李傳亮，朱蘇陽

西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院，四川成都610599

0 引言

多孔介質(zhì)就是帶有孔隙的固體，其中的孔隙并不是物質(zhì)，而是多孔介質(zhì)的存在形式。巖石、土壤、動(dòng)植物機(jī)體等都是多孔介質(zhì)。多孔介質(zhì)本質(zhì)上仍屬于固體，但因帶有孔隙，其力學(xué)性質(zhì)又與普通(純)固體有著很大的差別，固體力學(xué)的許多理論都不能直接應(yīng)用于多孔介質(zhì)。為了應(yīng)用固體力學(xué)的理論研究多孔介質(zhì)的力學(xué)行為，人們提出了有效應(yīng)力的概念[1]。有了有效應(yīng)力作為橋梁和紐帶，固體力學(xué)的許多理論就可以應(yīng)用于多孔介質(zhì)了。因此，有效應(yīng)力是多孔介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ)概念，整個(gè)多孔介質(zhì)力學(xué)都是建立在有效應(yīng)力基礎(chǔ)之上的，也可以說，沒有有效應(yīng)力就沒有多孔介質(zhì)力學(xué)。

但是，如何構(gòu)建有效應(yīng)力卻是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，不同學(xué)者在不同條件下提出了不同的有效應(yīng)力形式。K.Terzaghi(1923)針對疏松的土介質(zhì)提出了第一個(gè)有效應(yīng)力[1]，后人稱之為Terzaghi有效應(yīng)力。Terzaghi有效應(yīng)力催生了土力學(xué)的誕生，在水壩、電站、基礎(chǔ)工程等建設(shè)中發(fā)揮了積極的作用，K.Terzaghi也因此成為了世界21位著名的力學(xué)家之一[2]。

M.Biot(1941)提出了第二個(gè)有效應(yīng)力[3]，后人稱之為Biot有效應(yīng)力。Biot有效應(yīng)力是對Terzaghi有效應(yīng)力的修正，其他人對Terzaghi有效應(yīng)力的修正與Biot類似，只是修正系數(shù)的取值不同而已。土力學(xué)和巖石力學(xué)是兩門重要的自然科學(xué)學(xué)科，屬于多孔介質(zhì)力學(xué)的兩個(gè)重要分支。

筆者在深入研究了多孔介質(zhì)的變形機(jī)制之后，于1999年提出了雙重有效應(yīng)力的概念[4-5]。根據(jù)雙重有效應(yīng)力理論，多孔介質(zhì)存在兩種基本的變形方式：本體變形和結(jié)構(gòu)變形；與之相對應(yīng)，多孔介質(zhì)存在兩個(gè)有效應(yīng)力：本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力。雙重有效應(yīng)力的提出，為多孔介質(zhì)力學(xué)的發(fā)展起到了積極的推動(dòng)作用：巖石強(qiáng)度條件分析得到了改進(jìn)[6]，建立了巖石壓縮系數(shù)測量新方法[7-10]，巖石應(yīng)力敏感評價(jià)方法得到了改進(jìn)[11-12]，多孔介質(zhì)的流變模型得到了改進(jìn)[13]，油井壓裂過程中地層巖石的破裂壓力公式得到了統(tǒng)一[14-15]，許多奇妙的新理論都已在雙重有效應(yīng)力的支撐下浮出了水面。

然而，有些人對雙重有效應(yīng)力不夠理解，進(jìn)而對其提出了質(zhì)疑。洪亮博士曾撰文對其進(jìn)行質(zhì)疑[16]，筆者也進(jìn)行了回應(yīng)[17]。最近，毛小龍博士也撰文對其進(jìn)行了質(zhì)疑[18]，并提出了新的雙重有效應(yīng)力，為了讓大家更好地理解多孔介質(zhì)的雙重有效應(yīng)力，筆者在此與毛小龍博士作如下商榷。

1 多孔介質(zhì)的變形機(jī)制

根據(jù)形成方式可以把多孔介質(zhì)分成兩大類[5]：一類是在已有固體中建造孔隙而形成的次生多孔介質(zhì)(圖1)，另一類是由碎屑顆粒堆積而成的原生多孔介質(zhì)(圖2)。它們的力學(xué)機(jī)制是一樣的，為了敘述方便，下面僅以原生多孔介質(zhì)為研究對象。

圖1 次生多孔介質(zhì)形成示意圖Fig. 1 Formation of secondary porous media

圖2 原生多孔介質(zhì)構(gòu)成圖Fig. 2 Composition of primary porous media

多孔介質(zhì)的固體部分被稱作骨架，其余部分被稱作孔隙(空隙)。骨架顆粒有線元體、面元體和粒元體等多種復(fù)雜的幾何形態(tài)。孔隙的幾何形態(tài)也極其復(fù)雜，但大致可分為孔、洞、縫三種。多孔介質(zhì)有3個(gè)體積：骨架體積、孔隙體積和外觀體積，而普通固體卻只有一個(gè)體積。圖2a為多孔介質(zhì)的物質(zhì)構(gòu)成圖，圖2b為多孔介質(zhì)的體積構(gòu)成圖。

多孔介質(zhì)的3個(gè)體積滿足下式

式中，Vs為骨架體積，m3；Vp為孔隙體積，m3；Vb為外觀體積，m3。

孔隙體積與外觀體積的比值，定義為多孔介質(zhì)的孔隙度(空隙率)，即

式中，φ為孔隙度，小數(shù)。

孔隙度是多孔介質(zhì)最重要的物性參數(shù)，它反映了多孔介質(zhì)的孔隙發(fā)育程度和儲(chǔ)集能力。根據(jù)孔隙度的數(shù)值可以對多孔介質(zhì)進(jìn)行分類[19]：當(dāng)φ＜0.3，為致密介質(zhì)；當(dāng)φ=0.3～0.9，為疏松介質(zhì)；當(dāng)φ＞0.9，為纖維介質(zhì)。當(dāng)φ=0，為純固體；當(dāng)φ=1，為虛空。純固體和虛空為多孔介質(zhì)的兩個(gè)極端。因此，孔隙度把多孔介質(zhì)與普通固體統(tǒng)一了起來。

多孔介質(zhì)的變形是通過骨架顆粒的變形和排列方式的改變來實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)筆者的研究，多孔介質(zhì)存在兩種基本的變形機(jī)制：本體變形和結(jié)構(gòu)變形[4-5]。多孔介質(zhì)的實(shí)際變形是這兩種基本變形的復(fù)雜組合。

1.1 本體變形

所謂的本體變形(primary deformation)，是指因骨架顆粒自身的變形而導(dǎo)致的介質(zhì)整體變形。在本體變形過程中，骨架顆粒的排列方式并不發(fā)生變化，變化的是骨架顆粒自身的體積(圖3)。骨架顆粒的變形是由于顆粒自身的應(yīng)力即骨架應(yīng)力的變化所致。骨架應(yīng)力決定介質(zhì)的本體變形，介質(zhì)的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為

式中，εp為多孔介質(zhì)的本體應(yīng)變，無因次；σs為多孔介質(zhì)的骨架應(yīng)力，MPa。

圖3 多孔介質(zhì)的本體變形(可逆)Fig. 3 Primary deformation of porous media(reversible)

圖4 為本體變形過程中的體積變化。本體變形實(shí)際上就是介質(zhì)的壓縮變形(compression)。

圖4 本體變形的體積變化(可逆)Fig. 4 Volume change of primary deformation(reversible)

