崔 瑩,屈 展,趙均海,王 萍

(1．西安石油大學(xué) 土木工程系，西安 710065;2．陜西省油氣井及儲層滲流與巖石力學(xué)重點實驗室，西安 710065;3．長安大學(xué) 建筑工程學(xué)院，西安 710061)

成巖作用和構(gòu)造運動使得井壁圍巖有著非常多的原生裂縫，同時還存在受鉆井開發(fā)中鉆具的不斷擾動以及鉆井內(nèi)的壓力變化等客觀原因?qū)е碌男铝芽p。井壁圍巖開裂多屬于Ⅰ類(張拉型)裂縫，其裂縫尖端塑性區(qū)的分布對裂縫的進一步延展有著重要的影響，因此，分析研究井壁裂縫尖端塑性區(qū)范圍的擴展對評價井壁穩(wěn)定性有著積極的理論和實際意義。

國內(nèi)外許多專家學(xué)者近年來針對巖石、混凝土等脆性材料的開裂及裂縫延展進行了較為廣泛的研究，取得了很好的結(jié)果。曹晨曦等[1]基于斷裂力學(xué)理論，推導(dǎo)建立了Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ型裂縫應(yīng)力強度因子與能量釋放率之間的關(guān)系公式；M.M.Mirsayar等[2]進一步以最大切應(yīng)力及最大切應(yīng)變準則研究了Ⅰ/Ⅱ型裂縫臨界強度因子及裂縫延展關(guān)系；劉躍東等[3]依據(jù)斷裂力學(xué)理論建立了水壓致裂法和巴西劈裂法測得的抗拉強度間關(guān)系；E.T.Ooi等[4-5]采用應(yīng)力強度因子表征的裂縫擴展準則針對水泥基材料的Ⅰ型斷裂對鋼筋混凝土裂縫擴展進行了分析；Wei M.D.等[6]、韓鐵林等[7]探討了斷裂韌度對巖石Ⅰ型裂縫擴展的影響；于淼等[8]引入雙線性應(yīng)力分布模型，通過數(shù)值模擬計算不同顆粒大小花崗巖的抗拉強度和斷裂韌度；李斌等[9]通過對應(yīng)用巖石臨界狀態(tài)圍壓改進的強度準則參數(shù)探討，解決了高應(yīng)力條件下巖石常用強度準則的適用性問題；騰俊洋等[10]依據(jù)巴西劈裂圓盤實驗，分析了含水和層理的頁巖的破壞模式和力學(xué)特性；王璀瑾等[11]、趙均海等[12]分別應(yīng)用起裂韌度準則和雙剪統(tǒng)一強度理論，研究了混凝土Ⅰ型裂縫的塑性變形問題；高美奔等[13]、王衛(wèi)華等[14]嘗試通過引入模糊數(shù)學(xué)法等手段對巖石力學(xué)參數(shù)進行優(yōu)化計算。

現(xiàn)有研究多集中于普通巖石和混凝土材料，針對井壁圍巖常見的Ⅰ型裂縫及其擴展的相關(guān)研究有限。泥頁巖井壁圍巖作為常見油氣儲層的密封層，其力學(xué)強度在鉆井過程中直接影響井壁的穩(wěn)定，在后期的水力壓裂施工中，如果裂縫失穩(wěn)，擴展穿透泥頁巖密封層，將會導(dǎo)致壓裂失效[15-16]。研究表明[17-20]，中間主應(yīng)力對巖石強度具有顯著影響，在井壁穩(wěn)定性研究中需考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)[21]。本文以考慮中間主應(yīng)力作用的雙剪統(tǒng)一強度理論為依據(jù)，對井壁圍巖Ⅰ型裂縫的尖端塑性區(qū)分布展開研究，推導(dǎo)建立井壁圍巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界統(tǒng)一解表達式，并結(jié)合前期的研究，求解出泥頁巖井壁Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界的統(tǒng)一強度理論解，并進行相應(yīng)因素變化的探討，所得結(jié)論對井壁圍巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)范圍確定有一定的理論意義及工程應(yīng)用價值。

1 雙剪統(tǒng)一強度理論

俞茂宏建立的雙剪統(tǒng)一強度理論認為：當(dāng)作用于雙剪單元體上的2個較大切應(yīng)力及其面上的正應(yīng)力影響函數(shù)達到某一極限值時，材料開始發(fā)生破壞[22]。以主應(yīng)力形式的雙剪統(tǒng)一強度理論公式為[21]

