楊盛林，羋小龍，王曉丹，李德春,3，劉 偉，劉 旭

（1.天津航海儀器研究所，天津 300131；2.海軍裝備部，北京 100841；3.中船重工集團(tuán)有限公司航海保障技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，天津 300131 ）

為提升慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在諸如艦船作戰(zhàn)時(shí)的大沖擊載荷、陸用車輛高速行進(jìn)中的長(zhǎng)時(shí)間顛振以及飛機(jī)、導(dǎo)彈飛行過程中的高頻振動(dòng)等各種惡劣環(huán)境中的適應(yīng)性，一方面通過模態(tài)分析方法優(yōu)化慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[1]；另一重要方面是為其加裝減振裝置，以提高慣導(dǎo)系統(tǒng)適應(yīng)范圍的廣度和深度，改善慣性元件的工作條件，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的輸出精度。

橡膠減振裝置具有體積小、重量輕、設(shè)計(jì)靈活度高以及低成本等諸多優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)已被廣泛采用。橡膠減振器作為橡膠減振裝置的重要減振元件其數(shù)學(xué)模型和力學(xué)性能研究還不太充分和深入。近年來，許多專家學(xué)者針對(duì)減振器用橡膠材料的力學(xué)特性進(jìn)行分析研究。宓寶江等人[2]提出了一套超彈性材料模型的本構(gòu)方程和材料系數(shù)擬合方法，但是該數(shù)學(xué)模型只能進(jìn)行靜力學(xué)分析，無法模擬減振裝置在振動(dòng)條件下的整體響應(yīng)。馬詠梅、黃巍等人[3]給出了基于試驗(yàn)方法將非扭轉(zhuǎn)橡膠減振器等效為一維彈簧模型的剛度與彈性模量之間的換算關(guān)系。高軍強(qiáng)[4]和Tu Yongqiang[5]等人分別定量分析了橡膠減振器對(duì)捷聯(lián)系統(tǒng)和雙軸平臺(tái)系統(tǒng)輸出的影響。Abrahammsson、Arsla M E和Abdur R等人[6-8]利用有限元方法對(duì)含有橡膠減振器的減振裝置進(jìn)行了仿真分析。而Gong Dao[9]和Zeynali Keyvan[10]等人曾通過試驗(yàn)方法來擬合減振器的動(dòng)態(tài)公式。綜上，對(duì)于橡膠減振裝置的主要減振元件--橡膠減振器的研究主要有兩類：試驗(yàn)和仿真。傳統(tǒng)的研究方法就是基于試驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果對(duì)減振裝置進(jìn)行改進(jìn)，這樣會(huì)使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成本增加，周期延長(zhǎng)。隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的迅猛發(fā)展，基于仿真分析的研究方法被廣泛采用，然而，大部分的仿真分析模型是將橡膠減振器簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼單元，該模型雖然簡(jiǎn)單直接，但是無法將減振器幾何形狀、預(yù)緊力以及與結(jié)構(gòu)件的配合關(guān)系反映到模型中，勢(shì)必會(huì)對(duì)模型的精度產(chǎn)生影響。

為此，本文針對(duì)橡膠減振裝置的設(shè)計(jì)和應(yīng)用需求，通過試驗(yàn)擬合和理論推導(dǎo)相結(jié)合的方式構(gòu)建了包含幾何形狀、預(yù)緊力和結(jié)構(gòu)件配合關(guān)系的橡膠動(dòng)態(tài)彈性模量數(shù)值計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式，形成了一套適合于分析橡膠減振裝置性能的數(shù)學(xué)仿真模型，總結(jié)出一套切實(shí)可行的橡膠減振裝置設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了仿真數(shù)字化分析指導(dǎo)橡膠減振裝置設(shè)計(jì)的目標(biāo)。

1 橡膠減振裝置理論建模

1.1 橡膠減振裝置數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

橡膠屬于超彈性近似不可壓縮體，基于應(yīng)變能密度函數(shù)的本構(gòu)理論是描述這種材料特性的有效理論之一，如式(1)所示：

式中：U是應(yīng)變能密度函數(shù)；N是項(xiàng)數(shù)；Cij和Di分別為橡膠材料的剪切特性和可壓縮性；Jel是彈性體積比；I1和I2分別是第一、第二偏應(yīng)變不變量。