1.2 結(jié)構(gòu)變形

所謂的結(jié)構(gòu)變形(structural deformation)，是指因骨架顆粒排列方式的改變而導(dǎo)致的介質(zhì)整體變形。在結(jié)構(gòu)變形過程中，骨架顆粒自身的體積并不發(fā)生變化，變化的是骨架顆粒的排列方式(圖5)。介質(zhì)的變形量與骨架顆粒之間的相對位移即介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變化有關(guān)，而骨架顆粒之間的相對位移是因顆粒之間接觸應(yīng)力的變化所致。接觸應(yīng)力決定介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形，介質(zhì)的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為

式中，εs為介質(zhì)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變，無因次；σc為骨架顆粒之間的接觸應(yīng)力，MPa。

圖5 介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形(不可逆)Fig. 5 Structural deformation of porous media(irreversible)

圖6 為結(jié)構(gòu)變形過程中的體積變化。結(jié)構(gòu)變形實(shí)際上就是介質(zhì)的壓實(shí)變形(compaction)。

介質(zhì)的總應(yīng)變?yōu)榻橘|(zhì)的本體應(yīng)變與結(jié)構(gòu)應(yīng)變的代數(shù)和，即

式中，ε為介質(zhì)的總應(yīng)變，無因次。

圖6 結(jié)構(gòu)變形的體積變化(不可逆)Fig. 6 Volume change of structural deformation(irreversible)

圖7 為介質(zhì)的骨架應(yīng)力和接觸應(yīng)力示意圖，兩個(gè)應(yīng)力之間不僅存在數(shù)值上的巨大差異，其性質(zhì)也完全不同。一個(gè)為正，另一個(gè)可能為負(fù)。

圖7 骨架應(yīng)力和接觸應(yīng)力Fig. 7 Skeleton stress and contact stress

介質(zhì)的本體變形是由于骨架顆粒的變形所致，這種變形基本上屬于彈性變形，在應(yīng)力卸除之后通常是可以恢復(fù)的，因而是可逆變形。介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形是由于介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變化即骨架顆粒排列方式的改變所致，這種變形基本上屬于塑性變形，在應(yīng)力卸除之后是不能恢復(fù)的，因而是不可逆變形。

疏松土介質(zhì)的變形以結(jié)構(gòu)變形為主，應(yīng)力作用使顆粒由松散排列趨于緊湊排列，介質(zhì)也由疏松狀態(tài)趨于致密狀態(tài)，與此同時(shí)，孔隙度也發(fā)生了巨大的變化。但是，應(yīng)力卸除之后，顆粒的排列方式卻不能由緊湊排列恢復(fù)到松散排列，因而介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形是不可逆的。結(jié)構(gòu)變形實(shí)際上是對介質(zhì)的破壞，因?yàn)楣羌茴w粒的接觸處是應(yīng)力最為集中的地方，也是最容易發(fā)生破壞的地方。

巖石一般屬于致密介質(zhì)，致密介質(zhì)的變形以本體變形為主，應(yīng)力作用使巖石和巖石顆粒的體積受到壓縮；應(yīng)力卸除，巖石和巖石顆粒的體積又發(fā)生膨脹，恢復(fù)到原始狀態(tài)，因而巖石的本體變形是一種可逆的彈性變形。巖石彈性變形過程中，骨架顆粒的排列方式并不發(fā)生變化(因顆粒已緊湊排列，并且膠結(jié))，巖石的外觀體積、孔隙體積和骨架體積同步增大或縮小，因而巖石的孔隙度是不發(fā)生變化的(圖3)，這就是巖石本體變形過程中的孔隙度不變性原則[20]。

2 有效應(yīng)力概念

普通固體受到應(yīng)力的作用即產(chǎn)生變形，受拉即伸長，受壓即縮短(圖8)，固體的應(yīng)力—應(yīng)變曲線可以分成彈性變形和塑性變形兩個(gè)階段(圖9)。彈性變形是應(yīng)力卸除后能夠恢復(fù)的變形，塑性變形是應(yīng)力卸除后不能夠恢復(fù)的變形。當(dāng)然，塑性變形階段也包含一定的彈性變形。彈性變形階段與塑性變形階段不是同時(shí)發(fā)生的，彈性變形一般為低應(yīng)力作用階段，塑性變形一般為高應(yīng)力作用階段。普通固體復(fù)雜的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系可以分段進(jìn)行研究，在彈性變形階段(σ＜σe)采用Hooke定律，即

式中，E為彈性模量，MPa；σ為應(yīng)力，MPa；σe為彈性極限應(yīng)力，MPa；ε為軸向應(yīng)變，無因次。

在塑性變形階段(σ＞σe)很難用簡單公式進(jìn)行描述，可以采用函數(shù)形式進(jìn)行描述，即

彈性變形階段的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系符合Hooke定律，相對比較簡單，塑性變形階段則相對比較復(fù)雜。

圖8 普通固體的變形Fig. 8 Deformation of ordinary solid

圖9 普通固體的應(yīng)力—應(yīng)變曲線Fig. 9 Curve of stress-strain of ordinary solid

普通固體在拉伸時(shí)變細(xì)，在壓縮時(shí)變粗，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值為泊松比，即

式中，ν為泊松比，無因次；εr為橫向應(yīng)變，無因次。

由式(6)和式(7)可以看出，普通固體的復(fù)雜變形規(guī)律用一個(gè)應(yīng)力分段進(jìn)行研究即可，不需要借助于有效應(yīng)力。但是，多孔介質(zhì)不是普通固體，而是帶有孔隙的固體，其物質(zhì)結(jié)構(gòu)和受力狀態(tài)都比普通固體復(fù)雜。多孔介質(zhì)的孔隙中通常飽和著流體(油、氣、水)，且同時(shí)受到外應(yīng)力(外壓)和內(nèi)應(yīng)力(內(nèi)壓)的共同作用(圖10a)。因此，多孔介質(zhì)的變形是內(nèi)、外兩個(gè)應(yīng)力共同作用的結(jié)果，即

式中，σ為介質(zhì)外壓，MPa；p為介質(zhì)內(nèi)壓，MPa。

圖10 多孔介質(zhì)受力圖Fig. 10 Force diagram of porous media

若能找到式(9)的函數(shù)關(guān)系，則可以直接研究多孔介質(zhì)的變形行為，不需要借助于有效應(yīng)力。遺憾的是，迄今為止人們尚未找到式(9)的函數(shù)關(guān)系，不得不借助于有效應(yīng)力。

所謂的有效應(yīng)力，是為了工程計(jì)算方便而虛擬的應(yīng)力概念，它單獨(dú)作用于多孔介質(zhì)所產(chǎn)生的效果與內(nèi)、外兩個(gè)真實(shí)應(yīng)力共同作用所產(chǎn)生的效果完全相同，因此是一個(gè)等效應(yīng)力(圖10b)。當(dāng)材料的物質(zhì)結(jié)構(gòu)和應(yīng)力狀態(tài)十分復(fù)雜時(shí)，有效應(yīng)力就能發(fā)揮很好的作用。若找到了有效應(yīng)力，則式(9)可以寫成

式中，σeff為有效應(yīng)力，MPa。

固體力學(xué)的Hooke定律式(6)，則可以用有效應(yīng)力來研究多孔介質(zhì)的彈性變形

有效應(yīng)力并不是真實(shí)應(yīng)力，而是虛擬應(yīng)力，不能進(jìn)行實(shí)測，只能通過某種方法進(jìn)行計(jì)算。構(gòu)建有效應(yīng)力的基本思想是：外壓的作用導(dǎo)致介質(zhì)的壓縮，內(nèi)壓的作用導(dǎo)致介質(zhì)的膨脹，內(nèi)、外壓對多孔介質(zhì)產(chǎn)生的作用正好相反(圖10a)，因此，只需把內(nèi)壓的作用從外壓中扣除，即可得到有效應(yīng)力。但是，從外壓中扣除多少內(nèi)壓，是一個(gè)需要研究的問題。