(1-a)

(1-b)

(2)

式中：σ1、σ2和σ3分別為第一、第二和第三主應(yīng)力；α為材料拉壓強度比，對巖石一般小于0.5；τ0為材料剪切屈服極限；ft為材料拉伸屈服極限；fc為材料壓縮屈服極限；b為反映中間主切應(yīng)力以及相應(yīng)面上的正應(yīng)力對材料破壞影響程度的系數(shù)[23]。

2 Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界統(tǒng)一解表達式

2.1 主應(yīng)力的確定

對于Ⅰ型裂縫問題，極坐標(biāo)下裂縫尖端附近區(qū)域的應(yīng)力分量表達式為[24]

(3)

(4)

(5)

式中：KI為Ⅰ型裂縫尖端應(yīng)力場強度因子；r為計算點至裂縫尖端的距離。

井壁圍巖處于平面應(yīng)變狀態(tài)，依據(jù)材料力學(xué)理論，其主應(yīng)力計算公式為

(6)

σ3=μ(σ1+σ2)

(7)

式中：μ為泊松比。

將式(3)、(4)、(5)代入式(6)、(7)，得到裂縫尖端附近區(qū)域的主應(yīng)力表達式為

(8)

(9)

(10)

2.2 邊界統(tǒng)一解表達式

將式(8)、(9)、(10)代入雙剪統(tǒng)一強度理論判別式，發(fā)現(xiàn)符合式(1-b)的判別條件，因此將式(8)、(9)、(10)代入式(1-b)，得

(11)

由此解得

(12)

式(12)即為平面應(yīng)變條件下，用極坐標(biāo)表示的井壁圍巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)的統(tǒng)一解邊界方程。

3 泥頁巖井壁Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)分析

為了分析式(12)計算確定的井壁圍巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)的邊界分布，本文選擇井壁圍巖中常見的泥頁巖相關(guān)數(shù)據(jù)進行裂縫尖端塑性區(qū)邊界繪制并進行相應(yīng)分析討論。在天然狀態(tài)下，泥頁巖的抗拉強度與抗壓強度比(拉壓強度比)為5%～9.2%。考慮泥頁巖的拉壓強度比變化范圍，泥頁巖拉壓強度比α取7.1%，泊松比μ為0.2[25]。

3.1 不同b值

圖1 不同b值條件下泥頁巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界曲線Fig.1 The boundary curve of plastic zone of type Ⅰ crack tip of the shale with different b value

從圖1可以看出，不同b值條件下的Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)范圍隨著b值的增大而逐漸減小，說明考慮中間主應(yīng)力作用發(fā)揮了巖石自身的強度，塑性區(qū)范圍減??；同時，隨著b值的不斷增大，塑性區(qū)在0°和180°兩個位置的曲線曲率逐漸減小，說明考慮中間主應(yīng)力的作用可以改善裂縫尖端的應(yīng)力集中現(xiàn)象。

3.2 不同拉壓強度比

天然狀態(tài)下泥頁巖的拉壓強度比有一定的變化范圍，為了考察在b值不變的前提條件下，不同拉壓強度比對裂縫尖端塑性區(qū)的影響，分別令泥頁巖拉壓強度比α在5%～9.2%范圍內(nèi)取0.05、0.064、0.078、0.092，同時令b分別等于0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0，繪制出不同拉壓強度比條件下裂縫尖端塑性區(qū)邊界曲線如圖2所示。

從圖2可以看出，不同b值條件下拉壓強度比均對泥頁巖裂縫尖端塑性區(qū)的分布情況影響不大，同一b值、不同拉壓強度比條件下的曲線相距很近。從圖2(A-E)可以看出，隨著b值的不斷增大，塑性區(qū)分布范圍逐漸降低且曲線逐漸平滑，尤其是在0°方向塑性區(qū)曲線的曲率變化比較明顯。圖中數(shù)據(jù)提取匯總?cè)绫?所示，從表1中的數(shù)據(jù)對比可以看出，不同b值條件下尖端塑性區(qū)范圍相差約20%，說明是否考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)對確定Ⅰ型裂縫范圍計算有較大影響。同時，隨著b值的不斷增加，塑性區(qū)范圍降低約40%～60%，說明在裂縫尖端延長線上考慮中間主應(yīng)力的作用下可以有效縮減塑性區(qū)分布范圍。

