孫 琦，董 奇，楊 沙，張劉成

（中國工程物理研究院化工材料研究所，四川 綿陽 621999）

1 引言

爆炸容器作為一類特殊密封壓力容器，可限制一定量爆炸物的爆炸效應，對容器內部的爆炸過程進行有效約束。在研究有限空間內爆炸準靜態(tài)壓力對結構響應的影響時［1-7］，常常會使用爆炸容器、爆炸塔等設備進行爆炸試驗和威力評估。爆炸容器按照設計準則可分為單次使用與多次使用兩種類型。其中，單次使用型爆炸容器允許材料發(fā)生一定的塑性變形，但不能發(fā)生破壞；多次使用型爆炸容器的防護當量須把容器材料限制于彈性極限內，不能產生塑性變形。

Baker［8］針對薄球殼在內部三角脈沖沖擊載荷作用下的動態(tài)沖擊響應過程，提出了單自由度運動方程，獲得了薄球殼受沖擊載荷后的位移響應的彈性和雙線性彈塑性解析解，但未考慮準靜態(tài)壓力的影響。Jones［9］同樣利用單自由度模型對薄球殼的彈塑性動態(tài)響應過程進行了推導，獲得了單一矩形脈沖作用下薄球殼的彈性-理想塑性、理想剛塑性響應解析解，但僅考慮彈塑性屈服發(fā)生于脈沖結束后的情況，未考慮屈服發(fā)生在脈沖作用階段的情況。結合前人工作［8-9］與前期準靜態(tài)壓力對球殼彈性響應的影響研究［7］，本研究提出考慮準靜態(tài)壓力的薄球殼雙線性彈塑性動態(tài)響應的解析解，對前人工作進行了一定的補充和完善，并利用該方法研究了內爆炸準靜態(tài)壓力對球形容器彈塑性動態(tài)響應的影響。

2 力學模型分析

2.1 研究模型

基于之前對球殼在內爆炸載荷作用下彈性響應過程的研究［7］，建立考慮準靜態(tài)壓力的簡化載荷的表達如式（1）。

式中，pm1為首個脈沖壓力峰值，t1為首個脈沖作用時間，pm2為準靜態(tài)壓力。當不考慮準靜態(tài)壓力時，令pm2=0 即可。

在承受來自容器中心的爆炸沖擊載荷時，球形容器外壁各處應力應變狀態(tài)相似，球殼的動態(tài)響應過程簡化為在徑向位移上的單一自由度受迫振動問題［8］。此情況下，由于沖擊載荷沿徑向分布作用于球殼內表面，因此可利用單自由度運動模型對動態(tài)響應過程進行分析，得出位移隨時間變化的解析解。本研究與前期球殼彈性響應研究中使用相同尺寸的球殼模型［7］，r為球殼中線半徑，41 mm；h為殼體厚度，2 mm。并選用如圖1 所示的等向強化的雙線性彈塑性材料，其材料屬性如下：E為彈性模量，200 GPa；Et為切線模量，10 GPa；σs為屈服強度，200 MPa；v為泊松比，0.3；ρ為密度，7830 kg·m-3；圖1 中σ和ε表示應力和應變，σs和εs為屈服應力和應變，σmax為球殼徑向位移達到最大值時的應力。

圖1 等向強化的雙線性彈塑性模型Fig.1 Biolinear elastic-plastic model with isotropic hardening

2.2 響應過程分析

前期研究中，已得到彈性狀態(tài)下球殼受考慮準靜態(tài)壓力沖擊載荷作用時的動態(tài)響應的解如式（2）［7］。

式中，ω為振動頻率，振動周期T=2π/ω。

在進入塑性階段后，球殼表面仍有σθ=σφ=σ，應力可表示為：

故球殼受內部沖擊載荷時，進入塑性階段后單自由度運動方程應表示為［8］：

設屈服發(fā)生時刻為ts，則有如下兩種分析情況。

（1）屈服發(fā)生于首個脈沖階段，即0＜ts＜t1

a.在彈性段，式（2）仍然適用，直至應力σ達到屈服應力σs，此時0＜t≤ts。

b.當ts＜t≤t1時，設t′=t-ts，將初值條件式（5）代入塑性階段SDoF 方程式（4）可解得該階段位移響應的解如式（6）。

c.當t＞t1時，設t″=t-t1，式（4）可簡化為式（7）

代入初值條件式（8）可得該階段位移響應的解如式（9）。

（2）屈服發(fā)生于準靜態(tài)壓力作用期間，即ts≥t1

a.當0＜t≤t1時處于彈性段，位移響應的解適用式（2）；

b.當t1＜t≤ts時處于彈性段，式（2）仍然適用，直至應力σ達到屈服應力σs；

c.當t＞ts時，設t?=t-ts，塑性階段SDoF 方程式（4）同樣可以簡化為式（7），將初值條件式（10）代入可解得該階段位移響應的解如式（11）

需要注意的是，兩種情況中當位移響應達到最大值后回彈的過程，成為彈性等幅振動過程。設首個位移響應最大值出現(xiàn)時刻為tmax，位移最大值為urmax，則后續(xù)彈性等幅振動的運動方程滿足彈性情況下的SDoF 運動方程［8］，其初值條件為t=tmax，ur(tmax)=

