楊 旭, 曹 凱, 劉秉政, 沈 鵬, 奉 柳

(1. 山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049; 2. 西安交通工程學(xué)院交通運輸系, 西安 710300)

目前, 高級駕駛輔助系統(tǒng)(advanced driving assistant system, ADAS)的安全性驗證方法中只要車輛初始狀態(tài)改變即須重新進(jìn)行安全性判斷,并且每一次計算所得判斷結(jié)果都不可能覆蓋車輛的所有不確定狀態(tài),故無法保證車輛安全性驗證的可靠性[1-3]．為了改進(jìn)以上不足, Wu[4]、 Park[5]、 曹凱[6]等人以道路邊界為約束條件建立安全等級評判標(biāo)準(zhǔn),采用水平集完成可達(dá)集的實時近似,提出自主車輛避障問題的最優(yōu)控制方法．然而，已報道的相關(guān)研究中考慮的道路環(huán)境較為簡單, 且僅探討了自主車輛在跟車環(huán)境下進(jìn)行直線運動的行為特征,并不適用于具有高度不確定性的車輛機動空間．本文擬采用可達(dá)集的算法,在車輛實施超車過程中引入對向來車,以車輛行駛的相對速度以及轉(zhuǎn)角作為車輛狀態(tài)的控制參數(shù),對車輛的自主決策行為進(jìn)行可達(dá)集分析,以期提高算法在復(fù)雜情況下的適應(yīng)能力．

1 可達(dá)集

考慮自主車輛系統(tǒng)模型

A=(T,I,S),

其中I?Rn表示所有自主車輛初始狀態(tài)的集合,即初始集;T?Rn表示自主車輛碰撞到目標(biāo)車輛的狀態(tài)集合, 即目標(biāo)集;S表示自主車輛的運動軌跡．

車輛自主決策中根據(jù)分析角度差異可將可達(dá)集分為前向可達(dá)集和后向可達(dá)集[7-8]．前向可達(dá)集為以車輛所在位置為起點,在預(yù)定觀測時間內(nèi)車輛所有不確定自主運行狀態(tài)軌跡的集合; 而后向可達(dá)集(即可控集)是以目標(biāo)(或障礙物)狀態(tài)集合為參照的車輛不確定自主運行狀態(tài)軌跡的集合;因此,對車輛自主決策的安全驗證問題采用后向可達(dá)集理論分析即可保證其安全決策的可靠性和完備性[9]．

定義1在一個由車輛和目標(biāo)(或障礙物)狀態(tài)集確定的道路交通系統(tǒng)中, 假設(shè)目標(biāo)(或障礙物)狀態(tài)集為T?Rn, 則可達(dá)集B(t)∈Rn表示在時間t內(nèi)和控制變量u(τ)(τ∈[0,t])的作用下,車輛所有不確定自主狀態(tài)x∈T連續(xù)軌跡的集合．

圖1 目標(biāo)集T與安全位置的可達(dá)集B表示示意圖Fig.1 Representation of target set and secure position by reachable set

根據(jù)定義1, 對于車輛的任意不確定自主狀態(tài)x∈B(t), 必存在一個控制變量u和一個干擾輸入d, 在經(jīng)過t時段后車輛不確定自主狀態(tài)x的軌跡終點必然在目標(biāo)集T中．以B(t)的補集表示車輛的初始自主狀態(tài)或者車輛的不確定自主狀態(tài)軌跡在任意控制變量u下均不會與目標(biāo)集T產(chǎn)生交集, 因此B(t)的補集為安全集．當(dāng)車輛所有不確定自主狀態(tài)軌跡均屬于安全集時,車輛與目標(biāo)(或障礙物)不會發(fā)生碰撞．圖1為車輛目標(biāo)集與安全位置的可達(dá)集表示示意圖．由圖1可見: 車輛狀態(tài)(x11,x21,x31)和(x12,x22,x32)軌跡與目標(biāo)集產(chǎn)生交集, 故屬于可達(dá)集,此時車輛將會發(fā)生碰撞; 而(x13,x23,x33)軌跡并未與目標(biāo)集產(chǎn)生交集, 故屬于安全集．

2 系統(tǒng)建模

2.1 系統(tǒng)模型

圖2 道路交通模型Fig.2 Road traffic model

以車輛行駛方向為x1軸、垂直于車輛行駛方向為x2軸建立道路交通模型, 如圖2所示．

自主車輛以速度vp在雙向車道上行駛, 前方為1號目標(biāo)車輛,速度為ve1．對向車道為2號目標(biāo)車輛, 以ve2的速度行駛．此時,自主車輛需要完成超車行為．假設(shè)目標(biāo)車輛的線速度方向和角速度ωp大小不變．車輛相對運動坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如下:

