楊利金

摘 要：章節(jié)起始課在每一個章節(jié)中起著提綱挈領(lǐng)的作用，浙教版初中數(shù)學(xué)七上《3.1平方根》屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，它的作用是非常重要的。在一核二心的模式下，主要通過引領(lǐng)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)現(xiàn)實，提出探求課題;啟發(fā)學(xué)生生成核心知識，激發(fā)數(shù)學(xué)思考;激發(fā)學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，解決數(shù)學(xué)問題;幫助學(xué)生整體性回顧與總結(jié)，反思中埋伏筆;建構(gòu)了一定的課堂結(jié)構(gòu)，為后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)鋪下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：一核二心 生長點 回顧

中圖分類號：G633文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1003-9082（2019）12-0-02

數(shù)學(xué)化更注重強調(diào)數(shù)學(xué)的實用性，讓人們用數(shù)學(xué)邏輯思考現(xiàn)實世界中的問題。同時，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要更好地掌握數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)公式，必須與現(xiàn)實世界相結(jié)合。數(shù)學(xué)化思想在強調(diào)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性的同時，也強調(diào)數(shù)學(xué)知識在應(yīng)用過程中的再創(chuàng)造。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)不是簡單的抽象，更重要的是有自身具體的應(yīng)用價值。

一、“一核”——數(shù)學(xué)理解

浙教版初中數(shù)學(xué)七上《3.1平方根》屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，從數(shù)系擴展來看，為了運算的封閉，完成初中階段數(shù)系的擴充，這樣就從有理數(shù)到實數(shù)進行擴充;從數(shù)的運算來看，乘方運算到開方運算，出現(xiàn)了極限運算;從知識作用來看，這個知識的學(xué)習(xí)是后續(xù)的根式、方程、函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容有重要的奠基作用。

我們知道等號的作用有表示等價與表示運算結(jié)果兩類，比如=5中，等號的作用表示等式兩邊的量是等價的，x2 =25，x=±5也同樣。又如1+2=3中，這個等號的作用就表示運算的結(jié)果。等價是“充要條件”而表示運算結(jié)果則是“充分不必要條件”。表示的是一個數(shù)，是一個完整的數(shù)，不可分開，開方運算的結(jié)果用這樣的數(shù)表示，單獨理解符號“”并沒有意義，因為它不是運算符。

1.教師理解

浙教版七上第三章是學(xué)生剛學(xué)完有理數(shù)和有理數(shù)的運算，嘗試系統(tǒng)地認識數(shù)。本章學(xué)習(xí)應(yīng)遵循代數(shù)學(xué)習(xí)和研究的一般方法，首先在接觸概念之前應(yīng)該思考，從哪里來。數(shù)學(xué)來自生活，就像生活中接觸正數(shù)對于負數(shù)等。通過圖片的呈現(xiàn)，讓學(xué)生引起認知沖突，發(fā)現(xiàn)還有一些東西是我們目前沒有學(xué)過的數(shù)表示，但是應(yīng)該是一個數(shù)，所以我們得定義一下，然后統(tǒng)一。從平方根和算術(shù)平方根的角度講，當(dāng)然不一定知道這個名稱，這就是一個發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。比如x2 =2，則x等于多少？因為存在，但是未知，所以要創(chuàng)造。

開方運算是平方根的根本，是開方運算的需要才有平方根的概念，類比分數(shù)，除法運算不封閉，所以就有分數(shù)，開平方運算在有理數(shù)內(nèi)不封閉，就有平方根。當(dāng)然開方運算也是基于實際的需要。浙教版中《平方根》這節(jié)課所有的例題和習(xí)題中結(jié)果都是有理數(shù)，也就是能開方開出來的，所以第一節(jié)課教材的用意是讓學(xué)生從計算角度看平方根的符號。第二節(jié)是實數(shù)，當(dāng)開方后結(jié)果是無理數(shù)的時候，根號更像是一個符號，如，代表的是無理數(shù)，讓學(xué)生從符號角度去看平方根。這與減號這個符號是類似的。平方根學(xué)生最難理解的是破壞了學(xué)生原有的計算體系，原來都是1對1的，而現(xiàn)在正數(shù)的開平方運算有兩個，這就讓學(xué)生的認知產(chǎn)生沖突，也是學(xué)生難以接受的地方。

數(shù)系擴充：引入一種新數(shù)（如何引入）;定義其運算（如何定義）;滿足怎樣的運算律。擴充的基本原則是：使算術(shù)運算的運算律保持不變。后面可能還有新的數(shù)加入，到時運算再次更新時不能增加后面定義的難度，因此每次新運算的定義要做到合情合理，讓一般人難以察覺運算已經(jīng)更新。