從式(1)的復(fù)雜度可以看出，由于該公式的建立需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)支撐，而現(xiàn)實(shí)工程應(yīng)用過程中很難對(duì)采購(gòu)的橡膠膠塊進(jìn)行多項(xiàng)力學(xué)測(cè)試，該公式并不適合于工程分析，需要構(gòu)建更加簡(jiǎn)化并且高效的數(shù)學(xué)模型。

研究證明，拉伸狀態(tài)下，橡膠材料先軟化再硬化；壓縮狀態(tài)時(shí)，材料急劇硬化，且呈線性，顯示出與拉伸不同的力學(xué)狀態(tài)。橡膠材料制成減振器時(shí)為了提高其承載能力和線性度，通常情況下為受壓狀態(tài)。而橡膠材料在預(yù)壓力的作用下變硬，其等效動(dòng)態(tài)彈性模量會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于橡膠材料在受壓狀態(tài)下的小變形彈性行為，可通過三維數(shù)字仿真分析平臺(tái)上帶有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析模型來構(gòu)建橡膠減振裝置的數(shù)學(xué)模型，即首先進(jìn)行非線性的靜態(tài)橡膠受壓分析，然后對(duì)含有內(nèi)應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的三維模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

在該數(shù)學(xué)模型中，結(jié)構(gòu)形式、減振器布置方式、負(fù)載重量、減振器幾何尺寸等對(duì)減振裝置動(dòng)力學(xué)響應(yīng)有影響的因素都可以直接反映在三維實(shí)體模型之中。然而，變化的等效動(dòng)態(tài)彈性模量卻是未知數(shù)，需結(jié)合橡膠材料硬度、減振器與結(jié)構(gòu)件的配合程度、減振器的預(yù)緊位移等因素構(gòu)建關(guān)系式間接反映到減振裝置的數(shù)學(xué)模型中。因此，構(gòu)建橡膠等效動(dòng)態(tài)彈性模量關(guān)系式是決定減振裝置數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確與否的關(guān)鍵因素。

1.2 橡膠減振裝置測(cè)試試驗(yàn)

對(duì)于橡膠等效動(dòng)態(tài)彈性模量關(guān)系式的構(gòu)建首先需要進(jìn)行大量試驗(yàn)，本文中選取了硬度、配合方式、膠塊約束方式、負(fù)載重量完全不同的兩套結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試，并用來與理論推導(dǎo)公式進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。

圖1 橡膠減振裝置A和橡膠減振器幾何尺寸Fig.1 Rubber damping device A and its physical dimension

圖2 橡膠減振裝置B和橡膠減振器幾何尺寸Fig.2 Rubber damping device B and its physical dimension

由于橡膠減振器形式多種多樣，本文選擇自主設(shè)計(jì)程度最高且制作周期最短的T型橡膠減振器作為研究對(duì)象。第一種橡膠減振裝置結(jié)構(gòu)如圖1（左）所示，在被減振設(shè)備（重約4 kg）四個(gè)角處設(shè)計(jì)上下安裝的四對(duì)橡膠減振器，其幾何尺寸見圖1（右）所示。第二種橡膠減振裝置結(jié)構(gòu)如圖2（左）所示，被減振設(shè)備重約10 kg，四個(gè)角點(diǎn)上下安裝四對(duì)橡膠減振器，幾何尺寸見圖2（右）。裝置A分別選取了30度、40度和55度三種不同邵氏硬度（HA）的T型橡膠減振器進(jìn)行測(cè)試，而裝置B分別選取了30度、40度和60度。以上幾種邵氏硬度的T型橡膠減振器基本可以覆蓋工程化應(yīng)用。

表1列出了橡膠減振裝置A和B的試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)，根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可以看出裝置A的共振頻率隨著橡膠的邵氏硬度增加而快速升高；然而裝置B的共振頻率雖然與橡膠邵氏硬度也成正比例關(guān)系，但是變化幅度與裝置A相差甚大。這說明橡膠邵氏硬度不是影響減振裝置動(dòng)力學(xué)特性的唯一因素，橡膠減振器的幾何尺寸、與結(jié)構(gòu)件的配合關(guān)系、預(yù)緊力以及負(fù)載重量等因素都有密切關(guān)系。