其中i為自主車輛的編號,x1表示車輛行駛方向坐標(biāo),x2表示垂直于車輛行駛方向坐標(biāo),x3表示自主車輛航向角．

2.2 超車策略

將自主車輛的超車行為分為變道階段、加速階段和返回階段, 如圖3所示．

圖3 超車階段Fig.3 Overtaking phase

通過哈密頓-雅可比方程

Dtφ(x,t)+min{0,H(x,Dxφ(x,t))}=0,x∈Rn

(1)

的黏性解確定各個階段的可達(dá)集, 其中Dtφ(x,t)為時間導(dǎo)數(shù)函數(shù),Dxφ(x,t)為空間導(dǎo)數(shù)函數(shù),H為哈密頓算子,H(x,p)=maxu∈Umind∈DpTf(x,u,d)=maxu∈[-1,1]mind∈[-1,1]{p1(-v+vcosx3+ux2)+p2(vsinx3-ux1)+p3d}=maxu∈[-1,1]mind∈[-1,1]{-p1v+p1vcosx3+p2vsinx3+(p1x2-p2x1-p3)u+p3d}=-p1v+p1vcosx3+p2vsinx3+|p1x2-p2x1-p3|+|p3|,p為梯度．

為建立車輛后向可達(dá)集模型,首先確定其隱式曲面函數(shù),然后采用水平集方法演化隱式曲面．值得注意的是, 水平集方法在演化隱式曲面時會發(fā)生快速扭結(jié),故須重新初始化,具體原理參考文獻(xiàn)[2]．此時后向可達(dá)集表示為

(2)

其中xf(0;x,-s,u(·),d(·))表示車輛在t=0時刻的軌跡,Ci為目標(biāo)車輛的碰撞區(qū)域, 本文選取目標(biāo)集為碰撞區(qū)域,U(t)為所有控制變量的集合．

假設(shè)自主車輛在加速階段作直線運動,其動力學(xué)方程為

(3)

其中xr,yr為自主車輛的相對位置．

假設(shè)自主車輛在超車階段和返回階段均以恒定的線速度和角速度運動[10-12], 其動力學(xué)方程為

(4)

根據(jù)可達(dá)集定義, 由于時間影響自主車輛狀態(tài)軌跡從而影響可達(dá)集范圍, 故在提供超車策略之前須首先確定超車行為的各個階段所用時間．

1) 超車時間．將超車過程所需時間進(jìn)行如圖4所示的分段處理．圖4中tadj1為超車行為前自主車輛調(diào)整初始狀態(tài)時間,ta1為變道階段所用時間,tc為加速階段所用時間,ta2為返回階段所用時間,tover=ta1+tc+ta2為自主車輛由超車階段開始到返回階段完成所用時間,tadj2為超車行為后調(diào)整跟車距離所用時間,tall=tadj1+tover+tadj2為完成超車過程所用總時間．

圖4 超車過程時間分段示意圖Fig.4 Overtaking process

圖5 不同時刻下2號目標(biāo) 車輛的可達(dá)集Fig.5 Target vehicle reachable set 2 at different times

2) 超車決策．為了提高可達(dá)集的計算效率, 本文目標(biāo)集采用圓形近似, 構(gòu)建目標(biāo)集

其中r為目標(biāo)集的半徑.

圖6 變道階段可達(dá)集Fig.6 Variable-channel stage can reachable set

時間間隔越長, 自主車輛行駛軌跡則越長,可達(dá)集就會相應(yīng)延伸．2號目標(biāo)車輛在t=1,2,…,8 s時的可達(dá)集如圖5所示．自主車輛進(jìn)行超車行為前首先須要計算2號目標(biāo)車輛在tover時間內(nèi)的可達(dá)集,即判斷自主車輛進(jìn)行超車行為時間內(nèi)是否能夠避免與2號目標(biāo)車輛碰撞．若自主車輛初始狀態(tài)位于2號目標(biāo)車輛可達(dá)集內(nèi)部((x1,x2,x3,vp)∈B2), 則停止超車行為, 待2號目標(biāo)車輛駛過后繼續(xù)超車行為; 反之則可以實施超車．

變道階段根據(jù)自主車輛運動方程式(4)得到1號目標(biāo)車輛的可達(dá)集, 如圖6所示, 其中實心區(qū)域代表目標(biāo)集, 直線代表自主車輛跟車3 s內(nèi)的可達(dá)集邊界, 圓曲線表示自主車輛開始超車階段時可達(dá)集邊界．若自主車輛在Ba處開始超車階段,則會與1號目標(biāo)車輛發(fā)生碰撞,此時須將初始狀態(tài)調(diào)整到Bb處再進(jìn)行超車．自主車輛狀態(tài)由Ba調(diào)整到Bb所用時間記為tadj1．

