何樂為，冉佳權(quán)，劉紅文，楊慶

（1.重慶大學(xué)輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室，重慶 400030；2.云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，昆明 650217）

0 前言

中壓配電網(wǎng)普遍采用小電流接地方式[1]。小電流接地系統(tǒng)發(fā)生最多的故障是單相接地故障。而在單相接地事故中，絕大部分屬于電弧性接地。弧光接地故障引起的過電壓對配電網(wǎng)的危害非常嚴(yán)重，其不穩(wěn)定、難預(yù)測的特點使得針對它的防范措施效果有限，其中一個重要的原因就是電弧燃燒時的不確定性[2-5]。想要有效減小孤光接地故障帶來的危害，就必須對電弧暫態(tài)特性有一個清晰的認(rèn)識。而試驗方式研究電弧特性成本高，不方便，因此使用建模的方式研究電弧特性是一個行之有效的方法。

交流電弧燃熾過程的特點是交流電弧中電流每半周要經(jīng)過零值一次。在電流自然過零前后一段時間內(nèi)，弧隙電阻變得相當(dāng)大，以致成為限制電流值的主要因素。雖然電弧事實上僅在某一瞬間過零，但在電流自然過零前后整個一小段時間內(nèi)，電流都近似等于零，而整個這一段時間就稱為電流零休的時間。電流零休時間變化范圍較大，在幾到幾千微秒之間不等。電流零休的時間與許多因素有關(guān)，一方面與弧隙內(nèi)部過程有關(guān)，另一方面與電路條件即電壓、電流及電路常數(shù)（電阻、電感、電容）有關(guān)。交流電弧的重燃與熄滅與電弧電流過零現(xiàn)象密切相關(guān)[6-8]。

交流電弧電流零休這段時間中，弧隙從導(dǎo)體逐漸變成絕緣介質(zhì)，交流電弧的熄滅主要取決于這一過程。到目前為止，在分析電弧過程方面主要有四種理論，即彼得生（W．Peterson）理論（高頻熄弧理論）、彼得（J．F．Peters）和斯列賓（J．Slepian）理論（工頻熄弧理論）、弧隙介質(zhì)強(qiáng)度恢復(fù)理論以及弧隙能量平衡理論[9]。多數(shù)研究者認(rèn)為電弧的熄滅與重燃的時間是決定最高過電壓的主要因素。以高頻振蕩電流第一次過零時熄弧來分析電壓發(fā)展過程的，稱為高頻熄弧理論；以工頻電流過零時熄弧來分析過電壓的發(fā)展過程的，稱為工頻熄弧理論；弧隙介質(zhì)強(qiáng)度恢復(fù)理論是斯列賓提出的，他們認(rèn)為在過電壓的發(fā)展過程中，起主要作用的不是熄弧時間，而是熄弧后間隙的電介質(zhì)絕緣強(qiáng)度恢復(fù)速度。當(dāng)電流過零后，電介質(zhì)絕緣強(qiáng)度恢復(fù)速度大于電壓恢復(fù)速度時，重燃就不會再發(fā)生。弧隙能量平衡理論是柯西提出的，認(rèn)為電弧重燃不是電流過零后簡單的熱擊穿，而是電路及弧隙之間能量平衡的性質(zhì)。當(dāng)弧隙的輸入能量小于散發(fā)的能量，電弧熄滅。

電弧模型有兩種研究途徑：數(shù)學(xué)- 物理模型以及純數(shù)學(xué)模型，稱為黑盒模型（Black box models）。數(shù)學(xué)- 物理模型詳細(xì)研究電弧的物理過程，需要對電弧燃熾和熄滅過程出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，特別是對接近電流過零的能量現(xiàn)象有全面的認(rèn)識。黑盒模型將電弧當(dāng)作一個兩端元件(即黑盒)，利用一個所選擇的數(shù)學(xué)方式來決定傳遞函數(shù)，它僅描述電弧的外部特性，更適合用來研究配電網(wǎng)弧光接地。對電弧黑盒模型的研究始于20 世紀(jì)30 年代。1939 在全球電力網(wǎng)絡(luò)大會上，CassieA.M 發(fā)表了著名的以他名字命名的Cassie 模型[10]；1943 年Mayr.O 發(fā)表了另一著名的以其名字命名的Mayr 模型[11]。兩人都是在不同的假設(shè)條件下，只考慮一種散熱方式而給出的模型。之后黑盒模型的發(fā)展主要分為三類，一類是控制論模型，一類是以各種方法修正Mayr 模型的黑盒模型，還有一類是跳出能量平衡理論，采用其他理論的黑盒模型。這些模型各有不同的適用條件。本文對近年來的配電網(wǎng)弧光接地的電弧模型進(jìn)行對比分析，并在對其優(yōu)缺點作對比分析的基礎(chǔ)上提出今后的發(fā)展方向。

