楊培凱，陳美霞*，陳樂佳

1 華中科技大學 船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

2 中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

0 引 言

耦合雙層板結構常見于船體結構中，例如船底板、艙壁等，其彎曲振動和面內振動及輻射噪聲與艦船的安全性和適用性密切相關。因此，研究雙層板結構振動功率流有助于艦船減振降噪設計。

目前，國內外基于波動法的耦合結構振動功率流相關研究多為L 型板，而對雙層板結構的功率流分析卻不多見。 例如：Kessissoglou［1］運用波動法研究了L 型板的振動與功率流特性，結果表明，面內波在低頻段對功率流的影響不大，但在高頻段作用顯著；Cuschieri 等［2-4］分析了薄板和厚板情況下的L 型板功率流，發(fā)現(xiàn)薄板的面內波在彎曲波波數(shù)與板厚的乘積小于0.1 時的作用可以忽略不計，大于1 時影響較大；Zhang 等［5］討論了雙層耦合板和“口”字型耦合板的振動特性，發(fā)現(xiàn)面內平均振幅遠低于彎曲振動，僅在共振峰處的面內波幅值與彎曲波幅值接近；朱瑞儀［6］基于波動理論將板結構簡化為梁的方法，分析了多轉角結構和雙層板結構的功率流及其振動衰減特性；趙芝梅等［7］基于波導方法討論了激勵特性對L 型板振動功率流的影響，重點分析了激勵力角度和力矩混合等激勵特性對面內波的影響；漆瓊芳等［8-9］采用波動法研究了有限尺寸耦合板的振動功率流與板的激勵力角度及連接角度的關系，結果表明，較低頻率時的彎曲波功率流遠大于面內波功率，而高頻時二者相當；姚熊亮等［10］基于波動理論分析了典型船舶中振動波的傳遞特性，結果表明突變截面使阻抗失配，由此加劇了振動波的轉換，使隔振效果得到改善；趙建學等［11］采用平均法導出了系統(tǒng)功率流傳遞率，發(fā)現(xiàn)雙層隔振系統(tǒng)有比等效線性隔振系統(tǒng)更好的低頻隔振性能。

鑒于目前使用波動法分析耦合板功率流的研究成果較多，而對于雙層板結構的相關研究則較為少見，本文將基于薄板理論采用波動法建立有限尺寸雙層板的振動模型，在結構耦合處斷開，離散后將每塊板的運動方程組裝，求解得到振動響應。在此基礎上，計算彎曲振動功率流和面內振動功率流，并分析激勵力角度、連接件角度和厚度對振動功率流的影響，以為雙層板結構的設計提供一定的理論指導。

1 理論推導

1.1 雙層板運動方程

本文研究的耦合雙層板結構由上、下2 層矩形薄板和中間連接板組成，并將雙層板模型在激勵力處及結構連接處斷開后離散為6 個區(qū)域，記為板1～板6，圖1 示出了6 個板各自的局部坐標方向和內力方向。圖中：ui，vi，wi分別對應第i塊板在xi，yi，zi方向的振動位移；θi=?wi/?xi，為轉角；Vxxi，Mxxi，Nxxi和Nxyi分別為第i塊板橫截面上等效的法向純剪力、彎矩、面內縱向力和面內剪切力，內力表達式見文獻［1］；簡諧激勵力F(x0，y0)與x軸夾角記為α（以下稱激勵角），板2與板4 的夾角記為β（以下稱連接角）；板寬為Ly，板1～板6 在y=0 和y=Ly處均為簡支邊界，板1 和板5 的左端及板3 和板6 的右端均為自由邊界。

由Poisson-Kirchhoff 薄板假設［1］，不考慮剪切變形情況下薄板的振動微分方程為

式中：D=Eh3[12(1-μ2)]，為板的彎曲剛度，其中E，h，μ分別為楊氏模量、薄板的板厚、泊松比；4=?4/?x4+2?4/?x2?y2+?4/?y4，為 算 子；ρ為 薄板的密度；cl，ct分別為縱波和剪切波波速；Fx，F(xiàn)y和Fz分別為激勵力在對應方向上的分量；t 為時間。