加速階段自主車輛不僅須要超越1號目標(biāo)車輛, 而且須要預(yù)留出安全距離(即相對距離), 以避免返回后與1號目標(biāo)車輛碰撞,該階段距離如圖7所示．圖7中L0為1號目標(biāo)車輛的長度, ΔL1為預(yù)留的安全距離, ΔL2為自主車輛在ta1時間內(nèi)直行的距離．

圖7 加速階段距離Fig.7 Acceleration phase distance

《中華人民共和國道路交通安全法實施條例》第四十三條規(guī)定: 同車道行駛的機動車,后車應(yīng)當(dāng)與前車保持足以采取緊急制動措施的安全距離．由于加速階段所考慮的安全距離主要是返回階段完成后自主車輛位于1號目標(biāo)車輛前方時兩車之間的安全距離, 故假設(shè)自主車輛完成超車行為后速度為vp1, 此時1號目標(biāo)車輛以ae1=-3.98 m·s-2的加速度制動時所需要的安全距離為ΔL1=ve1|vp1-ve1|/3.98, 得到加速階段自主車輛行駛相對距離ΔL=ΔL1+L0+ΔL2=ve1|vp1-ve1|/3.98+L0+πωp/4．

圖8 超車過程流程Fig.8 Overtaking process

返回階段自主車輛運動方式與超車階段一致．返回階段結(jié)束時超車行為完成, 但是超車過程并未結(jié)束．在前方無障礙情況下自主車輛仍須保持加速階段結(jié)束時的較高車速, 直至與1號目標(biāo)車輛保持安全車距．返回階段完成直至兩車保持安全車距行駛所用時間為tadj2．

自主車輛在超車行為開始前首先計算2號目標(biāo)車輛可達(dá)集,在保證自主車輛初始狀態(tài)滿足(x1,x2,x3,vp)∈B2后再進(jìn)行超車行為,超車過程流程如圖8所示．

3 仿真結(jié)果

圖9 各車輛在變道、加速和返回階段的行駛軌跡Fig.9 The driving trajectory of the vehicles during the lane change, acceleration and return phase

為了驗證本文方法的有效性, 假設(shè)vp=50 m·s-1,ve1=40 m·s-1,ve2=40 m·s-1,ωp=3.55 rad·s-1． 1號目標(biāo)車輛與自主車輛同車道同速度方向且位于自主車輛前方30 m處(可達(dá)集凹口處), 此時2號目標(biāo)車輛正位于另一車道的960 m處且與自主車輛反向行駛, 計算各階段下各車輛的軌跡, 如圖9所示. 圖9(a)顯示自主車輛由(50,1.88)處開始變道階段,直到位于(180,5.6)處變道階段結(jié)束．在此期間,1號目標(biāo)車輛向前行駛到(192,1.875)處,2號目標(biāo)車輛由(960,5.6)處行駛到(848,5.6)處．圖9(b)顯示當(dāng)自主車輛行駛至(380,5.6)處時完成加速階段．在此期間,1號目標(biāo)向前行駛至(352,1.875)處,此階段自主車輛安全超越1號目標(biāo)車輛,2號目標(biāo)車輛行駛至(688,5.6)處與自主車輛相距308 m．圖9(c)顯示自主車輛由(380,5.6)處開始進(jìn)入返回階段,直至到達(dá)(510,1.875)處返回階段結(jié)束．在此期間,1號目標(biāo)車輛行駛至(464,1.875)處,2號目標(biāo)車輛行駛至(576,5.6)處,至此超車行為結(jié)束．由圖9可見,在整個超車行為中自主車輛軌跡與目標(biāo)車輛軌跡均無相交,表明以可達(dá)集作為自主車輛超車行為的安全性驗證方法可以有效提高自主車輛駕駛狀態(tài)的安全性．

4 結(jié)論

本文以超車過程中對向來車作為道路環(huán)境,采用可達(dá)集作為自主車輛安全性驗證的基礎(chǔ),通過哈密頓-雅可比方程的黏性解對自主車輛的初始狀態(tài)經(jīng)行調(diào)整,實現(xiàn)自主車輛的超車行為．由于在建模過程中充分考慮到車輛的相對位置、相對速度以及航向角對安全性的影響,故本文方法能有效提升對道路環(huán)境的估計精度,同時拓展了可達(dá)集分析模型的復(fù)雜度．在下一步工作中,將對道路環(huán)境進(jìn)行更復(fù)雜的劃分,并探究彎道、十字路口等不同約束條件下可達(dá)集的計算方法．