3 Terzaghi有效應(yīng)力

1923年，K.Terzaghi針對疏松的土介質(zhì)，通過實(shí)驗(yàn)提出了第一個(gè)有效應(yīng)力[1]，即Terzaghi有效應(yīng)力

很顯然，Terzaghi有效應(yīng)力為外應(yīng)力與內(nèi)應(yīng)力的簡單差值，即從外壓中直接減去內(nèi)壓。Terzaghi有效應(yīng)力在地質(zhì)科學(xué)及石油工程中被稱作有效上覆壓力，在室內(nèi)巖心分析實(shí)驗(yàn)中被稱作凈圍壓。圖11為Terzaghi實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停撃Ｐ陀脧椈赡M土介質(zhì)的固體骨架，模型中充滿水。對模型施加外壓，模型即變形，模型的變形量可以用來計(jì)算彈簧的受力大小，模型的內(nèi)壓用側(cè)邊水柱高度進(jìn)行測量。

圖11 Terzaghi實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig. 11 Terzaghi's experimental model

Terzaghi實(shí)驗(yàn)是一個(gè)簡單而偉大的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果顯示外應(yīng)力等于流體壓力與彈簧受力之和，進(jìn)而導(dǎo)致了Terzaghi有效應(yīng)力的建立。

然而，Terzaghi實(shí)驗(yàn)存在的主要問題是，模型的骨架含量太少，即孔隙度太高，以至于內(nèi)壓與外壓的作用面積幾乎相等。該模型沒有模擬到疏松土介質(zhì)和致密巖石的性質(zhì)，只近似模擬了纖維介質(zhì)的性質(zhì)。

關(guān)于Terzaghi方程的理論推導(dǎo)，通常采用圖12中的物理模型[1]，在該模型上建立靜力平衡方程，即

式中，A為外壓作用面積，m2；Ac為顆粒接觸面積，m2；σc為顆粒接觸應(yīng)力，MPa。

圖12 Terzaghi公式推導(dǎo)物理模型Fig. 12 Physical model for deduction of Terzaghi's equation

式(13)可以寫成

通常假設(shè)Ac特別小，于是很容易由式(14)導(dǎo)出Terzaghi公式(12)。

上面的公式推導(dǎo)中存在兩個(gè)問題，一是圖12中的σ并不是多孔介質(zhì)的外應(yīng)力，而是骨架顆粒內(nèi)部的應(yīng)力，是不可測量的；二是“Ac特別小”的假設(shè)在很多情況下并不成立，尤其是對于致密介質(zhì)更是如此。

雖然Terzaghi有效應(yīng)力的提出為土力學(xué)的誕生奠定了基礎(chǔ)，Terzaghi也因此為土力學(xué)的發(fā)展做出了不朽的貢獻(xiàn)。但是，Terzaghi有效應(yīng)力并不適用于致密介質(zhì)，這就為Terzaghi有效應(yīng)力在長期的工程應(yīng)用中出現(xiàn)的各種偏差埋下了伏筆。

Terzaghi有效應(yīng)力的根本問題是，從外應(yīng)力中扣除內(nèi)應(yīng)力時(shí)扣多了，因?yàn)閮?nèi)應(yīng)力的作用面積遠(yuǎn)小于外應(yīng)力(圖10a)。而且，人們也不知道Terzaghi有效應(yīng)力到底決定介質(zhì)的本體變形，還是結(jié)構(gòu)變形，它不能同時(shí)決定兩種變形。

4 Biot有效應(yīng)力

為了消除Terzaghi有效應(yīng)力在工程應(yīng)用中的不適應(yīng)性，許多人都對其進(jìn)行了修正[5,21]，其中以Biot修正式應(yīng)用最多，M.A.Biot于1941年提出的修正式為[3]

式中，α為Biot系數(shù)，無因次。

由式(15)計(jì)算的有效應(yīng)力，被稱作Biot有效應(yīng)力。式(15)中的修正系數(shù)一般稱為Biot系數(shù)，也叫有效應(yīng)力系數(shù)。很多人對Terzaghi公式進(jìn)行了修正，修正方法與Biot類似，只是修正系數(shù)的取值不同而已[22-35]。Biot有效應(yīng)力的應(yīng)用非常廣泛，但是，Biot系數(shù)沒有明確的物理意義，必須通過實(shí)驗(yàn)測量或經(jīng)驗(yàn)方法加以確定。多數(shù)實(shí)驗(yàn)測量的Biot系數(shù)在0～1，也有大于1或小于0的極端情況出現(xiàn)。Biot系數(shù)大于1，表明介質(zhì)會(huì)自行膨脹；Biot系數(shù)小于0，表明介質(zhì)會(huì)自行收縮。大于1和小于0都是錯(cuò)誤的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。即使實(shí)驗(yàn)測量的Biot系數(shù)在0～1，也不能說明實(shí)驗(yàn)結(jié)果就是正確的，因?yàn)?.1與0.9的差別依然很大，實(shí)驗(yàn)誤差難以克服。

A.W. Skempton(1960)[24]和J.Geestma(1957)[35]給出了Biot系數(shù)的理論公式，即

式中，cs為骨架顆粒(對骨架應(yīng)力)的壓縮系數(shù)，MPa-1；cb為介質(zhì)外觀體積(對外應(yīng)力)的壓縮系數(shù)，MPa-1。

不僅外觀體積的壓縮系數(shù)不好測量，骨架顆粒的壓縮系數(shù)也不好測量，因?yàn)楣羌茴w粒的組成十分復(fù)雜，也不好把骨架物質(zhì)從多孔介質(zhì)中分離出來單獨(dú)進(jìn)行實(shí)測。因此，很少有人采用式(16)來確定Biot系數(shù)。由于Biot系數(shù)存在很大的不確定性，大多數(shù)情況下人們都取經(jīng)驗(yàn)值，Biot有效應(yīng)力公式在實(shí)際應(yīng)用中也就成了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。

由于Biot系數(shù)通常小于1，相對于Terzaghi有效應(yīng)力而言，Biot有效應(yīng)力在從外應(yīng)力中扣除內(nèi)應(yīng)力時(shí)少扣了一些，這算是一個(gè)進(jìn)步。與Terzaghi有效應(yīng)力相同的是，人們依然不知道Biot有效應(yīng)力到底決定介質(zhì)的本體變形，還是結(jié)構(gòu)變形，它不可能同時(shí)決定兩種變形。

5 雙重有效應(yīng)力

與多孔介質(zhì)的兩種基本變形機(jī)制相對應(yīng)，多孔介質(zhì)存在兩個(gè)有效應(yīng)力：本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力[4-5]。本體有效應(yīng)力決定介質(zhì)的本體變形，研究介質(zhì)的本體變形行為時(shí)，應(yīng)采用本體有效應(yīng)力。結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力決定介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形，研究介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形行為(包括介質(zhì)的破壞)時(shí)，應(yīng)采用結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力。

5.1 本體有效應(yīng)力

多孔介質(zhì)除受到外應(yīng)力σ和內(nèi)應(yīng)力p的作用之外，在連續(xù)介質(zhì)意義上任意一點(diǎn)還存在骨架應(yīng)力σs。但是，骨架應(yīng)力并不是獨(dú)立存在的，它是內(nèi)、外應(yīng)力共同作用的結(jié)果，即σs是σ和p的函數(shù)。根據(jù)式(3)，介質(zhì)是否產(chǎn)生本體變形，取決于σs的數(shù)值，與σ和p的數(shù)值大小沒有直接的關(guān)系。因此，只要知道了σs的數(shù)值，就能夠確定介質(zhì)的本體變形行為。然而，σs是不可測量的，它必須通過一定的公式進(jìn)行計(jì)算。