圖1 雙層板位移和內力示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-layer plate displacement and internal force

如圖1 所示，離散后的雙層板的6 個區(qū)域記為板1～板6，Lxi為各板沿局部坐標x軸方向的板長，i=1，2，3，4，5，6。由于板在y=0 和y=Ly處均為簡支邊界，故6 個區(qū)域內的振動位移響應（省略時間項）如式（2）所示。

式中：設Wi，m(xi)=Aiekxi，為第i 塊板上面外方向的位移通解形式，其中，下標m 為模階數(shù)，Ai為位移函數(shù)中的待定系數(shù)，回代到振動式（1）中可得模態(tài)波數(shù)k的4 個根；ky為板結構沿y方向的模態(tài)波數(shù)，ky=mπ/Ly，從而得到Wi，m(xi)的表達式。采用同樣的方法，可得2 個面內方向的位移Ui，m(xi)和Vi，m(xi)的表達式，如式（3）所示。

1.2 邊界條件和連續(xù)性條件

由1.1 節(jié)的推導可知，雙層板離散后，板1～板6 共含48 個位移系數(shù)待求解。本文取雙層板中的板1～板4 作為邊界條件及連續(xù)性條件進行分析。

在x1=0 和x3=Lx1+Lx2+Lx3處為自由邊界時，截面上的剪力、彎矩、面內縱向力和面內剪切力均為0，由向量表示如下：

在截面x1=x2=x0的位移和內力連續(xù)條件為：

板2，板3 與 板4 連 接 處x2=x3=Lx1+Lx2，x4=0 位移和內力連續(xù)條件為：

雙層板板1，板2，板3 及板4 通過邊界條件和連續(xù)條件可以得到式（4）～式（9）共28 個方程，板4，板5 和板6 采用同樣方法也可列出其他剩余的20 個方程，這里不再贅述。

1.3 簡諧激勵力

如圖2 所示，在板1，板2 連接線上的點(x0，y0)處，狄拉克函數(shù)δ表示的作用集中力F=F0δ(x-x0)δ(y-y0)（其中F0為振動幅值）時，可將其沿x，y，z 方向分解。本文重點討論振動波沿x 方向的傳遞，即激勵力垂直于y 軸，則α為激勵力與x 軸的夾角，此時各方向的激勵力分量為

此時，需對1.2 節(jié)的內力連續(xù)方程式（7）中的剪力和面內縱向力這2 項進行修正，則有

由修正后的激勵力作用截面處的連續(xù)方程，結合1.2 節(jié)中板1～板6 的邊界條件和連續(xù)條件，對所有板的運動方程進行組裝，得到雙層板的運動方程為

式中：A為48×48 的系數(shù)矩陣；向量X由各板位移函數(shù)中的48 個待定系數(shù)組成；F為作用力向量，并且僅有2 項不為0，即修正后的式（13）等號右側2 項，再由X=A-1F可求解得到6 塊板的48個未知系數(shù)，最后代入式（2）和式（3），可得各個板在簡諧激勵力作用下的振動響應。

圖2 平板上的簡諧激勵力Fig.2 Simple harmonic excitation on the plate

1.4 振動功率流

1.3 節(jié)得到振動位移響應后，可由式（15）求得彎曲波功率流和面內波功率流。

式中：Pb為彎曲波功率流；Pin為面內波功率流；Re 為取實部。

彎曲波功率流和面內波功率流二者相加為總功率流，記第i塊板在ω1～ω2頻帶內結構的振動功率流平均值Pi為

式中，Qxxi，Mxxi，Mxyi，Nxxi，Nxyi分別為第i 塊板橫截面上的剪應力、彎矩、扭矩、面內縱向力和面內剪切力，內力表達式參見文獻［1］。

2 數(shù)值計算與分析

2.1 收斂性與有效性分析

應用模態(tài)疊加原理，需要足夠大的模態(tài)截斷數(shù)才可以保證收斂性。本文將有限元計算結果與解析法結果進行了對比，以驗證結果的有效性。表1 所示為雙層板尺寸及材料參數(shù)。