3 數(shù)值模擬校驗

本研究中使用LS-DYNA［10］對球殼內部沖擊載荷下的彈塑性動態(tài)響應過程進行數(shù)值模擬，并與解析解結果進行對比。本研究中使用的有限元模型與彈性響應研究中的1/8 球殼模型［7］相同，但材料屬性設置為MAT_PLASTIC_KINEMATIC，并在K 文件中設置BETA=1 表示等向強化，材料參數(shù)如2.1 所示。沖擊載荷按照簡化載荷曲線式（1）進行定義，計算時長150 μs，計算步長0.1 μs。

假定三種不同沖擊載荷Load 1～Load 3 見表1，其中Load 1 情況下最大位移出現(xiàn)于準靜態(tài)壓力階段，Load 2、Load 3 情況最大位移出現(xiàn)于首個脈沖階段，代入解析解公式進行計算。將計算得到的動態(tài)響應過程特征值，如最大位移出現(xiàn)時刻、最大位移值和振幅，與LS-DYNA 數(shù)值模擬結果進行對比驗證。載荷Load 1～Load 3 的對比結果如圖2 和表2 所示。圖2中ur為徑向位移，mm；表2 中tmax為達到徑向最大位移時刻，μs；urmax為徑向最大位移值，mm；amplitude 為后續(xù)階段振幅，mm；εr為理論解與數(shù)值模擬結果的相對誤差?？梢园l(fā)現(xiàn)解析解公式與LS-DYNA 數(shù)值模擬結果符合情況較好，公式的準確性得到了數(shù)值模擬的驗證。

表1 沖擊載荷算例Table 1 Examples of impulsive loading

圖2 位移響應解析解與LS-DYNA 數(shù)值模擬結果對比Fig.2 Comparison between analytical solution and LS-DYNA simulation

4 準靜態(tài)壓力的影響

參照前期研究［7，11］，利用解析解分析準靜態(tài)壓力對球殼彈塑性動態(tài)響應過程的影響。在圖3～圖7 中，urmax指整個響應階段位移最大值，amplitude 指塑性卸載后彈性振動的振幅值，urmin為后續(xù)彈性振動中位移最小值。表3、表4 為各算例中屈服時刻ts，首個最大位移出現(xiàn)時刻tmax，最大位移值urmax，后續(xù)彈性振動階段振幅值amplitude 的計算結果。

表2 解析解結果與LS-DYNA 數(shù)值模擬結果對比Table 2 Comparison between analytical solution and LS-DYNA simulation

4.1 屈服發(fā)生于三角脈沖階段

在保證首個脈沖沖量不變的情況下，針對屈服時刻發(fā)生于首個脈沖作用期間的情況，進行了圖3～圖5中pm1=400 MPa，t1=5 μs、pm1=200 MPa，t1=10 μs 和pm1=100 MPa，t1=20 μs 三種情況在不同準靜態(tài)壓力pm2水平下的分析。圖3a、圖4a 和圖5a 表示不同載荷情況在pm2=0、30、60 MPa 三種準靜態(tài)壓力下計算得到的位移響應曲線，圖3b、圖4b 和圖5b 則是將pm2作為變量，得到ur=ur（pm2）形式下徑向位移響應最大值、塑性卸載后彈性振動位移最小值和振幅值關于pm2變化的曲線。

算例結果（圖3～圖5 和表3）顯示，在不同準靜態(tài)壓力幅值下，屈服時刻不受準靜態(tài)壓力影響，最大位移出現(xiàn)在準靜態(tài)壓力段，隨著準靜態(tài)壓力的增大，最大位移出現(xiàn)時刻變大；最大位移幅值受到準靜態(tài)壓力的影響，隨著準靜態(tài)壓力幅值的增大而增大；后續(xù)彈性振動階段位移最小值受準靜態(tài)壓力影響也較為顯著，隨準靜態(tài)壓力幅值的增大而增大。

