。擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力指CTOA與幾何構(gòu)型的關(guān)系，擴(kuò)展阻力就是臨界CTOA，如1.4節(jié)所述，臨界CTOA取決于FPZ內(nèi)材料的微觀破壞機(jī)理，當(dāng)幾何構(gòu)型對FPZ沒有影響時(shí)，臨界CTOA只取決于材料及厚度。

CTOA估算斷裂過程的步驟[12]如下：

（1）進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)，精確獲得材料的應(yīng)力—應(yīng)變曲線。

（2）按照ASTM E2472或者ASTM E3039進(jìn)行相應(yīng)的斷裂試驗(yàn)，測量材料的臨界CTOA值以及記錄試樣的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展過程數(shù)據(jù)點(diǎn)；這一步驟需要注意以下幾點(diǎn)：試驗(yàn)測量的臨界CTOA值往往具有±0.5o～±1.5o的波動(dòng)；試驗(yàn)件與真實(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有相同的材料、厚度；試驗(yàn)件在達(dá)至剩余強(qiáng)度前具有顯著的穩(wěn)態(tài)裂紋擴(kuò)展（即試樣足夠大）。

（3）進(jìn)行2D/3D建模，采用節(jié)點(diǎn)釋放法、臨界CTOA值模擬試驗(yàn)件的裂紋擴(kuò)展過程；由于模型與真實(shí)試驗(yàn)件的差異，臨界CTOA試驗(yàn)值可能不足以重現(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果，這時(shí)需要對臨界CTOA進(jìn)行上下微調(diào)使得模擬結(jié)果盡可能吻合試驗(yàn)結(jié)果；這一步驟需要注意以下幾點(diǎn)：裂紋尖端附近的區(qū)域是三軸應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)采用2D模型時(shí)，采用平面應(yīng)變核模型（見圖12）；為了避免額外的誤差，模型與試驗(yàn)的d要相同；為了增強(qiáng)模型的自信心，可以先大概估算一下材料臨界CTOA值的范圍，然后在試驗(yàn)前對試驗(yàn)件進(jìn)行盲估。

（4）對真實(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元建模，運(yùn)用步驟（3）校正的臨界CTOA對結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析；這一步需要注意的是：試驗(yàn)件與真實(shí)結(jié)構(gòu)的有限元模型在裂紋尖端應(yīng)該具有相同的單元尺寸；試驗(yàn)件與真實(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)該采用相同的建模方法（3D、2D或者平面應(yīng)變核模型）。

上述步驟的實(shí)質(zhì)是通過有限元計(jì)算裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力ψ，并根據(jù)ψ=ψcr判斷裂紋是否擴(kuò)展。通過將擴(kuò)展裂紋張開輪廓等效為靜態(tài)裂紋張開輪廓減去塑性尾跡區(qū)輪廓（見圖13），魯龍坤等[29]理論計(jì)算出了裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力ψ，他們的步驟為：

（1）假設(shè)塑性尾跡區(qū)的高度是一種裂紋擴(kuò)展阻力曲線，該曲線只取決于應(yīng)力狀態(tài)與材料屬性；其中，塑性尾跡區(qū)的高度等于真實(shí)裂紋尖端在臨界狀態(tài)下的CTOD（考慮了塑性區(qū)）。

（2）根據(jù)ASTM E2472對M（T）或C（T）進(jìn)行斷裂試驗(yàn)，進(jìn)而獲得塑性尾跡區(qū)的高度。

（3）應(yīng)用線彈性理論或者非線性彈性理論獲得結(jié)構(gòu)靜態(tài)裂紋的張開輪廓，該輪廓值減去塑性尾跡區(qū)的高度即為驅(qū)動(dòng)力ψ。

有限元方法的優(yōu)點(diǎn)為：（1）適用于加筋板等復(fù)雜的薄壁結(jié)構(gòu)；（2）可以考慮裂紋擴(kuò)展的3D狀態(tài)；（3）可以同時(shí)分析多條裂紋的擴(kuò)展。有限元方法的缺點(diǎn)為：（1）建模過程、模型計(jì)算耗時(shí)耗力；（2）試驗(yàn)獲得臨界CTOA有較大的波動(dòng)，臨界CTOA值的調(diào)試需要操作人員具有豐富經(jīng)驗(yàn)；（3）模擬過程是唯象的，不利于理解現(xiàn)象本質(zhì)。

解析方法的優(yōu)點(diǎn)為：（1）操作簡單，只要將結(jié)果代入公式即可；（2）有利于CTOA準(zhǔn)則指導(dǎo)手冊的編寫；（3）有利于理解現(xiàn)象的本質(zhì)。解析方法的缺點(diǎn)為：（1）采用了還不成熟的假設(shè)，即“塑性尾跡區(qū)的高度是一種裂紋擴(kuò)展阻力曲線”；（2）不適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)；（3）不適用于多條裂紋的同時(shí)擴(kuò)展。

2.2鉚接加筋板

鉚接加筋板是常見的飛機(jī)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)壁板上的裂紋不會(huì)擴(kuò)展至筋條之上，筋條可以看作是一種幾何約束，因此筋條僅影響裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力，2.1節(jié)的方法直接適用。

NASA與美國聯(lián)邦航空局（FAA）對含有多部位損傷（Multiple Site Damage，MSD）的鉚接加筋板進(jìn)行了斷裂試驗(yàn)[11]，并應(yīng)用CTOA準(zhǔn)則對加筋板進(jìn)行了預(yù)測。壁板與筋條的幾何構(gòu)型如圖14所示，其中壁板由2024-T3組成（厚度為1.6mm），筋條由7075-T6組成（厚度為2.2mm），壁板前后均具有筋條，中央筋條由主裂紋切斷，且主裂紋前分布有MSD。