表1 物理參數(shù)及材料參數(shù)Table 1 Physical and material parameters

激勵作用在板1 上的力位于點(x0，y0)=( 0.15，0.15) 處，振動幅值F0=1，如圖1 所示。計算頻段為1～5 kHz，分別取模態(tài)截斷數(shù)M=6，10 和14，得到激勵點(x0，y0)=( 0.15，0.15) 在各截斷數(shù)下的橫向位移w頻響曲線，如圖3（a）所示。數(shù)值算法則采用有限元軟件ANSYS 求解，采用shell 63殼單元建模，共劃分18 萬個網格，取測點1 為板1上 的(x0，y0)=( 0.15，0.15) 處，測 點2 為 板6 上 的(x6，y6)=( 0.15，0.15 )處，然后與本文采用波動法，得到的橫向位移振動響應結果進行對比，如圖3（b）和圖3（c）所示。

由圖3（a）可見，在0～5 000 Hz 的計算頻段內，模態(tài)截斷數(shù)M 為10 和14 時的橫向位移頻響曲線計算結果已基本重合，取截斷數(shù)M=14 已足以保證結果得到收斂。

由圖3（b）和圖3（c）可見，本文方法與有限元方法得到的橫向位移振動響應結果基本吻合，這驗證了本文方法的有效性和準確性。后續(xù)計算中，位移函數(shù)的截斷數(shù)M 均取為15。

圖3 橫向位移響應波動法收斂性和有效性分析（基準位移10-12 m）Fig.3 Transverse displacement analysis of the convergence and effectiveness by wave method（ref.value 10-12 m）

2.2 不同角度激勵下的振動功率流

本節(jié)采用了2.1 節(jié)相同的雙層板模型參數(shù)。分析時，分別取激勵角α=30°，60°，90°。設板2上x2=0.18 m 為激勵板觀測面，板6 上x6=0.48 m為接收板觀測面，然后計算并分析上述2 個觀測面處低頻段和高頻段下激勵板及接收板的彎曲振動以及面內振動功率流，結果如圖4～圖7 所示。圖中，平直虛線所示為α=90°時在相應頻段內的功率流平均值。

由圖4 可看出，在低頻段內激勵板的彎曲振動功率流遠大于面內振動功率流，其平均值相差超過12 dB，且彎曲振動功率流隨激勵角α的增大而增大，面內波則相反。

由圖5 可看出，在低頻段內接收板同樣滿足了彎曲振動功率流遠高于面內振動功率流的規(guī)律，其平均值相差30 dB，二者均隨激勵角的增大而增大，但相對于激勵板而言，彎曲振動功率流和面內振動功率流的平均值都有較大衰減。

由圖6 可看出，激勵板中的彎曲振動功率流與面內振動功率流平均值相差僅3 dB，彎曲振動功率流隨著激勵角度的增大而增大，但面內振動功率流隨之減小。

圖4 低頻段內激勵板x2=0.18 m 處的振動功率流（基準功率流10-12 W）Fig.4 Excitation plate vibration power flow at x2=0.18 m in low frequency band（ref.power flow 10-12 W）

圖5 低頻段內接收板x6=0.48 m 處的振動功率流（基準功率流10-12 W）Fig.5 Receiving plate vibration power flow at x6=0.48 m in low frequency band（ref.power flow 10-12 W）

圖6 高頻段內激勵板x2=0.18 m 處的振動功率流（基準功率流10-12 W）Fig.6 Excitation plate vibration power flow at x2=0.18 m in high frequency band（ref.power flow 10-12 W）

圖7 高頻段內接收板x6=0.48 m 處的振動功率流（基準功率流10-12 W）Fig.7 Receiving plate vibration power flow at x6=0.48 m in high frequency band（ref.power flow 10-12 W）

