龔蘭芳,曹成濤,許倫輝

(1.廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自動(dòng)化工程系，廣州 510925; 2.廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能交通工程技術(shù)應(yīng)用中心,廣州 510650; 3.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

一般來說,下肢康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人對指數(shù)積(Product of Exponentials,POE)運(yùn)動(dòng)控制、協(xié)作控制、軌跡規(guī)劃和超高速運(yùn)動(dòng)性能具有較高的要求[1-4].因此,對下肢康復(fù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和軌跡規(guī)劃進(jìn)行研究，是提升康復(fù)類下肢康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人靈活性和靈敏度的重要保證[5].下肢康復(fù)機(jī)器人步態(tài)訓(xùn)練有兩種主要方法:跑步機(jī)訓(xùn)練和可編程末端執(zhí)行器訓(xùn)練.

本文首先研究了下肢康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人的訓(xùn)練原理,然后建立了POE運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)辨識模型[5].針對簡化后的模型參數(shù)，采用最小二乘法辨識了動(dòng)力學(xué)參數(shù),從而實(shí)現(xiàn)了協(xié)作控制.最后在前面研究的基礎(chǔ)上,提出了一種加加速度受限的非對稱S型軌跡規(guī)劃方法,給出了一種S型軌跡插補(bǔ)形狀的完整算法,對提升下肢康復(fù)系統(tǒng)啟動(dòng)和停止速度、確保軌跡平滑等具有積極作用.與許多其他軌跡規(guī)劃技術(shù)不同,保證了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束,表示為所有機(jī)器人關(guān)節(jié)的速度、加速度和抖動(dòng)的絕對值的上限.通過系統(tǒng)實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證協(xié)作控制算法和位置伺服系統(tǒng)下S型軌跡插補(bǔ)規(guī)劃控制結(jié)果的正確性.

1 下肢康復(fù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制

圖1為所研究的下肢康復(fù)機(jī)器人,它在肢體修復(fù)過程中能夠通過編程方式加以控制,并且實(shí)現(xiàn)可變的預(yù)定步進(jìn)姿勢和力感測[6-8].下肢康復(fù)機(jī)器人可以幫助患者模擬正常人的腳步,鍛煉腿部肌肉,逐漸恢復(fù)神經(jīng)控制,從而幫助患者完成行走動(dòng)作,最終以正常方式完全行走.

圖1 柔性下肢康復(fù)機(jī)器人Fig.1 Flexible lower limb rehabilitation robot

1.1 POE正運(yùn)動(dòng)學(xué)

手臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正解:串聯(lián)開鏈機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)公式,對于n個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)/移動(dòng)關(guān)節(jié)的串聯(lián)機(jī)器人來說,設(shè)base0為基坐標(biāo)系,為Tooln+1為工具坐標(biāo)系,則應(yīng)用POE公式計(jì)算機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型步驟如下:

步驟1計(jì)算機(jī)器人末端初始位姿

(1)

式中:Rst為姿態(tài)矩陣；Pst為剛體的位置矢量.

根據(jù)歐拉定理,任意一個(gè)三維空內(nèi)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都可以表示為圍繞著某一個(gè)軸ω的轉(zhuǎn)動(dòng),假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度表示為θ,那么可以將該旋轉(zhuǎn)矩陣表示為矩陣指數(shù)的形式,即

(2)

對于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)來說，q為轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的坐標(biāo),關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)旋量坐標(biāo)表示為

則

對于移動(dòng)關(guān)節(jié)來說,運(yùn)動(dòng)旋量中的ω對應(yīng)分量為0,即

步驟3代入POE公式

(3)

1.2 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模

對于任何機(jī)械系統(tǒng),拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)的動(dòng)能Ek和勢能Ep之差:

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(稱第二類拉格朗日方程)為

(4)

利用拉格朗日函數(shù)L,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

由于勢能Ek不顯含速度項(xiàng),因此，動(dòng)力學(xué)方程也可以寫成

(5)

1.2.1拉格朗日動(dòng)力學(xué)

拉格朗日(動(dòng)能與位能法):m1,m2,m3分別表示3個(gè)桿件質(zhì)量,l1,l2,l3分別表示3個(gè)桿件長度,d1,d2,d3分別表示3個(gè)桿件質(zhì)心到關(guān)節(jié)的距離.

設(shè)關(guān)節(jié)1上升高度為h,3個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度分別為θ1,θ2,θ3,q1=θ1,q2=θ2,q3=θ3,則康復(fù)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)位置如圖2所示.

圖2 康復(fù)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)位置Fig.2 The position of a rehabilitative robot in the motion plane

1.2.2機(jī)器人總勢能和動(dòng)能

康復(fù)機(jī)器人桿件1的勢能P1為

康復(fù)機(jī)器人桿件2的勢能P2為

康復(fù)機(jī)器人桿件3的勢能P3

則康復(fù)機(jī)器人總位能為

(6)

康復(fù)機(jī)器人連桿1的動(dòng)能K1為

康復(fù)機(jī)器人連桿2的動(dòng)能K2為

康復(fù)機(jī)器人連桿3的動(dòng)能K3為

式中：J1，J2，J3分別為連桿1，2，3的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.則康復(fù)機(jī)器人總動(dòng)能為

(7)

1.2.3拉格朗日函數(shù)

拉格朗日函數(shù)L為

則康復(fù)機(jī)器人各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩為

式中:C1,C2,C3分別為3根連桿驅(qū)動(dòng)電機(jī)的電勢系數(shù)；S1，S2，S3分別為第1，2，3個(gè)關(guān)節(jié)施轉(zhuǎn)角度的正弦值.