表1 膠減振裝置A和B的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果Tab.1 Test results of rubber damping device A & B

1.3 橡膠減振器等效彈性模量經(jīng)驗(yàn)公式構(gòu)建

在已有的靜態(tài)彈性模量關(guān)系式中引入動(dòng)力影響系數(shù)并體現(xiàn)上節(jié)中提到的影響減振裝置動(dòng)力學(xué)響應(yīng)因素。

文獻(xiàn)[1]給出了橡膠初始（靜態(tài)）彈性模量與邵氏硬度之間的經(jīng)驗(yàn)公式：

式中：HA為橡膠的邵氏硬度；E0為橡膠初始彈性模量。

根據(jù)表1的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果分析可知，橡膠減振器的邵氏硬度、橡膠減振器的幾何尺寸以及與結(jié)構(gòu)件的配合關(guān)系等因素對(duì)減振裝置的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)都起著顯著影響。參考應(yīng)變能密度的表達(dá)公式以及減振器等效剛度參數(shù)的計(jì)算方法，給出動(dòng)力影響系數(shù)KG（與幾何形狀 Geometry相關(guān)）和KP（與橡膠受力程度 Pressure相關(guān)）的表達(dá)式。

動(dòng)力影響系數(shù)KG與橡膠膠塊的幾何形狀有直接關(guān)系，可用式(3)表示：

式中：A1表示橡膠膠塊總的表面積大??；A2為橡膠膠塊允許自由變形的表面積大小。

該項(xiàng)參數(shù)意味著，當(dāng)橡膠受來自一個(gè)方向的壓力P，則由于材料本身的不可壓縮屬性勢(shì)必會(huì)使橡膠朝另外兩個(gè)方向釋放變形。橡膠受限運(yùn)動(dòng)的表面比例越大，則會(huì)使橡膠變形釋放不完全，積聚在內(nèi)部的變形能越大，則橡膠剛度越大。

圖3中A、B、C、D四幅圖顯示了T型橡膠減振器的主要約束形式。其中黑色輪廓線表示未受力的自由狀態(tài)，而粉紅色輪廓線表示受力之后的狀態(tài)。P表示來自結(jié)構(gòu)件給橡膠施加的預(yù)應(yīng)力。用橡膠總面積除以自由面積則表示橡膠形變能轉(zhuǎn)化為動(dòng)力能量的程度。其中裝置A的橡膠減振器屬于圖3中的A型；裝置B的橡膠減振器屬于圖3中的B型。

圖3 T型橡膠減振器受力的四種基本形式Fig.3 Four basic types of applied forces on T-type rubber damper

動(dòng)力影響系數(shù)KP是與橡膠膠塊的預(yù)緊量以及橡膠膠塊與減振支架的裝配過盈量來定義的：

式中：Δh是橡膠所受預(yù)緊量；h為受預(yù)緊量作用后的總高度；A是受過盈影響的總的截面積；ΔA為受過盈量影響的截面積改變量（如圖3中A型所示）。

通過初步推導(dǎo)，可以將上述兩項(xiàng)動(dòng)力學(xué)影響系數(shù)KG和KP與初始彈性模量E0相乘，既可以得到等效動(dòng)力學(xué)彈性模量E t1，如式(5)所示：

表2列出了A和B兩套減振裝置中對(duì)應(yīng)的不同邵氏硬度的橡膠減振器初始靜態(tài)彈性模量E0和等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Et1。

然而，將Et1的對(duì)應(yīng)數(shù)值代入到減振裝置A和B的數(shù)學(xué)模型中進(jìn)行仿真計(jì)算，發(fā)現(xiàn)所得的諧振頻率f（見表2中所列數(shù)據(jù)）在低邵氏硬度范圍內(nèi)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)際測(cè)試結(jié)果（見表1中所列數(shù)據(jù)），而高邵氏硬度范圍內(nèi)又比較接近或者略低于實(shí)際測(cè)試結(jié)果，說明式(5)給出的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量沒有完全反映出兩套減振裝置不同的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)趨勢(shì)，需要進(jìn)一步修正。在此，引入動(dòng)力影響系數(shù)KM（與橡膠本身材料Material屬性相關(guān)），如式(6)所示：

表2 兩種減振裝置的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Tab.2 Equivalent dynamic elastic modulus of two rubber damping devices