圖3 位移響應曲線及不同準靜壓的關鍵計算參數(shù)（pm1=400 MPa，t1=5 μs）Fig.3 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=400 MPa，t1=5 μs）

圖4 位移響應曲線及不同準靜壓的關鍵計算參數(shù)（pm1=200 MPa，t1=10 μs）Fig.4 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=200 MPa，t1=10 μs）

表3 屈服發(fā)生于三角脈沖階段動態(tài)響應的參數(shù)計算值Table 3 Dynamic response parameters of yielding occurring in triangle impulse

4.2 屈服發(fā)生于準靜態(tài)壓力階段

在首個脈沖沖量作用時間t1較小的情況下，屈服時刻發(fā)生于準靜態(tài)壓力作用期間，進行了如圖6、圖7中pm1=800 MPa，t1=2.5 μs 和pm1=400 MPa，t1=2.5 μs兩種情況在不同準靜態(tài)壓力pm2水平下的分析。圖6a、7a 表示不同載荷情況在pm2=0、30、60 MPa 三種準靜態(tài)壓力下位移響應曲線，圖6b、7b 為徑向位移響應最大值、塑性卸載后彈性振動位移最小值和振幅值關于pm2變化的曲線。

圖5 位移響應曲線及不同準靜壓的關鍵計算參數(shù)（pm1=100 MPa，t1=20 μs）Fig.5 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=100 MPa，t1=20 μs）

表4 屈服發(fā)生于準靜態(tài)壓力階段動態(tài)響應的參數(shù)計算值Table 4 Dynamic response parameters of yielding occurring in quasi-static pressure phase

算例結果（圖6～圖7 和表4）顯示，由于屈服發(fā)生于準靜態(tài)壓力階段，屈服時刻會受到準靜態(tài)壓力幅值影響，隨準靜態(tài)壓力的增大而減??；除此之外的結果與屈服發(fā)生于三角脈沖階段情況類似，最大位移出現(xiàn)在準靜態(tài)壓力作用期間，其出現(xiàn)時刻隨著準靜態(tài)壓力的增大而變大，最大位移幅值隨準靜態(tài)壓力幅值的增大而增大；后續(xù)彈性振動階段位移最小值受準靜態(tài)壓力影響較為顯著，隨準靜態(tài)壓力幅值的增大而增大。

與前期獲得的彈性響應結果［7］相比較，彈性響應和彈塑性響應結果的不同之處主要表現(xiàn)為彈塑性響應分析中，準靜態(tài)壓力幅值對最大位移的影響更為顯著；采用與前期研究［7］中類似的能量分析方法可以發(fā)現(xiàn)，彈性響應和彈塑性響應中，在后續(xù)階段即使準靜態(tài)壓力作用時間很長、輸入沖量很大，但后續(xù)振動階段的最大變形幅度不受準靜態(tài)壓力影響。

圖6 位移響應曲線及不同準靜壓的關鍵計算參數(shù)（pm1=800 MPa，t1=2.5 μs）Fig.6 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=800 MPa，t1=2.5 μs）

圖7 位移響應曲線及不同準靜壓的關鍵計算參數(shù)（pm1=400 MPa，t1=2.5 μs）Fig.7 Dynamic response and key calculated parameters at different quasi-static pressure（pm1=400 MPa，t1=2.5 μs）

5 結論

本研究獲得了考慮準靜態(tài)壓力的內爆炸載荷作用下等向強化雙線性彈塑性球形容器動態(tài)響應過程的分析模型和解析解，并得到了數(shù)值模擬結果的驗證。通過對結構響應過程進行分析，獲得了準靜態(tài)壓力對球形容器彈塑性動態(tài)響應的影響。研究結果表明：

（1）若屈服發(fā)生于準靜態(tài)壓力階段，屈服時刻會受準靜態(tài)壓力幅值影響，隨準靜態(tài)壓力的增大而減小。無論屈服發(fā)生于哪個階段，在不同準靜態(tài)壓力幅值下，最大位移出現(xiàn)時刻均有明顯差異，最大位移值隨著準靜態(tài)壓力幅值的增大而顯著增大。

（2）彈性響應［7］和彈塑性響應中，后續(xù)階段即使準靜態(tài)壓力作用時間很長、輸入沖量很大，但后續(xù)振動階段的最大變形幅度并不受影響，即準靜態(tài)壓力幅值大小對響應過程起主要作用，而非準靜態(tài)壓力的總沖量或作用時長。彈塑性響應過程中準靜態(tài)壓力幅值對最大位移的影響更為顯著。在炸藥的威力評估工作中，針對準靜態(tài)壓力效應采取結構彈塑性響應分析更有實用價值和指導意義。