劉國祥

(江蘇省宜興中學(xué) 214200)

1 問題的提出

答題分析本題為2017年江蘇高考第13題，滿分5分，全省平均得分為1．3分，而錯誤答案中比率最高的答案為[-5，1]．

運(yùn)算水平分析：2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于運(yùn)算素養(yǎng)的水平劃分為三個層次：(1)能夠在熟悉的情境中了解運(yùn)算對象，提出運(yùn)算問題，并用運(yùn)算結(jié)果說明問題；(2)能夠在關(guān)聯(lián)的情境中了解運(yùn)算對象，提出運(yùn)算問題，并能夠借助運(yùn)算探討問題；(3)能夠在綜合情境中把問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，明確運(yùn)算方向，構(gòu)建運(yùn)算程序，能夠用程序思想理解和解釋問題．以上三個水平層次分別對應(yīng)于對運(yùn)算素養(yǎng)的三個要求：熟悉運(yùn)算，轉(zhuǎn)化運(yùn)算，創(chuàng)新運(yùn)算．本題經(jīng)歷兩個過程，第一步過程是幾何問題代數(shù)化，是將題中幾何條件直譯成代數(shù)關(guān)系，是熟練運(yùn)算，是屬于劃分水平一層次，對學(xué)生來說不成障礙；第二步過程是從代數(shù)關(guān)系中抽象出幾何問題和幾何圖形，利用圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合圖形特征來正確求解，需要對運(yùn)算轉(zhuǎn)化與創(chuàng)新，是屬于水平二與水平三層次．從學(xué)生錯誤解答來看，問題主要出在第二步上，停留在代數(shù)層面運(yùn)算，沒有對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根源在于學(xué)生缺少 “用幾何的眼光觀察問題”的過程．

2 問題的探討

解析幾何的核心思想是用代數(shù)方法解決幾何問題，解題程序?yàn)椋撼橄笱芯繉ο?幾何問題或幾何圖形)→幾何對象的代數(shù)表達(dá)(坐標(biāo)法)→代數(shù)運(yùn)算→代數(shù)結(jié)果的幾何解釋．

章建躍博士在“解析幾何的思維方式與核心素養(yǎng)”一文中指出：“用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及有關(guān)幾何關(guān)系，再用代數(shù)的語言來表達(dá)，而且在代數(shù)運(yùn)算中時刻注意利用它們來簡化運(yùn)算，這就是解析幾何運(yùn)算的特點(diǎn)，是幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，是解析幾何的思維方式”[1]．當(dāng)下解析幾何的運(yùn)算已經(jīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，其根源在于學(xué)生缺少“用幾何的眼光觀察問題”的意識和能力，從幾何角度對面臨問題分析不充分，對幾何圖形的要素及其基本關(guān)系理解不到位，把坐標(biāo)法異化為純粹代數(shù)運(yùn)算，造成運(yùn)算過程復(fù)雜化．如何突破解析幾何運(yùn)算的難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算素養(yǎng)由水平一向水平二、三的轉(zhuǎn)化？筆者的體會是：要善于用幾何的眼光觀察問題，努力提高幾何圖形的分析能力，在落實(shí)數(shù)形結(jié)合上下功夫．

2．1 用幾何的眼光統(tǒng)整題目條件，優(yōu)化運(yùn)算路徑

評析思路一對條件中信息不作任何轉(zhuǎn)化直接翻譯，解法繁瑣，運(yùn)算量大，解題方法平淡，屬于運(yùn)算水平一，是大部分考生首選方法，導(dǎo)致本題得分較低；思路二，從幾何的視角對條件中的信息進(jìn)行發(fā)散、整合，深入挖掘，得到更多信息，其中程序一統(tǒng)整到△AOB中，轉(zhuǎn)化為解三角形問題；程序二的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)：△BOD是一個定三角形，使問題的求解簡單自然．思路二是屬于在綜合情境中用數(shù)學(xué)的眼光將條件統(tǒng)整到一個三角形中顯化問題的本質(zhì)，是屬于轉(zhuǎn)化運(yùn)算、創(chuàng)新運(yùn)算．

教學(xué)啟示首先在解題教學(xué)中要強(qiáng)化數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)多采用文字語言和符號語言，在審題時善于將抽象的符號語言轉(zhuǎn)化成文字語言，再轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言；其次將條件整合到圖形中，有利于發(fā)現(xiàn)各幾何要素之間關(guān)系，把握問題的本質(zhì)；最后對圖形進(jìn)行綜合分析用用代數(shù)的方法來解決幾何問題．