圖13為介質(zhì)剖面圖，任一截面OO′面上方的外應(yīng)力為σ，外應(yīng)力的作用面積為A，因此，介質(zhì)受到的總外力為σA。

圖13 多孔介質(zhì)應(yīng)力關(guān)系圖(I)Fig. 13 Stress relationship of porous media(I)

OO′面下方的骨架應(yīng)力為σs，骨架應(yīng)力的作用面積為(1-φ)A，骨架對OO′面的總作用力為σs(1-φ)A。

OO′面下方的孔隙壓力為p，孔隙壓力的作用面積為φA，孔隙中流體對OO′面的總作用力為pφ A。

根據(jù)靜力平衡原理，OO′截面的上、下作用力相等，即

把式(17)整理之后，得

式(18)就是多孔介質(zhì)的應(yīng)力關(guān)系方程[36]。

由式(18)可以求出骨架應(yīng)力的數(shù)值，再把骨架應(yīng)力折算到整個(gè)介質(zhì)橫截面積之上，即得本體有效應(yīng)力計(jì)算公式

式(19)為本體有效應(yīng)力的計(jì)算公式，本體有效應(yīng)力的定義式為

5.2 結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力

接觸應(yīng)力決定介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形，為了確定介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形量，必須首先計(jì)算出介質(zhì)的接觸應(yīng)力數(shù)值。

多孔介質(zhì)骨架顆粒之間的接觸應(yīng)力σc不是獨(dú)立存在的，它是內(nèi)、外應(yīng)力共同作用的結(jié)果，即σc是σ和p的函數(shù)。根據(jù)式(4)，介質(zhì)是否產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，取決于σc的數(shù)值，與σ和p的數(shù)值大小沒有直接的關(guān)系。因此，只要知道了σc的數(shù)值，就能夠確定介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形行為。然而，σc也是不可測量的，它必須通過一定的公式進(jìn)行計(jì)算。

圖14為介質(zhì)剖面圖，任一截面OO′面上方的外應(yīng)力為σ，外應(yīng)力的作用面積為A，因此，介質(zhì)受到的總外力為σA。

有了本體有效應(yīng)力，多孔介質(zhì)的本體應(yīng)變量即可由下式計(jì)算

圖14 多孔介質(zhì)應(yīng)力關(guān)系圖(II)Fig. 14 Stress relationship of porous media(II)

QQ′面下方的孔隙壓力為p，孔隙壓力的垂向作用面積為φcA，孔隙中流體對QQ′面的總作用力為pφcA。

令QQ′面趨于OO′面，根據(jù)靜力平衡原理，OO′面的上方作用力與QQ′面的下方作用力相等，即

介質(zhì)中任一連接骨架顆粒接觸點(diǎn)的曲面QQ′面下方的垂向接觸應(yīng)力為σc，垂向接觸應(yīng)力的作用面積為(1-φc)A，垂向接觸應(yīng)力對QQ′面的總作用力為σc(1-φc)A。

把式(22)整理之后，得

由式(23)可以求出接觸應(yīng)力的數(shù)值，再把接觸應(yīng)力折算到整個(gè)介質(zhì)橫截面積之上，即得結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的計(jì)算公式

式(24)是結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的計(jì)算式，結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的定義式為

有了結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力，多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變量即可由下式計(jì)算

5.3 有效應(yīng)力界限

結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力計(jì)算公式(24)中的φc為介質(zhì)的觸點(diǎn)孔隙度，它與介質(zhì)的膠結(jié)系數(shù)滿足下式

式中，φc為介質(zhì)的觸點(diǎn)孔隙度，小數(shù)；δc為介質(zhì)的膠結(jié)系數(shù)，小數(shù)。

δc反映了介質(zhì)的膠結(jié)程度，其計(jì)算公式為

式中，Ac為QQ′面上骨架顆粒接觸面積的垂向投影面積，m2；A為QQ′面上介質(zhì)總面積的垂向投影面積，m2。

介質(zhì)的膠結(jié)程度用膠結(jié)系數(shù)來衡量，而膠結(jié)強(qiáng)度則用拉伸應(yīng)力強(qiáng)度來衡量。

不同介質(zhì)的膠結(jié)程度差別很大[37]，點(diǎn)式接觸的介質(zhì)沒有膠結(jié)物，膠結(jié)程度為0(圖15a)，觸點(diǎn)孔隙度也最大，為100%；基底膠結(jié)的膠結(jié)程度最高，為100%(圖15c)，觸點(diǎn)孔隙度也最小，為0；孔隙膠結(jié)的膠結(jié)程度和觸點(diǎn)孔隙度介于二者之間(圖15b)。

圖15 多孔介質(zhì)膠結(jié)類型及膠結(jié)程度Fig. 15 Cementing types and cementing degree of porous media

本體有效應(yīng)力計(jì)算公式(19)中的孔隙度φ，為介質(zhì)的本體孔隙度。

很顯然，觸點(diǎn)孔隙度的數(shù)值大于本體孔隙度，但仍然小于 1，即φ＜φc＜1。

當(dāng)φc→0，φ→0，表明介質(zhì)的孔隙特征消失，介質(zhì)趨于普通固體，此時(shí)，本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力皆趨于介質(zhì)的外應(yīng)力(圖16)。這也是普通固體不采用有效應(yīng)力的原因。

當(dāng)p→0，表明介質(zhì)中無承壓流體，此時(shí)，本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力也趨于介質(zhì)的外應(yīng)力(圖16)。介質(zhì)中不飽和流體，也就相當(dāng)于普通固體，也無需采用有效應(yīng)力。

圖16 應(yīng)力及有效應(yīng)力關(guān)系圖Fig. 16 Relationship of stress and effective stress

當(dāng)φc→1，表明介質(zhì)趨于極度疏松，此時(shí)，結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力公式趨于Terzaghi有效應(yīng)力，即式(12)。

本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力合稱為多孔介質(zhì)的雙重有效應(yīng)力，它適用于所有的介質(zhì)類型。由于多孔介質(zhì)會(huì)同時(shí)產(chǎn)生本體變形和結(jié)構(gòu)變形，因此雙重有效應(yīng)力需同時(shí)使用。對于以產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形為主的疏松土介質(zhì)，結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的應(yīng)用相對多一些。對于以產(chǎn)生本體變形為主的致密巖石，本體有效應(yīng)力的應(yīng)用相對多一些。

雙重有效應(yīng)力與Terzaghi有效應(yīng)力以及介質(zhì)內(nèi)、外應(yīng)力之間的關(guān)系如圖16所示。由圖中曲線可以看出，外應(yīng)力是雙重有效應(yīng)力的上限值，而Terzaghi有效應(yīng)力是雙重有效應(yīng)力的下限值。

很顯然，Terzaghi有效應(yīng)力為結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的極限值，它只適用于極其疏松的多孔介質(zhì)(φc=1)，而且也只能用于研究多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形或破壞行為。但是，Terzaghi有效應(yīng)力并不適用于巖石，因?yàn)閹r石屬于致密介質(zhì)。事實(shí)上，φc=1的多孔介質(zhì)是不存在的，即使是疏松的土介質(zhì)，φc也小于1，這就為Terzaghi有效應(yīng)力在長期的工程應(yīng)用中出現(xiàn)的各種偏差埋下了伏筆。