3.3 考慮圍壓的泥頁巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)計算

實際當(dāng)中泥頁巖井壁受到圍壓作用，圍壓會對裂縫尖端塑性區(qū)的大小和形狀產(chǎn)生影響。考慮圍壓作用時，裂縫前端附近的主應(yīng)力公式(8)、(9)、(10)調(diào)整為

(13)

圖2 不同拉壓強度比條件下泥頁巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界曲線Fig.2 The boundary curve of plastic zone of type Ⅰ crack tip of the shale crack under the condition of different ratio of tension-compression strength

表1 考慮拉壓強度比變化的不同b值條件下泥頁巖裂縫尖端塑性區(qū)范圍Table 1 The scope of plastic zone of type Ⅰ crack tip of shale under the condition of different b value and different tension-compression strength ratio

(14)

(15)

式中：p為圍壓；其余符號含義同前。將式(13)、(14)、(15)代入雙剪統(tǒng)一強度理論判別式，發(fā)現(xiàn)同樣符合式(1-b)的判別條件，因此將式(13)、(14)、(15)代入式(1-b)，整理得

(16)

依據(jù)文獻[26]中的實際測試數(shù)據(jù)，取圍壓p=15.2 MPa，應(yīng)力強度因子KI=4.1 MPa·m1/2，拉壓強度比及泊松比仍與前保持一致，將上述數(shù)據(jù)代入式(16)。同時分別取b=0(Mohr-Coulomb強度準則)、b=0.5(Mises強度準則)及b=1(雙剪強度準則)[22]，繪制出3種強度準則下考慮圍壓作用的泥頁巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)如圖3所示。

圖3 不同強度準則下考慮圍壓作用的泥頁巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界曲線Fig.3 The boundary curve of plastic zone of type Ⅰ crack tip in consideration of the confining pressure under the condition of different strength criteria

從圖3可以看出，考慮圍壓作用的3組曲線均表現(xiàn)出Ⅰ型裂縫的對稱性特點。從塑性區(qū)的范圍來看，依據(jù)Mohr-Coulomb強度準則所確定的裂縫尖端塑性區(qū)最大，而雙剪強度準則所確定的最小，兩者相差42%；Mises強度準則計算結(jié)果居中，與雙剪強度準則計算結(jié)果的差值為9.4%。3種強度準則條件下裂縫尖端塑性區(qū)計算結(jié)果如表2所示。同時，曲線在0°和180°兩個位置的曲率隨著不同強度準則的變化而有較大的改變，隨著中間主應(yīng)力發(fā)揮比例的不斷增加，上述兩個位置的曲線曲率不斷平滑，這表明在塑性區(qū)裂縫延長線上裂縫擴展速率會隨著中間主應(yīng)力的不斷提升而逐漸降低。結(jié)合上述分析，從理論角度來講，b值的選取可以參照以下思路：裂縫發(fā)展以剪切破壞為主，b值可以選擇0和0.2；如果是介于剪切破壞和張拉破壞之間的情況，b值可以選擇0.4和0.6；如果以張拉破壞為主，b值可以選擇0.8和1.0。

表2 考慮圍壓作用的不同強度準則下泥頁巖塑性區(qū)計算Table 2 Calculation of plastic zone of shale in consideration of the confining pressure under the condition of different strength criteria

4 結(jié) 論

通過應(yīng)用雙剪統(tǒng)一強度理論推導(dǎo)井壁圍巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界表達式并以泥頁巖井壁為代表進行討論，可以得出如下結(jié)論：

a.中間主應(yīng)力對井壁圍巖Ⅰ型(張拉型)裂縫尖端塑性區(qū)分布有較大影響。拉壓強度比對裂縫尖端塑性區(qū)的分布情況影響較小。

b.考慮中間主應(yīng)力的積極作用可以在含張拉裂縫的井壁圍巖中充分發(fā)揮巖石自身強度，減小圍巖的塑性區(qū)范圍。

c.考慮中間主應(yīng)力可以降低圍巖張拉裂縫尖端的擴展速率，從而改善裂縫在尖端的應(yīng)力集中現(xiàn)象。

d.推導(dǎo)建立的裂縫尖端塑性區(qū)統(tǒng)一解表達式具有良好的涵蓋性，通過改變b值可以得到不同強度準則條件下井壁圍巖Ⅰ型裂縫尖端塑性區(qū)邊界。b值是表征中間主應(yīng)力對材料破壞影響的參數(shù)，同時也對應(yīng)于不同的強度準則，其值可以依據(jù)井壁圍巖Ⅰ型裂縫的實際開裂和破壞情況予以選擇。