得到等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Et2：

將通過式(2)得到的靜態(tài)彈性模量、式(2)～(5)得到的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Et1以及式(2)～(4)(6)(7)得到的修正過的動(dòng)力學(xué)彈性模量Et2計(jì)算得到的結(jié)果均列在表3中進(jìn)行對(duì)比。修正過的Et2公式可以有效改善靜態(tài)彈性模量偏柔以及解決Et1無法覆蓋兩套減振裝置不同的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)趨勢(shì)的問題。

表3 隨邵氏硬度改變的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Tab.3 Equivalent dynamic elastic Modulus with hardness changing

圖4顯示了初始靜態(tài)彈性模量E0和等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Et1以及修正的動(dòng)力學(xué)彈性模量Et2與橡膠邵氏硬度之間的變化關(guān)系（動(dòng)力影響系數(shù)KG和KP取值來自裝置A）。

圖4 邵氏硬度與等效彈性模量關(guān)系示意圖Fig.4 Relationship between hardness and elastic modulus

從圖4中可以看出等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Et1通過引入動(dòng)力影響系數(shù)KG和KP可有效將橡膠所受約束和與結(jié)構(gòu)件的配合關(guān)系等影響因素引入到計(jì)算模型之中，將等效動(dòng)力學(xué)彈性模量數(shù)值提高，即橡膠所受的約束和預(yù)緊會(huì)使橡膠變硬。而在此基礎(chǔ)上引入動(dòng)力影響系數(shù)KM所得到的修正后的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量Et2可以真實(shí)反映出邵氏硬度對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)變化趨勢(shì)的影響。因此，式(2)～(4)(6)(7)構(gòu)成了T型橡膠減振器的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量的經(jīng)驗(yàn)公式。利用Et2得到仿真數(shù)值解與試驗(yàn)測(cè)試值的對(duì)比結(jié)果，見表4。

其中，符合度P定義為：

表4 試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比Tab.4 Test results and simulation results

表4中仿真值與試驗(yàn)值之間的符合精度均大于80%，準(zhǔn)確程度高。本文提出的橡膠減振裝置的數(shù)學(xué)模型將高度非線性材料利用經(jīng)驗(yàn)公式等價(jià)為線性分析方法，將原來無從下手的減振器動(dòng)力學(xué)仿真分析變?yōu)榭赡埽瑫r(shí)還提高了求解精度和效率。

2 慣性導(dǎo)航設(shè)備的橡膠減振裝置設(shè)計(jì)方法

利用本文提出的橡膠材料的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量經(jīng)驗(yàn)公式，結(jié)合減振裝置數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法，橡膠減振裝置設(shè)計(jì)采用下述方法進(jìn)行：

① 根據(jù)被減振慣性設(shè)備的重量、重心位置以及所對(duì)應(yīng)的力學(xué)環(huán)境計(jì)算目標(biāo)共振頻率f0；

② 慣性設(shè)備減振器的分布盡量空間對(duì)稱。根據(jù)輸入條件，確定減振器設(shè)計(jì)大致方案以及橡膠膠塊的大概布置形式；

③ 預(yù)先給定膠塊幾何參數(shù)和裝配關(guān)系，進(jìn)而利用式(3)(4)確定KG和KP。

④ 將常用的邵氏硬度參數(shù)帶入到式(2)(6)中，確定E0和KM。

⑤ 利用式(7)得出Et2，與泊松比一起帶入到減振裝置數(shù)學(xué)模型中進(jìn)行仿真計(jì)算。將計(jì)算得到的f與設(shè)計(jì)目標(biāo)共振頻率f0相對(duì)比。如果不相同可以從材料邵氏硬度、幾何形式和裝配關(guān)系以及橡膠布置形式等四個(gè)方面進(jìn)行微調(diào)，最終得出最佳方案，并將與目標(biāo)要求最接近的模型完善設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)，最終出圖投產(chǎn)。