NASA的估算過程如下：（1）測量2024-T3、7075-T6的應(yīng)力—應(yīng)變曲線，并測量了厚度為1.6mm的2024-T3的臨界CTOA，試驗(yàn)件為M（T）試樣（增加了防屈曲裝置），d為1mm，測量值為5.15o±1.0o。（2）應(yīng)用2D殼單元模型模擬了試驗(yàn)件的斷裂過程。經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，發(fā)現(xiàn)平面應(yīng)變核模型的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合很好，其中平面應(yīng)變核高度為2mm、臨界CTOA為5.4o。（3）運(yùn)用第二步的平面應(yīng)變核模型模擬了鉚接板的裂紋擴(kuò)展過程，如圖15所示。

2.3整體加筋板

整體加筋板的裂紋擴(kuò)展具有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）壁板裂紋經(jīng)過筋條時(shí)會(huì)分叉為兩條裂紋，一條沿著壁板繼續(xù)傳播，另一條沿著裂紋擴(kuò)展（見圖16）。裂紋分叉的過程十分復(fù)雜，需要采用3D有限元進(jìn)行模擬，模擬過程如圖17所示。（2）壁板的厚度會(huì)發(fā)生變化，并且壁板與筋條的厚度也可能不同。結(jié)構(gòu)具有幾個(gè)厚度就需要幾個(gè)對應(yīng)的臨界CTOA值，如圖18所示。

除了上述兩個(gè)特點(diǎn)，整體加筋板的模擬過程與鉚接加筋板相同。NASA對圖19所示剖面的整體加筋板進(jìn)行了斷裂試驗(yàn)[30]，加筋板的材料為2219-T81；然后NASA應(yīng)用2.2節(jié)的方法對其裂紋擴(kuò)展過程進(jìn)行了模擬。

模擬結(jié)果如圖20所示，當(dāng)裂紋穿過筋條時(shí)，真實(shí)的結(jié)構(gòu)已經(jīng)失效，但是有限元模型仍然可以模擬裂紋的繼續(xù)擴(kuò)展，這是因?yàn)榕R界CTOA僅是一個(gè)局部參數(shù)，它并不關(guān)心裂紋尖端以外的區(qū)域，因此臨界CTOA并不能判斷結(jié)構(gòu)的失效點(diǎn)。

3結(jié)束語

裂紋擴(kuò)展實(shí)質(zhì)上是一個(gè)局部行為，它的結(jié)果就是裂紋面的形成。換個(gè)角度來講，裂紋擴(kuò)展過程就是“裂紋尖端處的擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力”等于“裂紋尖端處的擴(kuò)展阻力”的結(jié)果，以此為思想，CTOA準(zhǔn)則能夠預(yù)測復(fù)雜結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展過程。

假設(shè)一個(gè)含裂紋彈塑性體，裂紋在外載荷的作用下發(fā)生擴(kuò)展。這一過程可以表述為：外力施加功，外力功流入裂紋尖端的部分就是裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力；當(dāng)流入裂紋尖端的外力功足以形成新的裂紋面時(shí)，裂紋就會(huì)擴(kuò)展，形成新的裂紋面所需的能量就是裂紋擴(kuò)展阻力；外力功與流入裂紋尖端部分的差值取決于材料屬性、幾何構(gòu)型，這一部分直接決定著結(jié)構(gòu)的承載能力。

因此，斷裂過程的研究有兩個(gè)方向：（1）材料的本構(gòu)關(guān)系研究；這一部分主要包括材料的破壞機(jī)理、材料塑性變形等耗能機(jī)制。（2）幾何構(gòu)型對裂紋擴(kuò)展驅(qū)動(dòng)力的影響；邊界條件對裂紋尖端狀態(tài)的影響、多裂紋的相互影響、筋條及屈曲對結(jié)構(gòu)承載能力的影響等均屬于這一部分。

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（責(zé)任編輯王為）

作者簡介

魯龍坤（1992-）男，博士，助理研究員。主要研究方向：固體力學(xué)、斷裂力學(xué)、材料力學(xué)。

Tel：010-62773780

E-mail： lulongkun@mail.tsinghua.edu.cn

莊茁（1952-）男，博士，教授。主要研究方向：固體力學(xué)、飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)、斷裂力學(xué)和非線性有限元的研究。

柳占立（1981-）男，博士，副教授。主要研究方向：計(jì)算固體力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、斷裂力學(xué)。

CTOA Applications in Metallic Thin-walled Structures of Airplane

Lu Longkun*，Zhuang Zhuo，Liu Zhanli

School of Aerospace Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China

Abstract： The application of Crack Tip Opening Angle （CTOA） in metal thin-walled structures is reviewed in this paper. It answers "Why CTOA is a valid parameter" and "How to estimate fracture processes of engineering structures by CTOA". The micro mechanism of ductile fracture is the nucleation， growth and coalescence of void damage， which are included into the Fracture Process Zone （FPZ）. CTOA is in fact a representative of the FPZ， and thus CTOA is a valid fracture parameter. In addition， since CTOA criterion is a local fracture criterion， the CTOA parameter doesnt care whats going on outside of FPZ. That is why this parameter can estimate the crack growth process in metallic thinwalled structures.

Key Words： CTOA； fracture process zone； thin-walled structures； local fracture criterion； ductile fracture