2.知識結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)圖（見圖1）

3.教學(xué)重點

本節(jié)課的重點是定義，同時，因為開方運算也含在定義之中，所以求一個非負數(shù)的平方根同樣也成為重點。講述的是一個新的概念和一種新的運算，自然重要，因為新所以重要。

4.教學(xué)目標(biāo)解析

結(jié)合課標(biāo)和數(shù)學(xué)理解確定教學(xué)目標(biāo)，本課是通過學(xué)生的認知沖突，感受到平方與開方運算之間存在的關(guān)系，從而了解其平方根和算術(shù)平方根的概念，會用符號表示并會求。在這個過程的學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、“二心”——基于機會的學(xué)

1.學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)平方根內(nèi)容之前，學(xué)生已對有理數(shù)，有理數(shù)的乘方有系統(tǒng)的認識，并具備一定的計算能力了。同時，這一階段的學(xué)生可以說已經(jīng)從經(jīng)驗型的思維到理論性過渡，在加、減、乘、除、乘方的基礎(chǔ)上順?biāo)浦鄣贸鲩_方，可以說是順勢而為，符合學(xué)生發(fā)展的。

2.學(xué)習(xí)難點

算術(shù)平方根的性質(zhì)容易和平方根建構(gòu)的概念相混淆，易混淆所以就難。

三、“二心”——基于機會的教

1.突出重點

通過從平方過渡到開平方，理解平方根概念，會用符號表示。

定義：內(nèi)涵、要素（平方根的意義）—符號表示、讀法—性質(zhì)

思考1：從哪些角度理解平方根概念？

思考2：怎樣讓學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)平方根的性質(zhì)？

思考3：開平方運算與數(shù)系擴充的關(guān)系是什么？

2.突破難點

傳承研究方法，固化研究模式，啟迪數(shù)學(xué)思想。使學(xué)生的知識在已有認知的基礎(chǔ)上得到自然升級，以此來突破難點.

以下對《平方根》這個內(nèi)容的教學(xué)作一闡釋。

（一）引領(lǐng)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)現(xiàn)實，提出探求課題

1.回顧舊知，引發(fā)思考

（1）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過哪些運算？它們中互為逆運算的是哪些？

（2）你覺得還缺少什么呢？

（3）若有逆運算又是怎么樣的呢？

設(shè)計意圖：引起認知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望。第一個問題，復(fù)習(xí)回顧概念，形成了認識新知的興趣點和?？奎c;第二個問題，把學(xué)生帶到了探索的的大門口，自然貼切，提出了認識新知的關(guān)鍵點;第三個問題，緊扣主題，建立了認識新知的生長點疑難點，為探索新課埋下了伏筆。

2.創(chuàng)設(shè)情境，解疑出新

填空：

已知底數(shù)和指數(shù)，求冪，叫乘方運算;已知指數(shù)和冪，求底數(shù)，就構(gòu)成乘方逆運算。

概念：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a ，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。

求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。

開平方與平方運算互為逆運算。

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生用逆向思維的觀點去分析問題，發(fā)現(xiàn)問題中蘊涵著相互聯(lián)系的。由直觀到抽象的轉(zhuǎn)化，通過學(xué)生正反兩面多次的敘述，達到由量變到質(zhì)變的過程，數(shù)學(xué)的概念形成是數(shù)學(xué)思維的細胞，通過觸摸外延，提取關(guān)鍵詞，從而形成概念。平方根概念的形成是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)思維的起點，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位。

3.典例分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

【例1】下列各數(shù)有沒有平方根？如果有，請求出它的平方根;如果沒有，請說明理由。

（1） 9.? ? ? ?（2）? ? ? ? ?.? ? ? （3）0.36.? ? ? ? （4）0? ? ? （5）? -4

a 9 0.36 0 -4? …

a的平方根 ±3 ? ± ±0.6 0 沒有 …

我們經(jīng)?？梢越柚砀竦裙ぞ邅韼椭l(fā)現(xiàn)規(guī)律。

結(jié)論：平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù);零有一個平方根，它是零本身;負數(shù)沒有平方根。

思考：開平方的結(jié)果與其他運算的結(jié)果有何不同？

設(shè)計意圖：進行概念辨析，通過表格這個工具，學(xué)生能得出平方根的性質(zhì)，再進行與其它運算比較，讓學(xué)生體會在平方根的學(xué)習(xí)中分類討論思想的作用。進而和風(fēng)細雨的滲透了數(shù)學(xué)思想。

