馬毅剛

（甘肅省通渭縣第二中學(xué)，甘肅 通渭 743300）

幾何是數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)視覺(jué)思維和空間思維的教學(xué)內(nèi)容，幾何的思維方式在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位。那么，如何有效地開展高中數(shù)學(xué)中幾何模塊的教學(xué)呢？筆者從以下幾個(gè)方面進(jìn)行初步探討。

一、幾何教學(xué)目標(biāo)的認(rèn)識(shí)

幾何教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是如何有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。因此，幾何作為貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線之一，要通過(guò)空間想象能力的培養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以便更好地認(rèn)識(shí)和理解空間的存在意義，提高推理論證能力?？臻g想象力和推理論證能力對(duì)于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解是十分重要的。

高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)通過(guò)數(shù)形結(jié)合，把數(shù)學(xué)邏輯思維和形象思維有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)，強(qiáng)調(diào)從空間想象能力、圖形語(yǔ)言思考能力上培養(yǎng)學(xué)生的幾何思想?？臻g想象能力不僅在幾何學(xué)習(xí)和整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有重要意義，而且在藝術(shù)創(chuàng)作中也是一種基本能力。幾何圖形作為一種直觀、形象的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生的自主探索、創(chuàng)新活動(dòng)提供了有利條件。教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，就要讓學(xué)生對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)有一個(gè)宏觀的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、高中幾何的研究對(duì)象

高中幾何主要研究圖形的位置關(guān)系和度量，最基本的幾何圖形是點(diǎn)、線、面的組合。準(zhǔn)確理解平行、垂直、包含的關(guān)系是正確分析圖形的基礎(chǔ)，特別要注意柱、錐、臺(tái)、球等幾何體在不同擺放位置下的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。幾何圖形的研究包括直線和平面圖形、曲線和曲面圖形兩類。平面圖形的位置關(guān)系主要有全等、相似等。圖形的度量主要有夾角、長(zhǎng)度等。

三、高中幾何研究的主要方法

高中幾何研究的方法主要有綜合幾何的方法、解析幾何的方法、向量幾何的方法等。

綜合幾何的方法是將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的方法。平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等是研究綜合幾何的常用基本方法。綜合幾何的方法是一個(gè)對(duì)空間圖形進(jìn)行研究，建立幾何模型的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力。在“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的背景下，計(jì)算機(jī)信息技術(shù)的應(yīng)用使綜合幾何的教學(xué)難點(diǎn)得到有效突破，教師通過(guò)軟件的合成、圖形動(dòng)畫演示等情景化的教學(xué)能使學(xué)生更加充滿探究興趣，課堂的實(shí)效性得到加強(qiáng)。

解析幾何的方法是利用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)?；静襟E是：（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；（2）通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；（3）把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題的結(jié)論，常常需要通過(guò)代數(shù)的方法把表示幾何圖形的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而更簡(jiǎn)潔地表達(dá)其幾何性質(zhì)。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，常常涉及直線與曲線交點(diǎn)的判斷、弦長(zhǎng)、面積等，其解題主要涉及方程和韋達(dá)定理，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，借助平面幾何中的相關(guān)結(jié)論，可簡(jiǎn)化計(jì)算。解析幾何的方法很好地詮釋了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想。

向量幾何的方法就是用向量及其運(yùn)算來(lái)研究幾何圖形。向量幾何的方法特點(diǎn)是程序化表述，可大大縮短思維過(guò)程，但其中的代數(shù)計(jì)算量不可小視。向量方法研究具有靈活、便捷的特點(diǎn)；利用向量的方法證明空間的平行或垂直，常常借助幾何圖形的垂直關(guān)系建系，并讓盡可能多的頂點(diǎn)落于坐標(biāo)軸上，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

四、高中幾何內(nèi)容的總體設(shè)計(jì)

幾何課程的設(shè)計(jì)將空間想象能力作為指導(dǎo)思想，強(qiáng)調(diào)利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，直觀地揭示解決問(wèn)題的途徑，在幾何課程本身的學(xué)習(xí)中具有不可替代的作用，并且貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。用圖形討論問(wèn)題，發(fā)揮空間想象能力，是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)課程中的幾何內(nèi)容是分層設(shè)計(jì)的。必修課程的幾何內(nèi)容由立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量組成。

“立體幾何初步”主要通過(guò)直觀圖、三視圖，從空間幾何體柱、錐、球、臺(tái)等的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間幾何體及其直觀圖的畫法；空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是證明空間線面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，也是正確識(shí)別幾何體三視圖的基礎(chǔ)；再以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系和基本性質(zhì)，空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明，是立體幾何的核心內(nèi)容。這些知識(shí)可幫助學(xué)生建立空間想象思維，靈活運(yùn)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和思考，并且能熟練地對(duì)三種語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