Terzaghi有效應(yīng)力在工程應(yīng)用中的不適應(yīng)性可通過圖17中的“思想實(shí)驗(yàn)”加以證明[5]。圖17中的密閉容器中放置了一塊巖石。當(dāng)把圖17a中的低壓(1 MPa)升高至圖17b中的高壓(100 MPa)時(shí)，巖石產(chǎn)生了明顯的本體變形(壓縮)。但圖17a中巖石的Terzaghi有效應(yīng)力為0，圖17b中巖石的Terzaghi有效應(yīng)力亦為0，二者完全相等。根據(jù)有效應(yīng)力原理，巖石的變形是由有效應(yīng)力的變化所致，圖17中的巖石產(chǎn)生了明顯的變形，而Terzaghi有效應(yīng)力并沒有發(fā)生任何變化，顯然，巖石的變形與Terzaghi有效應(yīng)力無關(guān)。

圖17 密閉容器中巖石壓縮圖Fig. 17 Compression of rock in a closed container

但是，根據(jù)本體有效應(yīng)力計(jì)算公式(19)，圖17a中巖石的本體有效應(yīng)力為0.52 MPa，圖17b中巖石的本體有效應(yīng)力為52.36 MPa。本體有效應(yīng)力的大幅度提高，導(dǎo)致了巖石的本體變形。圖17中巖石的顆粒排列方式為立方體排列，孔隙度為47.64%。

雙重有效應(yīng)力通過孔隙度把普通固體與多孔介質(zhì)統(tǒng)一了起來，有效應(yīng)力計(jì)算公式中的孔隙度(包括觸點(diǎn)孔隙度)反映了孔隙壓力對有效應(yīng)力的貢獻(xiàn)權(quán)值。雙重有效應(yīng)力反映了多孔介質(zhì)的物質(zhì)結(jié)構(gòu)特征，而Terzaghi有效應(yīng)力則忽視了多孔介質(zhì)的物質(zhì)結(jié)構(gòu)，把內(nèi)、外應(yīng)力同等對待，顯然是不夠科學(xué)的。

K.Terzaghi因提出了Terzaghi有效應(yīng)力而推開了多孔介質(zhì)力學(xué)的大門。在Terzaghi有效應(yīng)力的旗幟下，誕生了土力學(xué)和巖石力學(xué)兩門重要的自然科學(xué)學(xué)科。然而，Terzaghi有效應(yīng)力的應(yīng)用范圍是十分有限的，它只近似適用于極其疏松的多孔介質(zhì)。Biot有效應(yīng)力公式是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，應(yīng)用過程不確定性很大，物理意義不明確。在經(jīng)歷了Terzaghi有效應(yīng)力和Biot有效應(yīng)力兩個(gè)發(fā)展階段之后，雙重有效應(yīng)力的提出又為多孔介質(zhì)力學(xué)的發(fā)展起到了積極的推動(dòng)作用。

6 雙重有效應(yīng)力有何問題？

毛博士在評論筆者提出的雙重有效應(yīng)力時(shí)說[18]：“然而，兩個(gè)有效應(yīng)力表達(dá)式與Biot、Bishop等學(xué)者早期提出的兩個(gè)有效應(yīng)力表達(dá)式相同，而這兩個(gè)表達(dá)式與1955年Laughton經(jīng)典鉛粒高壓實(shí)驗(yàn)相矛盾，在60年代后被逐漸棄用，Skempton、Biship等人提出的有效應(yīng)力表達(dá)式則漸漸被接受?！?/p>

毛博士的這個(gè)說法顯然與事實(shí)不符，雙重有效應(yīng)力由本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力構(gòu)成，本體有效應(yīng)力為式(19)，結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力為式(24)，這兩個(gè)公式與Biot有效應(yīng)力公式(15)有相同的地方嗎？

毛博士論文中沒有給出Bishop有效應(yīng)力的表達(dá)式，Bishop有效應(yīng)力是針對未飽和土介質(zhì)提出的，其公式為[38]

所謂的未飽和土，是指沒有被水完全飽和的土，土中含有一部分空氣，空氣壓力與水相壓力的飽和度加權(quán)平均值就是孔隙中的流體壓力，也就是Terzaghi有效應(yīng)力公式(12)中的孔隙壓力p。因此，Bishop有效應(yīng)力就是Terzaghi有效應(yīng)力的簡單變形，算不上一個(gè)獨(dú)立的有效應(yīng)力。

對比一下不難發(fā)現(xiàn)，筆者提出的本體有效應(yīng)力式(19)和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力式(24)，沒有一個(gè)是與Bishop有效應(yīng)力公式相同的。

毛博士說[18]：“Biot和Bishop兩個(gè)有效應(yīng)力在60年代后被逐漸棄用，Skempton、Biship等人提出的有效應(yīng)力表達(dá)式則漸漸被接受”。這個(gè)說法也是不符合事實(shí)的，Biot有效應(yīng)力目前仍廣泛應(yīng)用于土力學(xué)和巖石力學(xué)中。毛博士所說的Biship有效應(yīng)力應(yīng)該是誤用，其實(shí)并沒有這個(gè)有效應(yīng)力。

K.Terzaghi是土力學(xué)的奠基人，他推動(dòng)建立了“國際土力學(xué)及基礎(chǔ)工程”協(xié)會(huì)，并一直擔(dān)任主席職務(wù)。Terzaghi于1963年去世后該協(xié)會(huì)主席職務(wù)就由Biot接任。Biot是繼Terzaghi之后對多孔介質(zhì)力學(xué)做出杰出貢獻(xiàn)的第二號人物。在Biot長期擔(dān)任國際土力學(xué)及基礎(chǔ)工程協(xié)會(huì)主席職務(wù)期間，Biot有效應(yīng)力不可能被棄用。

毛博士說Skempton有效應(yīng)力正逐漸被接受。所謂的Skempton有效應(yīng)力，其實(shí)就是把Biot有效應(yīng)力公式(12)中的Biot系數(shù)固定為式(16)的一個(gè)特定值[24]，即

式中，為Skempton有效應(yīng)力，MPa。

實(shí)際上，Skempton有效應(yīng)力也包含在Biot有效應(yīng)力之中，算不上一個(gè)獨(dú)立的有效應(yīng)力，只是Biot有效應(yīng)力的一個(gè)特例，實(shí)際應(yīng)用并不多，因?yàn)橥庥^體積和骨架體積的壓縮系數(shù)都不好測量。

毛博士試圖用圖17中的思想實(shí)驗(yàn)證偽筆者的雙重有效應(yīng)力。毛博士說[18]：“對于完全浸沒在靜水壓中的多孔介質(zhì)，無論其微觀顆粒間接觸面積和孔隙度為多少，多孔介質(zhì)各處所受應(yīng)力均為p。其微觀顆粒和宏觀整體都在應(yīng)力p下均勻壓縮，本體有效應(yīng)力應(yīng)為p，無顆粒間變形或結(jié)構(gòu)變形，結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力應(yīng)為0”?！斑@與本體有效應(yīng)力應(yīng)為p、結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力為0的實(shí)際情況不一致，顆粒等效平均應(yīng)力、顆粒間等效平均應(yīng)力大小均不能決定本體變形和結(jié)構(gòu)變形大小，需要重新認(rèn)識?！泵┦空f的顆粒等效平均應(yīng)力就是筆者提出的本體有效應(yīng)力，顆粒間等效平均應(yīng)力就是筆者提出的結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力。