4.游戲搶答，得出符號

（1）搶答游戲：下列各數(shù)是否有平方根？若有，請求出它的平方根;若沒有，請說明理由。

0，-16，25，? ? ? ? ? ，2

（2）問：2 有沒有平方根？ 若有怎樣表示？沒有，說明為什么？

設(shè)計意圖：通過最后2的平方根如何表示，引起學(xué)生認知沖突，得出平方根的表示方法的迫切意愿。

（3）介紹開方最早見于我國的《九章算術(shù)》，比國外早一千多年。從埃及人的“┌”到印度人的ka，再到德國人的“.”經(jīng)歷了很長時間，到1525年德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蛴谩啊獭?，最后到十七世紀，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開始用 。

設(shè)計意圖：得出平方根的表示方法，讓學(xué)生意識到符號的簡潔美，還融入了數(shù)學(xué)發(fā)展史，挖掘了數(shù)學(xué)中蘊含的教育素材，這樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不再枯燥，而變得有趣。鼓勵學(xué)生在遇到新問題的時候可以有自己獨特的方法，因為需要而產(chǎn)生，而學(xué)生自己創(chuàng)造符號的過程，就是一個概念內(nèi)化的過程，最后用現(xiàn)在實際使用的符號和學(xué)生自己想像的符號完美接軌。

（二）啟發(fā)學(xué)生生成核心知識，激發(fā)數(shù)學(xué)思考

1.典例分析，知識融合

例：下列各數(shù)是否有平方根？若有，請求出平方根;若沒有，請說明理由。

（1） 2? ? （2）5? ? ? （3）a

思考：

1.表示什么意思？

2.表示什么意思？

3.-表示什么意思？

設(shè)計意圖：及時鞏固用平方根符號解決問題，規(guī)范解題格式。讓學(xué)生意識到平方根符號的使用簡潔方便，強化符號感。a的出現(xiàn)讓學(xué)生注意分類是解題的關(guān)鍵，并注意讀法與表示的意思。

2.回歸生活，應(yīng)用實際

若正方形的面積是2，邊長是多少？

算術(shù)平方根的概念：正數(shù)的正平方根和零的平方根，統(tǒng)稱算術(shù)平方根。

即的算術(shù)平方根是

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)是刻畫現(xiàn)實生活的工具，通過問題的呈現(xiàn)，可以對算術(shù)平方根的了解與符號表示，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心向。

（三）激發(fā)學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，解決數(shù)學(xué)問題

拓展提高，內(nèi)化符號

先說出下列各式的意義，再計算

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)所謂的拓展并不是單指一題多解、一題多變等一類技巧性的研究，也不是拿著定義和性質(zhì)作特殊化的應(yīng)用。本課堂教學(xué)是從“低層次”到“高層次” 基于創(chuàng)造過程的數(shù)學(xué)化。平方根概念建構(gòu)后，接下來并不是頂層次的知識結(jié)構(gòu)，而是把它當(dāng)做低層次繼續(xù)再創(chuàng)造。這正是新的數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)，新的數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造。

（四）幫助學(xué)生整體性回顧與總結(jié)，反思中埋伏筆

梳理小結(jié)，反思精致

1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的核心問題是什么？

2.研究問題的核心價值是什么？

3.自我挑戰(zhàn)

古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派認為世間任何數(shù)都可以用分數(shù)表示，并將此作為他們的一條信條。如果一個正方形的面積是2，那它的邊長是，畢達哥拉斯的學(xué)生希伯斯試圖找出和相等的分數(shù)，可是，最終他認識到根本不存在這個分數(shù)，也就是說不是有理數(shù)，那它究竟是個什么數(shù)呢？

事實上，還引發(fā)了許多數(shù)學(xué)故事，請我們同學(xué)課后去查閱資料或請教老師。

設(shè)計意圖：這看起來是一個簡單的問題，但其意義是十分重要的。之所以這樣教學(xué)，是因為從以下兩個方面考慮：

（1）如果從問題教學(xué)的視角看，課堂教學(xué)應(yīng)該處處充滿問題，尤其是課堂教學(xué)進入尾聲，教學(xué)并不是封閉狀態(tài)，整堂課學(xué)生應(yīng)該帶著問題進課堂，也用該帶著課題離開課堂。這里留下這個疑問，在于讓學(xué)生處于數(shù)學(xué)的質(zhì)疑之中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考。（2）如果從一核二心視角分析，問題教學(xué)顯然含有基于機會的學(xué)和基于機會的教的教學(xué)重要成分， 對于本課的核心知識來說是掌握這個平方根，它是實數(shù)運算的低層次知識。所以，這節(jié)課最后安排的內(nèi)容為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

四、結(jié)語

新課教學(xué)帶領(lǐng)學(xué)生感受了數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，定義一種新的運算就要研究相應(yīng)的運算律。本課在恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)下加深了學(xué)生對運算的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅學(xué)會知識，而且受到研究問題的思想方法的訓(xùn)練，從而發(fā)展學(xué)生解決問題的能力。所以說數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的絕佳之地。作為教師需要讓課堂做到恰如其分。

參考文獻

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