2．2 用幾何的眼光觀察代數(shù)結(jié)構(gòu)，探究運(yùn)算方向

教學(xué)啟示用幾何的眼光觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)，首先在教學(xué)中要重視定義、公式、概念的多元表征，善于從代數(shù)和幾何視角來表征，例如代數(shù)式x2+y2，從代數(shù)角度來說是實(shí)數(shù)x，y的平方和，從幾何視角表示OP2(其中P(x，y))；其次，在解題教學(xué)中學(xué)會聯(lián)想，由代數(shù)結(jié)構(gòu)會聯(lián)想到幾何形態(tài)；最后依據(jù)條件與結(jié)論構(gòu)建合適圖形創(chuàng)造性解決問題．

2．3 用幾何的眼光審視動點(diǎn)規(guī)律，簡化運(yùn)算程序

運(yùn)算程序一：以m為變量，將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)表示為m的目標(biāo)函數(shù)．

運(yùn)算程序二：把直線AB變化源于直線斜率k視角來看，可以把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)用直線斜率k來表示．

思路三：可以看作當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)B的軌跡方程．

點(diǎn)評用幾何的眼光觀察問題，從向量視角來看容易生成運(yùn)算程序一；從直線是過定點(diǎn)的直線，變化根源是傾斜角，容易生成運(yùn)算程序二和三；當(dāng)把A看作主動點(diǎn)，由此引發(fā)點(diǎn)B變化，容易生成運(yùn)算程序四，從不同視角看動點(diǎn)會生成不同精彩的解法，將這些眾多的解法進(jìn)行比較分析，可以發(fā)現(xiàn)不同解法的優(yōu)劣，從而可以得出減少運(yùn)算量的解題程序，實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算、提升速度的目標(biāo)．

教學(xué)啟示動態(tài)問題是解析幾何中常見問題，解決動態(tài)問題關(guān)鍵是分析動點(diǎn)變化規(guī)律，如上案例中從不同視角去研究變動原因產(chǎn)生了不同的解法．要找到動點(diǎn)變化的規(guī)律需要用幾何的眼光來審視條件，回規(guī)問題本質(zhì)．如2015年江蘇高考第10題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0 相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．問題關(guān)鍵就是從幾何視角來看是過定點(diǎn)(2，-1)的動直線，從幾何上找到解決問題思路．

2．4 用幾何的眼光發(fā)現(xiàn)幾何特征，選擇運(yùn)算方法

本題關(guān)鍵是依據(jù)圖形特點(diǎn)，合理選擇面積表達(dá)．讓學(xué)生思考3分鐘，談一談如何表征面積．

思路三：因?yàn)椤鱋BC的底邊OB為定值，選擇OB為底，C到OB距離為高建立面積表達(dá)式．

評析上述四種中哪種方案運(yùn)算更合理呢？因?yàn)椤鱋BC中O，C是定點(diǎn)，面積表征，顯然是思路三和思路四更合理一些．

教學(xué)啟示解析幾何的本質(zhì)是幾何，圖形是幾何的直觀表現(xiàn)形式，是問題的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)，而代數(shù)方法僅僅是工具，審視圖形的整體結(jié)構(gòu)，看穿圖形的本質(zhì)特征，就能化繁為簡．

3 結(jié)語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的情境，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)．就解析幾何的教學(xué)而言，由于其學(xué)科本質(zhì)是運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，能靈活地進(jìn)行數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合與相互轉(zhuǎn)化，通過運(yùn)用不同的視角探索解題的途徑、優(yōu)化運(yùn)算的過程來提升和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)是我們在教學(xué)中需要著力解決的問題．2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對解析幾何的“學(xué)業(yè)要求”是：依據(jù)問題情境分析幾何問題和圖形特點(diǎn)；依據(jù)幾何問題和圖形特點(diǎn)，探索解決問題思路；依據(jù)幾何問題特點(diǎn)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；運(yùn)用代數(shù)方法推演結(jié)果并給出合理地幾何解釋．在解析幾何教學(xué)中始終堅(jiān)守學(xué)科大概念：用幾何的眼光觀察問題，借助幾何圖形的特點(diǎn)，形成解決問題思路，通過直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，給出幾何解釋，解決問題，在這個過程中提高學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力，提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實(shí)處．