毛博士為何認(rèn)為圖17中的本體有效應(yīng)力應(yīng)該為p呢？實(shí)際上，圖17中的骨架應(yīng)力為p，骨架應(yīng)力不是本體有效應(yīng)力，骨架應(yīng)力折算到整個(gè)介質(zhì)橫截面積上之后才是本體有效應(yīng)力，因此，圖17的本體有效應(yīng)力為(1?φ)p，而不是毛博士說的為p。本體有效應(yīng)力決定介質(zhì)的本體變形，即介質(zhì)的壓縮變形。只要存在本體有效應(yīng)力，介質(zhì)就會(huì)被壓縮，即出現(xiàn)本體變形。本體有效應(yīng)力與本體變形之間存在對應(yīng)關(guān)系。圖17解釋了介質(zhì)的本體變形機(jī)制。毛博士的“顆粒等效平均應(yīng)力大小不能決定本體變形大小”的說法是不成立的。

圖17中的結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力為(1?φc)p。毛博士認(rèn)為圖17沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)變形，就不應(yīng)該有結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力或結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力應(yīng)該為0。所謂的結(jié)構(gòu)變形，其實(shí)就是介質(zhì)的破壞，也就是圖9中的塑性變形。圖9中只要有應(yīng)力存在，就有彈性變形，但不一定有塑性變形。只有當(dāng)應(yīng)力超過彈性極限應(yīng)力時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)塑性變形。圖17中存在結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力，而沒有出現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形，是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)有效應(yīng)力還沒有達(dá)到極限應(yīng)力。因此，毛博士的“顆粒間等效平均應(yīng)力大小不能決定本體變形和結(jié)構(gòu)變形大小”的說法也是不成立的。

毛博士還用Laughton的鉛粒高壓實(shí)驗(yàn)結(jié)果來否定筆者的雙重有效應(yīng)力[18]：“此外，顆粒等效平均應(yīng)力和顆粒間等效平均應(yīng)力表達(dá)式分別與孔隙度、顆粒間接觸面積有關(guān)，而1955年Laughton經(jīng)典鉛粒高壓實(shí)驗(yàn)表明：改變總應(yīng)力和流壓，無論顆粒接觸面積為0.03、0.11還是0.95，孔隙度為0.4、0.31還是0.03，鉛粒多孔介質(zhì)有效應(yīng)力系數(shù)(即Biot系數(shù))均接近于1，其有效應(yīng)力與孔隙度、接觸面積均無直接關(guān)系，這也說明舊雙重有效應(yīng)力存在問題?！?/p>

如果毛博士認(rèn)為Laughton的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是正確的，繼續(xù)研究有效應(yīng)力就沒有意義了，因?yàn)椴还苁裁礃拥亩嗫捉橘|(zhì)，Biot系數(shù)均接近于1，直接使用Terzaghi有效應(yīng)力就可以了，還研究其他的有效應(yīng)力干什么呢？孔隙度為3%的致密介質(zhì)與孔隙度為40%的疏松介質(zhì)，外應(yīng)力與內(nèi)應(yīng)力對介質(zhì)的作用是完全等價(jià)的，這不就忽視了多孔介質(zhì)的物質(zhì)結(jié)構(gòu)了嗎？如果孔隙度為0，介質(zhì)中沒有流體了，也就沒有孔隙壓力了，還要繼續(xù)采用Terzaghi有效應(yīng)力研究多孔介質(zhì)的力學(xué)行為嗎？毛博士論文中的“顆粒接觸面積為0.03、0.11還是0.95”是什么意思？

表1為Laughton的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[18]，Biot系數(shù)出現(xiàn)了大于1的情況，可以判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不正確的，因?yàn)槎嗫捉橘|(zhì)將出現(xiàn)自行膨脹的現(xiàn)象，即在外壓與內(nèi)壓相同的情況下，介質(zhì)的有效應(yīng)力為負(fù)值，介質(zhì)不僅沒有被壓縮，還會(huì)莫名其妙的膨脹變大，成了圖17中壓縮過程的逆過程。表1中小于1的數(shù)值也普遍偏高。

7 新雙重有效應(yīng)力質(zhì)疑

毛博士在否定了筆者的雙重有效應(yīng)力之后，又提出了他自己的雙重有效應(yīng)力，并命名為新雙重有效應(yīng)力[18]，而把筆者提出的雙重有效應(yīng)力稱之為舊雙重有效應(yīng)力。實(shí)際上，毛博士的新雙重有效應(yīng)力存在很大的問題，下面對其進(jìn)行分析。

7.1 新結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力

毛博士從圖17的思想實(shí)驗(yàn)中得出[18]，“在靜水壓中，顆粒均勻受力，顆粒間真實(shí)平均應(yīng)力為p，但結(jié)構(gòu)變形為0，這說明于顆粒間真實(shí)平均應(yīng)力p并不會(huì)引起顆粒間變形。顆粒間作用力中至少有一部分用來平衡流壓p，這部分應(yīng)力與孔隙流壓共同作用，均勻壓縮顆粒從而不產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形；只有平衡流壓之外的凈應(yīng)力集中作用在顆粒接觸面上產(chǎn)生額外的偏應(yīng)力，從而引起顆粒間滑動(dòng)變形，產(chǎn)生介質(zhì)結(jié)構(gòu)變形。即引起顆粒間變形的真正有效的應(yīng)力為超出平衡孔隙流壓之外的顆粒間應(yīng)力?！庇谑?，毛博士定義了新結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力，本文稱之為毛氏結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力，即

把式(23)代入式(31)，得毛氏結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的計(jì)算公式

由式(32)可以看出，毛氏結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力其實(shí)就是Terzaghi有效應(yīng)力。

表1 鉛粒高壓測試結(jié)果Table 1 High pressure test results of lead shot

很顯然，毛博士認(rèn)為顆粒之間的接觸應(yīng)力數(shù)值中，超出孔隙壓力的部分才能產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，若接觸應(yīng)力等于或小于孔隙壓力，則不能產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形。這個(gè)觀點(diǎn)實(shí)際上是不成立的。若介質(zhì)為膠結(jié)巖石，超出孔隙壓力的接觸應(yīng)力也不會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，測量巖石壓縮系數(shù)的過程就是如此，因?yàn)橐坏╊w粒間產(chǎn)生滑動(dòng)(結(jié)構(gòu)變形)，巖石就碎了。地層條件下巖石的接觸應(yīng)力基本上都大于孔隙壓力，也沒發(fā)現(xiàn)巖石都是碎的，而通常都是完整成形的。

如果接觸應(yīng)力等于孔隙壓力，就不產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形了嗎？當(dāng)然也不是。如果圖17中的多孔介質(zhì)是疏松的干土樣，往里面注水，土樣就會(huì)沉陷固結(jié)，即出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)變形，很多土壤下雨后出現(xiàn)的變形就屬于這種情況。

如果接觸應(yīng)力小于孔隙壓力，也是會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形的。壓裂時(shí)往地層巖石里注入高壓流體，孔隙壓力不斷升高，而接觸應(yīng)力不斷減小，當(dāng)接觸應(yīng)力小到負(fù)值并到達(dá)破裂極限時(shí)，地層就產(chǎn)生裂縫了，即出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)變形。

因此，多孔介質(zhì)在什么情況下產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形，并不唯一地取決于結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力的數(shù)值，還同時(shí)取決于介質(zhì)本身的性質(zhì)。

通常上面的分析不難看出，毛氏結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力并不是一個(gè)科學(xué)的概念，其數(shù)值大于0，介質(zhì)也不一定產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形；其數(shù)值小于0，介質(zhì)也可能產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形。