1.3 摩擦力矩?cái)M合方法

根據(jù)對機(jī)器人的摩擦力矩Tf的測試,可以看出摩擦力矩的大小變化與機(jī)器人的重力矩、加速轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的大小變化相關(guān).為了簡單的線性化擬合,試將摩擦力矩?cái)M合公式確定如下:

(8)

計(jì)算角速度影響因數(shù)b,利用測量軟件測得Tf,消除將Tf中的重力矩,則

此時(shí),Tf只有角速度和加速轉(zhuǎn)矩的影響,選取機(jī)器人平穩(wěn)運(yùn)行的時(shí)間段,在角速度平穩(wěn)時(shí)進(jìn)行影響因數(shù)b的擬合.

計(jì)算加速轉(zhuǎn)矩影響因數(shù)c,在重力矩和角速度影響因數(shù)確定完成之后,簡單運(yùn)算即可求出加速轉(zhuǎn)矩影響因數(shù).

2 S型軌跡規(guī)劃

機(jī)器人技術(shù)的一個(gè)基本問題在于軌跡規(guī)劃,它可以這樣定義:找出沿給定幾何路徑的時(shí)間運(yùn)動(dòng)規(guī)律,軌跡差補(bǔ)規(guī)劃專用于為機(jī)器人的控制系統(tǒng)生成驅(qū)動(dòng)器的參考輸入,以便電動(dòng)機(jī)能夠執(zhí)行該運(yùn)動(dòng).在軌跡差補(bǔ)中,運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束是軌跡規(guī)劃算法的輸入,而關(guān)節(jié)(或末端效應(yīng)器)的軌跡表示為位置、速度和加速度值的時(shí)間序列,是輸出.

步驟1V為S型速度曲線的速度,J為S型速度曲線的加加速度,P為所走的路程,t為系統(tǒng)獲得的機(jī)器人狀態(tài)的相應(yīng)時(shí)間序列.對于t0～t1

步驟2對于t1～t2

步驟3對于t2～t3

步驟4對于t3～t4

步驟5對于t4～t5

步驟6對于t5～t6

步驟7對于t6～t7

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 協(xié)作控制算法驗(yàn)證

本文在研發(fā)了柔性下肢康復(fù)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)控制框架的基礎(chǔ)上,驗(yàn)證軟件編寫的拉格朗日法的正確性.圖3是使用機(jī)器人平臺控制器展示協(xié)作控制算法,從圖3(a)和圖3(b)對比分析數(shù)據(jù)圖可知,在機(jī)器人零力控制即不受重力和摩擦力的條件下,寫作控制算法具有良好的效果,確實(shí)有效,從側(cè)面驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)算法和辨識出參數(shù)的準(zhǔn)確性,可以有效地用到協(xié)作功能中去.

圖3 柔性下肢康復(fù)機(jī)器人負(fù)載零力控制Fig.3 Load zero force control of flexible lower limb rehabilitation robot

3.2 軌跡規(guī)劃實(shí)驗(yàn)

從圖4可以看出S型軌跡規(guī)劃的正確性.在關(guān)節(jié)空間中而不是在操作空間中規(guī)劃軌跡具有一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn),即控制系統(tǒng)作用于操縱器而不是作用于末端作用器,所以在聯(lián)合工作空間內(nèi)更容易實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡的調(diào)整.此外,關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃可以避免由運(yùn)動(dòng)奇點(diǎn)和操縱引起的問題.但是,在關(guān)節(jié)空間中，進(jìn)行軌跡規(guī)劃中,在關(guān)節(jié)與末端作用器連接過程中,引入的非線性操作將會影響末端效應(yīng)器動(dòng)作執(zhí)行的可預(yù)見性.S型軌跡規(guī)劃要求伺服驅(qū)動(dòng)通常采用位置控制,提高了電動(dòng)機(jī)的速度和電流響應(yīng)速度,進(jìn)而改善了位置控制的效果.

圖4 S型軌跡規(guī)劃Fig.4 S-shaped trajectory planning diagram

4 結(jié)語

本文以下肢康復(fù)機(jī)器人為研究對象,進(jìn)行了分析.針對下肢康復(fù)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)特點(diǎn),首先運(yùn)用POE運(yùn)動(dòng)控制求解了運(yùn)動(dòng)學(xué)問題,然后構(gòu)建了拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程,同時(shí)提出了一種摩擦力矩?cái)M合的方法來構(gòu)建協(xié)作控制算法模型,最后討論了S型軌跡規(guī)劃的數(shù)學(xué)問題.規(guī)劃方法可以獲得較小的位置誤差和較低的系統(tǒng)振動(dòng),可以通過S型規(guī)劃插補(bǔ)產(chǎn)生平滑的軌跡,即具有良好的連續(xù)性特征的軌跡來實(shí)現(xiàn).經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)與S規(guī)劃算法對下肢康復(fù)機(jī)器人性能有很大的提升,同時(shí)對于機(jī)器人的精確運(yùn)動(dòng)控制有著重要的意義.下肢康復(fù)機(jī)器人初步實(shí)施被動(dòng)者的被動(dòng)動(dòng)作和輔助動(dòng)作,除了考慮運(yùn)動(dòng)模式,還要補(bǔ)充其他功能,下肢康復(fù)訓(xùn)練機(jī)器人將是一個(gè)更復(fù)雜的系統(tǒng).