需要特別指出的是，在橡膠減振器裝配完成以后，由于新采購(gòu)的橡膠塊存在著不穩(wěn)定的力學(xué)性質(zhì)，需要對(duì)橡膠減振器進(jìn)行多次重復(fù)的加-卸載試驗(yàn)循環(huán)以后才能保證橡膠減振器在與之加-卸載相同的力學(xué)環(huán)境中E0的穩(wěn)定性。因此，在橡膠減振裝置交付使用之前須對(duì)其分別進(jìn)行不低于 5次的加-卸載試驗(yàn)以及實(shí)際試驗(yàn)條件的力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)以保證橡膠減振裝置處于穩(wěn)定的狀態(tài)。同時(shí)應(yīng)該注意的是，應(yīng)該對(duì)每塊T型橡膠減振器進(jìn)行標(biāo)記，保證每塊橡膠減振器在每次加-卸載過程中安裝位置的一致性。

3 橡膠減振裝置振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提出的橡膠減振裝置數(shù)學(xué)模型以及設(shè)計(jì)方法的正確性，現(xiàn)有一重量約為4 kg，目標(biāo)共振頻率為50 Hz的減振裝置的設(shè)計(jì)輸入，根據(jù)上述設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了一套三點(diǎn)上下支撐的橡膠減振裝置C，見圖5所示，其橡膠減振器約束形式為圖3中的D型。利用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的等效彈性模量以及仿真和試驗(yàn)值的對(duì)比見表5所示。

通過表5中列出的試驗(yàn)測(cè)試值和仿真數(shù)值解對(duì)比的符合精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于80%，數(shù)值模型能夠滿足工程化分析需要，可以指導(dǎo)橡膠減振裝置的設(shè)計(jì)。

從表5中的數(shù)據(jù)可以看出，裝置C配置30度的T型橡膠減振器可以滿足設(shè)計(jì)輸入的需求。將裝配了30度橡膠減振器的裝置C進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)測(cè)試，在實(shí)際測(cè)試環(huán)境中，系統(tǒng)精度滿足使用要求。

圖5 減振裝置C和減振器幾何尺寸Fig.5 Rubber shock absorber C and physical dimension of rubber damper

表5 裝置C的材料參數(shù)和數(shù)值/試驗(yàn)結(jié)果Tab.5 Elastic modulus of rubber damper in device C and test/simulation results

圖6 減振裝置C的系統(tǒng)測(cè)試試驗(yàn)Fig.6 The system test of device C

因此，利用本文所提出的橡膠減振裝置數(shù)學(xué)模型可準(zhǔn)確估計(jì)減振裝置的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，基于本文提出的設(shè)計(jì)方法可有效縮短設(shè)備研制周期。

4 結(jié) 論

為了使慣導(dǎo)系統(tǒng)適應(yīng)小尺寸、大動(dòng)態(tài)、強(qiáng)沖擊等惡劣力學(xué)環(huán)境，提高系統(tǒng)適應(yīng)性，對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)加裝的減振器必須有清晰的認(rèn)知并且盡量縮短設(shè)計(jì)周期以達(dá)到快速響應(yīng)市場(chǎng)需求的能力。本文基于等效動(dòng)力學(xué)彈性模量公式構(gòu)建了可靠的工程化橡膠減振裝置數(shù)學(xué)模型；基于此模型，總結(jié)出切實(shí)可行的橡膠減振裝置的設(shè)計(jì)方法。對(duì)利用該方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型和實(shí)物進(jìn)行了仿真和試驗(yàn)測(cè)試。從將近90%的數(shù)學(xué)模型符合精度以及慣導(dǎo)系統(tǒng)在各項(xiàng)力學(xué)環(huán)境測(cè)試中的良好表現(xiàn)可以得出以下結(jié)論：

① 經(jīng)過數(shù)值與試驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證，本文所提出的橡膠邵氏硬度與等效動(dòng)力學(xué)彈性模量的經(jīng)驗(yàn)公式是具有可靠性和高效性的橡膠材料參數(shù)等價(jià)公式；

② 基于橡膠材料的等效動(dòng)力學(xué)彈性模量所構(gòu)建的含有非線性應(yīng)力的預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析數(shù)學(xué)模型能給出準(zhǔn)確的橡膠減振裝置的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析結(jié)果；

③ 基于本文提出的數(shù)學(xué)模型，所提出的減振裝置的設(shè)計(jì)方法具有很強(qiáng)的可操作性，可大幅度縮短橡膠減振裝置的研制周期、降低研制成本，提升慣性系統(tǒng)的耐振、抗沖環(huán)境適應(yīng)性。