7.2 新本體有效應(yīng)力

毛博士在定義新本體有效應(yīng)力(毛氏本體有效應(yīng)力)時(shí)說[18]：“顆粒受到孔隙流壓和顆粒間應(yīng)力的共同作用。為方便計(jì)算，將顆粒間應(yīng)力分為兩部分來計(jì)算：一部分用來平衡孔隙流壓p，與孔隙流壓共同作用均勻壓縮顆粒，只引起顆粒體積變形，不引起顆粒形狀變形；另外一部分為超出平衡孔隙流壓之外的顆粒間應(yīng)力σc-p，這部分作用力集中作用在顆粒間接觸面積上，不但引起顆粒體積變形，還引起顆粒形狀變形?！痹谶@樣一個(gè)思路下，毛博士給出的新本體有效應(yīng)力為[18]

cbg的計(jì)算公式為

式中，cbsc為顆粒形狀變形導(dǎo)致的介質(zhì)整體壓縮系數(shù)，MPa-1。

不知道毛博士是如何區(qū)分顆粒均勻壓縮產(chǎn)生的介質(zhì)變形和顆粒變形產(chǎn)生的介質(zhì)變形的？又是如何測量顆粒均勻壓縮的壓縮系數(shù)和顆粒變形導(dǎo)致的介質(zhì)整體壓縮系數(shù)的？如果不能區(qū)分，又不能分別測量，毛氏本體有效應(yīng)力還能計(jì)算和使用嗎？

7.3 總有效應(yīng)力

在新雙重有效應(yīng)力的基礎(chǔ)上，毛博士又定義了介質(zhì)的總有效應(yīng)力，即[18]

實(shí)際上，毛氏總有效應(yīng)力就是式(30)的Skempton有效應(yīng)力，只不過Skempton有效應(yīng)力沒有明確說明決定介質(zhì)的何種變形，而毛氏總有效應(yīng)力明確說明了決定介質(zhì)的結(jié)構(gòu)變形和本體變形，即決定介質(zhì)的總變形。

前面已經(jīng)說過，Skempton有效應(yīng)力就是Biot有效應(yīng)力的一個(gè)特例，而且包含在Biot有效應(yīng)力之中。Biot有效應(yīng)力的Biot系數(shù)取經(jīng)驗(yàn)值，雖然不嚴(yán)謹(jǐn)，但方便實(shí)用。而Skempton有效應(yīng)力則因?yàn)殡y以測量骨架壓縮系數(shù)和介質(zhì)壓縮系數(shù)而不具有實(shí)用性。

更為嚴(yán)重的問題是，有了總有效應(yīng)力之后，新雙重有效應(yīng)力就沒用了，用一個(gè)總有效應(yīng)力就可以解決多孔介質(zhì)的力學(xué)問題了。毛博士的總有效應(yīng)力就是Skempton有效應(yīng)力，而Skempton有效應(yīng)力又是一個(gè)不具有實(shí)用性的有效應(yīng)力。這樣一來，所有的研究就又回到了原點(diǎn)。

8 新雙重有效應(yīng)力的驗(yàn)證

毛博士為了驗(yàn)證新雙重有效應(yīng)力的科學(xué)性，選擇了一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而不是生產(chǎn)現(xiàn)象。

(1)1955年Laughton的經(jīng)典鉛粒高壓實(shí)驗(yàn)[18]

實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1。前面已經(jīng)說過，Laughton實(shí)驗(yàn)的最大問題是Biot系數(shù)出現(xiàn)了大于1的情況，多孔介質(zhì)將會(huì)出現(xiàn)自行膨脹的現(xiàn)象。毛博士說[18]：“沒有顆粒形狀變形機(jī)理，則無法解釋孔隙度被壓縮到接近于0的實(shí)驗(yàn)過程，用舊雙重有效應(yīng)力理論也無法解釋有效應(yīng)力系數(shù)在孔隙度為0時(shí)依然接近1的測試結(jié)果?！?/p>

“孔隙度為0，Biot系數(shù)為1”，這不是自我否定嗎？孔隙度為0的多孔介質(zhì)，就變成了普通固體，也就不需要有效應(yīng)力了，直接采用外應(yīng)力研究介質(zhì)的力學(xué)行為即可。如果再從外應(yīng)力中減去孔隙壓力，即采用Terzaghi有效應(yīng)力，這樣就把外應(yīng)力的作用減弱了，固體力學(xué)從來沒有這么做過，毛博士這樣做過嗎？

(2)Hall圖版

巖石的孔隙壓縮系數(shù)定義為單位壓力的孔隙體積變化率[19]，即

式中，cp為巖石孔隙壓縮系數(shù)，MPa-1。

人們根據(jù)式(36)，采用體積法測量了巖石的孔隙壓縮系數(shù)[8]。H.N.Hall通過大量的實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)并繪制出了壓縮系數(shù)與孔隙度的相關(guān)曲線，后人稱之為Hall圖版(圖18)[39]。Hall圖版長期應(yīng)用于石油工程計(jì)算中，但是，Hall圖版有3個(gè)明顯的錯(cuò)誤。第一，Hall圖版曲線顯示了錯(cuò)誤的邏輯關(guān)系。根據(jù)Hall圖版，巖石越疏松或孔隙度越大，巖石的壓縮系數(shù)就越小，即巖石越難以壓縮。實(shí)際上，孔隙度越大或巖石越疏松，巖石應(yīng)該越容易壓縮，巖石的壓縮系數(shù)應(yīng)該越大。第二，Hall圖版與巖石的力學(xué)性質(zhì)無關(guān)。根據(jù)Hall圖版，只要孔隙度的數(shù)值相等，不管巖石軟硬，其壓縮系數(shù)都相等。第三，用Hall圖版確定的巖石壓縮系數(shù)普遍偏高，高于了液態(tài)油和地層水，極端情況下甚至與氣體的壓縮系數(shù)相同，缺乏基本的合理性。由此可見，Hall圖版是一個(gè)錯(cuò)誤的關(guān)系曲線。

圖18 Hall圖版曲線Fig. 18 Hall's correlation plot

在雙重有效應(yīng)力理論指導(dǎo)下，筆者導(dǎo)出了巖石孔隙壓縮系數(shù)的理論公式[7]，即

式(37)為巖石孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度和骨架壓縮系數(shù)的關(guān)系方程，由該方程可以看出，巖石的孔隙度越大，巖石的孔隙壓縮系數(shù)也就越大，即巖石越疏松越容易壓縮。圖19顯示了巖石的孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關(guān)系曲線(彈性模量為1×104MPa)。式(37)不僅呈現(xiàn)出了正確的邏輯關(guān)系，而且?guī)r石的壓縮系數(shù)也遠(yuǎn)低于了流體。

毛博士不僅不認(rèn)同筆者提出的式(37)，還堅(jiān)持認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果(Hall圖版)是正確的，并在新雙重有效應(yīng)力理論的指導(dǎo)下，導(dǎo)出了一個(gè)新的巖石孔隙壓縮系數(shù)公式，即[18]

毛博士說[18]：“孔隙壓縮系數(shù)理論計(jì)算式(38)所反應(yīng)的規(guī)律與Hall曲線圖版的規(guī)律也一致，Hall圖版如圖18所示，孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負(fù)相關(guān)，這是因?yàn)榭紫扼w積自身也是孔隙壓縮系數(shù)的分母?！?/p>

圖19 巖石孔隙壓縮系數(shù)曲線(彈性模量：1×104 MPa)Fig. 19 Rock's pore compressibility curve of soft minerals(elastic modulus: 1×104 MPa)