由圖7 可看出，接收板中，隨著頻率的增加，面內波功率流也逐漸增大，這與彎曲波功率流相差無幾。

通過對圖4～圖7 的分析，可以得到如下結果：

1）在低頻段內，彎曲振動功率流遠遠大于面內振動功率流，但隨著頻率的增加，面內振動功率流逐步增大，與彎曲振動功率流相當。

2）在全頻段內，彎曲振動功率流隨著激勵角度的增大而增大，但面內振動功率流在高頻段內隨激勵角的變化規(guī)律與低頻段相反，即隨著激勵角的增大而減小。

綜上所述，面內振動功率流變化的原因源于2 個方面：一是激勵直接引起的振動，二是彎曲和面內波的波形轉換。一方面，激勵角的增大導致了垂直于板的激勵力分量增大，面內激勵力分量減少，從而使面內的振動較小，而彎曲的振動較大；另一方面，盡管激勵角的增大使激勵板的面內振動相對較弱，但彎曲振動波也會經過波形轉換更多地變?yōu)槊鎯炔?。因此，計算得到的功率流是外部激勵和內部波形轉換共同作用的結果。當頻率較低時，薄板縱向剛度遠比彎曲剛度的大，故激勵力在面內方向的分量引起的振動功率流數(shù)值較??；當激勵角度增大時，面內力的分量會更小，而圖4（b）～圖7（b）顯示其隨著角度的增大，振動功率流也會增加，造成此現(xiàn)象的原因是在此階段的波形轉換效果明顯，起到了主要作用；而頻率較高時，縱向剛度和彎曲剛度大小相當，激勵力的面內分量直接作用逐漸凸顯，在此階段，激勵力直接作用帶來的面內振動功率流作用更加明顯。

2.3 連接件板4 對振動功率流的影響

本節(jié)采用與2.1 節(jié)相同的雙層板模型參數(shù)。分析連接角β=30°，60°，90°時接收板6 上截面x6=0.48 m 處在0～1 000 Hz 頻率范圍的功率流，以及連接角β=90° 時板4 的厚度分別為5，7，9 mm 情況下板6 上截面x6=0.48 m 處觀測到的功率流，結果如圖8 和圖9 所示。

圖8 不同連接角下接收板6 的振動功率流（基準功率流10-12 W）Fig.8 Vibration power flow of receiving plate-6 at different connection angles（ref.power flow 10-12 W）

圖9 不同板厚下接收板6 的振動功率流（基準功率流10-12 W）Fig.9 Vibration power flow of receiving plate-6 at different plate thicknesses（ref.power flow 10-12 W）

由圖8 可看出，總體上，總功率流隨著連接角的增大而略有下降。連接角為90°時，減弱的作用表現(xiàn)得尤為明顯，這是因為此時面板剪力方向平行于腹板的面內方向，彎曲波和面內波的波形轉化效果明顯，且波形轉化隨著頻率的升高而加??；振動傳遞過程中的能量衰減更明顯，從而使接收板的功率流曲線也呈下降趨勢［12］。

由圖9 可看出，接收板的振動功率流受連接件的板厚影響較大，總體上，總功率流隨著連接板厚度的增大而下降，且峰值頻率也會右移。這是因為連接板厚度的增大使板的剛度增大，連接板的能量傳遞和波形轉化作用都會提升，與之對應的功率流衰減也更多，從而導致接收板的功率流曲線呈下降趨勢。

3 結 論

本文基于薄板理論與波動法，建立了有限尺寸雙層板的耦合振動模型，并通過有限元對比驗證了計算方法的準確性。在上述基礎上，分析了不同激勵角、連接角及其厚度對振動功率流的影響，并得到如下結論：

1）在低頻段，激勵板和接收板的彎曲波功率流遠大于面內波功率流，隨著頻率的增大，二者逐漸靠近。

2）在低頻段，激勵板和接收板的面內振動功率流遠小于彎曲波功率流，但在高頻段二者相當，原因是二者主要受到外部激勵力和波形轉換這2個因素的影響；激勵板和接收板均滿足在低頻段隨著激勵角的增大而增大的規(guī)律，此時二者主要受到波形轉換的影響；在高頻段，二者隨著激勵角的增大而減小，此時受激勵力的直接影響較大。

3）接收板功率流的大小與雙層板連接角及厚度密切相關，即連接角越是接近于垂直波形，其轉化效果就越明顯；同時，連接件的厚度越大，功率流的損耗也會增大，使得功率流曲線呈下降趨勢。因此，在實際工程中，應在允許的范圍內將雙層板中的連接角設計為接近90°，并適當選擇稍大的板厚以獲得較好的減振效果。