“解析幾何初步”的重點(diǎn)是幫助學(xué)生建立解析幾何的基本思想——數(shù)形結(jié)合思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力，以直線與圓為載體，逐步使學(xué)生建立“曲線的方程，方程的曲線”思想。圓錐曲線是體現(xiàn)解析幾何思想的最好載體，高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線部分主要介紹了橢圓、雙曲線、拋物線三類圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，強(qiáng)調(diào)從幾何性質(zhì)到建立方程的過(guò)程。圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題是解析幾何中的核心內(nèi)容，是考試重點(diǎn)之一。

向量是研究幾何的一項(xiàng)基本內(nèi)容，是研究幾何問(wèn)題的基本工具。向量可以描述幾何中的基本研究對(duì)象——點(diǎn)、線、面；判斷線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系；還可以表示空間中的曲線與曲面；并且可用來(lái)度量幾何體中線與面的長(zhǎng)度、角度，計(jì)算其表面積、體積等。在教學(xué)中，應(yīng)注重將向量的代數(shù)運(yùn)算與其幾何意義聯(lián)系起來(lái)，這樣才能運(yùn)用向量代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫幾何對(duì)象，從而體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系。

五、把握高考中的幾何問(wèn)題

立體幾何是研究空間幾何體的基礎(chǔ)和必備內(nèi)容，是歷年高考的熱點(diǎn)。其主要從兩個(gè)方面考查：一是空間幾何體的三視圖與其表面積、體積的求解綜合，多以選擇題或填空題的形式命題，試題難度不大。三視圖的識(shí)別與判斷的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握基本幾何體如棱錐、圓錐等的結(jié)構(gòu)特征，特別要注意幾何體三視圖中的實(shí)線和虛線的不同含義。由三視圖確定幾何體時(shí)，首先要利用俯視圖確定底面的特征，再根據(jù)側(cè)視圖和正視圖確定幾何體的其他特征，要注意側(cè)視圖是從幾何體的左側(cè)向右側(cè)的投影，切忌看錯(cuò)方向，最后依據(jù)三視圖中的實(shí)虛線進(jìn)行調(diào)整，復(fù)原幾何體。二是空間平行與垂直關(guān)系的證明與探索性問(wèn)題，屬于中等難度的問(wèn)題。準(zhǔn)確理解空間中的線線、線面、面面位置關(guān)系的分類是正確分析空間中線面關(guān)系的基礎(chǔ)，尤其要運(yùn)用好正方體模型。正確把握空間中的平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理是證明空間平行與垂直的關(guān)鍵，在教學(xué)中教師尤其要提醒學(xué)生掌握此類定理中的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，理解條件和結(jié)論的關(guān)系；同時(shí)要準(zhǔn)確分析幾何體中各個(gè)平面和截面的性質(zhì)，采取化整為零的手段，運(yùn)用好立體圖形平面化的數(shù)學(xué)思想?？臻g向量的引入使解決立體幾何問(wèn)題的程序化加強(qiáng)，思維過(guò)程簡(jiǎn)化了，但最后的運(yùn)算量較大，轉(zhuǎn)化過(guò)程也要細(xì)心謹(jǐn)慎。教師要告誡學(xué)生在選擇傳統(tǒng)幾何法和向量法時(shí)要合理取舍，切莫一味追求向量法。

圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，是每年必考的題目之一，常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍等探索性問(wèn)題為主。高考題中圓錐曲線問(wèn)題的一個(gè)顯著特點(diǎn)是“問(wèn)題一”的起點(diǎn)較低，但在“問(wèn)題二”或“問(wèn)題三”中有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力要求較高。圓錐曲線的定義是推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，在解決問(wèn)題時(shí)要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義解題，準(zhǔn)確把握幾種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式。一般情況下，涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，要優(yōu)先考慮定義解題。離心率問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，要根據(jù)試題中的條件，建立a、b、c 三個(gè)量之間的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為a、c 之間的關(guān)系求解。面對(duì)“問(wèn)題二”或“問(wèn)題三”中較為復(fù)雜的運(yùn)算時(shí)，要有簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)，有目的地進(jìn)行運(yùn)算。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要明確幾何教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)確把握幾何的研究對(duì)象和研究方法，對(duì)高中幾何模塊的課程結(jié)構(gòu)有宏觀的掌握。利用信息技術(shù)等現(xiàn)代化的教學(xué)手段，不斷探索，不斷創(chuàng)新，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式。還要留心觀察學(xué)生的狀態(tài)，因材施教，合理取舍，有效開展初高中教學(xué)的銜接，從而有效突破高中幾何教學(xué)的難點(diǎn)。