毛博士認(rèn)為孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負(fù)相關(guān)，是因?yàn)榭紫扼w積在壓縮系數(shù)定義式(36)的分母上，孔隙度小，孔隙體積就小，因此，壓縮系數(shù)就高。這個(gè)邏輯關(guān)系顯然是不成立的。壓縮系數(shù)并非與孔隙體積成反比，而是與孔隙體積的變化率成正比，孔隙體積小，單位壓力的孔隙體積變化量就小，二者的比值并不一定高。如果毛博士的說法正確，則用1 mL水測量的壓縮系數(shù)一定比用1 L水測量的壓縮系數(shù)高。實(shí)際情況當(dāng)然不是這樣，因?yàn)閴嚎s系數(shù)表征的是體積的變化率，與體積的大小無關(guān)，只與物質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。

其實(shí)，用體積法測量的巖石孔隙壓縮系數(shù)偏高，是巖心的表皮效應(yīng)所致[40]，并不是巖石本身的性質(zhì)。測量巖石壓縮系數(shù)時(shí)，把巖心放入塑料封套中，由于巖心與封套之間存在微間隙(圖20)，增加外壓時(shí)，巖心還沒有被壓縮，微間隙率先被壓縮了，由于微間隙中為空氣，因此才測量出了比油水還高的壓縮系數(shù)，有時(shí)候甚至與氣體的壓縮系數(shù)相同，巖石本身不可能有這么高的壓縮系數(shù)。

毛博士把實(shí)測的高壓縮系數(shù)歸因于“巖石顆粒間的滑動(dòng)變形”[18]，其實(shí)，這個(gè)觀點(diǎn)是不成立的，致密巖石的顆粒之間都被膠結(jié)物膠結(jié)好了，壓縮實(shí)驗(yàn)中不可能出現(xiàn)顆粒間的滑動(dòng)現(xiàn)象(結(jié)構(gòu)變形)。如果出現(xiàn)了顆粒間的滑動(dòng)，巖心就碎了。實(shí)際上測量完壓縮系數(shù)之后，巖心仍然完好無損，說明沒有出現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形。結(jié)構(gòu)變形只存在于疏松的介質(zhì)之中(圖5)，致密介質(zhì)不會(huì)出現(xiàn)。顆粒出現(xiàn)滑動(dòng)，就不叫壓縮了，而叫壓實(shí)。由于無法取到完整的巖心，疏松介質(zhì)的壓縮系數(shù)也是不能實(shí)測的，人們平時(shí)測量的壓縮系數(shù)都是致密巖石的。

圖20 巖心—封套—微間隙Fig. 20 Core-sleeve-microinterstice

現(xiàn)在再分析一下式(38)，毛博士從公式形式上得出孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負(fù)相關(guān)的認(rèn)識，這個(gè)認(rèn)識明顯不正確。實(shí)際上，毛博士誤解了自己導(dǎo)出的式(38)，公式中介質(zhì)外觀體積的壓縮系數(shù)并不是一個(gè)常數(shù)，而是隨孔隙度發(fā)生變化，孔隙度越大，巖石中的孔隙體積就越多，巖石就越容易壓縮，外觀體積的壓縮系數(shù)也就越高，筆者在文獻(xiàn)[9]中給出了外觀體積壓縮系數(shù)與孔隙度的關(guān)系式，即

把式(39)代入式(38)，整理后得到的公式正是筆者提出的式(37)，孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度沒有出現(xiàn)負(fù)相關(guān)，而是正相關(guān)。毛博士沒有把公式推導(dǎo)徹底，在中間階段就下結(jié)論，于是就出現(xiàn)了上面的錯(cuò)誤認(rèn)識。錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源就是把外觀體積的壓縮系數(shù)當(dāng)作常數(shù)了，雖然骨架的壓縮系數(shù)為常數(shù)，但外觀體積的壓縮系數(shù)卻是隨孔隙度變化的一個(gè)變量。

體積法之所以測量出了邏輯反轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(Hall圖版)，是由于測量方法本身存在的系統(tǒng)誤差所致。若采用筆者提出的彈性模量法[8]，則測量出了正確的邏輯關(guān)系，孔隙度越高的巖石，其孔隙壓縮系數(shù)也越高(表2)。而且，巖石的孔隙壓縮系數(shù)都遠(yuǎn)低于了流體的壓縮系數(shù)。地層水的壓縮系數(shù)一般在(3～5)×10-4MPa-1。

9 結(jié)論

(1)Terzaghi有效應(yīng)力為外壓與內(nèi)壓的簡單差值，它只適用于極其疏松的多孔介質(zhì)，不適用于致密介質(zhì)。Biot有效應(yīng)力是對Terzaghi有效應(yīng)力的修正，由于Biot系數(shù)沒有明確的物理意義，通常取經(jīng)驗(yàn)值，因而是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。

表2 巖石力學(xué)參數(shù)和孔隙壓縮系數(shù)Table 2 Mechanical parameters of rocks and pore compressibility

(2)多孔介質(zhì)存在本體變形和結(jié)構(gòu)變形兩種基本的變形機(jī)制。與兩種變形機(jī)制相對應(yīng)，多孔介質(zhì)存在本體有效應(yīng)力和結(jié)構(gòu)有效應(yīng)力兩個(gè)有效應(yīng)力，合稱為雙重有效應(yīng)力。雙重有效應(yīng)力考慮了介質(zhì)的物質(zhì)結(jié)構(gòu)，引入了介質(zhì)的物性參數(shù)，可用于不同的介質(zhì)類型，方便而靈活。

(3)新雙重有效應(yīng)力的概念定義不嚴(yán)謹(jǐn)，總有效應(yīng)力又替代了新雙重有效應(yīng)力，而總有效應(yīng)力又是Skempton有效應(yīng)力，這讓新雙重有效應(yīng)力失去了意義。

(4)新雙重有效應(yīng)力無法解釋自然現(xiàn)象，也無法通過實(shí)踐的檢驗(yàn)，在新雙重有效應(yīng)力理論指導(dǎo)下導(dǎo)出的孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度不是負(fù)相關(guān)，而是正相關(guān)。

【結(jié)束語】

Terzaghi有效應(yīng)力為多孔介質(zhì)的外壓與內(nèi)壓的簡單差值，公式形式簡單，沒有待定參數(shù)，使用方便，因而受到人們的喜歡。但嚴(yán)格說來，Terzaghi有效應(yīng)力并不科學(xué)，也沒有適用對象，只能近似用于極其疏松的土介質(zhì)，并不適合于致密的巖石。Biot有效應(yīng)力是對Terzaghi有效應(yīng)力的修正，算是一個(gè)進(jìn)步，但公式中多了一個(gè)待定參數(shù)Biot系數(shù)，使用起來相對麻煩一些。由于Biot系數(shù)缺少嚴(yán)格的物理意義，為了確定它的數(shù)值，人們做了大量的實(shí)驗(yàn)研究。由于實(shí)驗(yàn)存在的表皮效應(yīng)和隨機(jī)誤差，測量的結(jié)果五花八門，且數(shù)量極大，但依然無法從中得出統(tǒng)一的結(jié)論。筆者從多孔介質(zhì)的變形機(jī)制出發(fā)，通過嚴(yán)格的力學(xué)分析，建立了多孔介質(zhì)的雙重有效應(yīng)力，明確了有效應(yīng)力的物理意義，給多孔介質(zhì)的力學(xué)研究提供了方便，也讓實(shí)驗(yàn)研究有了理論依據(jù)。希望雙重有效應(yīng)力能夠成為大家研究多孔介質(zhì)力學(xué)的理論工具，也歡迎大家繼續(xù)對其進(jìn)行質(zhì)疑和批判，以便今后對其不斷改進(jìn)和完善。