1 經(jīng)典Cassie、Mayr模型

Cassie 和Mayr 的模型都是從熱平衡的角度出發(fā)來推導(dǎo)數(shù)學(xué)表達(dá)式，但兩者的假定條件略有不同，主要區(qū)別在于：Cassie 假定電弧弧柱中的溫度一直保持不變，即無論在電弧發(fā)生過程的時間上還是電弧弧柱的空間上，溫度大小都認(rèn)為一直不會變化，而Mayr 假定弧柱的直徑保持不變，電弧的溫度沿著直徑越遠(yuǎn)離圓心溫度越低；Cassie 假定電弧熱量的發(fā)散只與電弧中的氣體流動或與電弧氣體流動相關(guān)的圓柱體變化過程有關(guān)，而忽略從電弧圓柱體兩段散發(fā)出的熱量，而Mayr 假定電弧圓柱體中功率主要是通過電弧熱量的散射和熱能傳導(dǎo)分散，而忽略圓柱體中氣體對流的情況。Cassie 模型為

Mayr 模型的表達(dá)式為

其中，g 為電弧單位長度的電導(dǎo)，τc、E0、τM、Ploss為模型參數(shù)，均為常數(shù)。兩者的形式比較相近，區(qū)別在于，在Cassie 的方程中，時間常數(shù)τc是等值的變化著的能量與散發(fā)出能量之間的比值，而在Mayr 的方程中，時間常數(shù)τM表示特性的貯存能量與散出能量（假定為常數(shù)）之間的比值。Cassie 電弧模型適合描述電弧電阻較小，即電流過零前的狀況，而Mayr 模型適合描述電弧電阻較大，即電流過零后的狀況。

2 控制論模型

控制論模型的主要改進(jìn)在于將模型參數(shù)由靜態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)[12-14]。Hochrainer 于1971年提出控制論模型[15]，后又進(jìn)一步發(fā)展。Hochrainer 將電弧的動態(tài)特性用穩(wěn)態(tài)電導(dǎo)G(ia)和時間特性τ(ia) 來描述，并假定這兩個參數(shù)都是電流ia的絕對值的函數(shù)，通過電流零區(qū)的電導(dǎo)和電導(dǎo)的一階導(dǎo)數(shù)，可以得到G(ia)、τ(ia) 的序列?？刂普撃Ｐ偷谋磉_(dá)式為

在穩(wěn)態(tài)時，它和Mayr 模型是等效的，兩者的區(qū)別在于暫態(tài)，控制論模型中的時間特性τ是隨電流變化的函數(shù)，而Mayr 模型中的時間特性為一常數(shù)。用控制論模型仿真得到的電弧電流波形如圖1。

圖1 控制論模型仿真電弧電流

Matsumura 和Stokes 等人[16]在控制論的基礎(chǔ)上作了發(fā)展。仍假定G為電流絕對值的函數(shù)，其主要改進(jìn)在于，把響應(yīng)時間特性表達(dá)為動態(tài)電導(dǎo)的函數(shù)τ(g) 而非τ(ia)。時間特性應(yīng)當(dāng)與描述電弧在任何時刻的實際狀態(tài)的參數(shù)有關(guān)，而動態(tài)電導(dǎo)是代表電導(dǎo)的實際狀態(tài)，因此時間特性更適合表達(dá)為動態(tài)電導(dǎo)的函數(shù)。福州大學(xué)的許曄[17]等將改進(jìn)的控制論模型應(yīng)用于配電網(wǎng)單相弧光接地的仿真中，分析了不同電弧長度對電弧阻抗、接地電弧穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)特性的的影響。發(fā)現(xiàn)：電弧越長，電弧的阻抗越大，弧柱上壓降越大，零休時間變長，電流振蕩衰減速度變快。而對于電弧電流的幅值幾乎無影響，與實際情況較為符合，表明控制論模型在配網(wǎng)電弧仿真方面有較好的適應(yīng)性。

3 修正的Mayr模型

修正的Mayr 方程黑盒模型的研究工作集中于如何確定其參數(shù)τM和Ploss[18-20]。Amsinck[21]認(rèn)為在τM和Ploss是電導(dǎo)g的函數(shù)，電弧過零前后的不同時刻t1、t2具有相同電導(dǎo)g處的τM和Ploss是相同的，可以據(jù)此近似得到τM(g) 和Ploss(g)的變化曲線。Zuckler[22]認(rèn)為在一個很短的時間區(qū)間內(nèi)，τM和Ploss變化很小，以至于可以近似認(rèn)為不變，因此可以通過聯(lián)立兩個很近時間點上的Mayr 方程，把τM和Ploss看作是該時間段內(nèi)的平均值，來獲得他們的序列。但此法僅適用于電弧電流過零前的計算，在電流過零后區(qū)域上，用此法會得到負(fù)值的τM，因此并不適宜。Schavemaker[23]將時間常數(shù)τM設(shè)為常數(shù)，通過計算發(fā)現(xiàn)Ploss與電弧輸入功率ui呈線性關(guān)系，于是將Ploss寫成輸入功率的一次函數(shù)Ploss=P0+uiP1，用P0和P1兩個參數(shù)來表達(dá)耗散功率。該方法能較好地模擬零區(qū)附近的電弧特性，但是該模型是針對SF6氣體中的電弧搭建的，對于空氣電弧的適用性還未可知。Helsinki University of Technology(TKK)的Darwish等人[24]在Mayr 方程的基礎(chǔ)上將τM寫成以e為底，動態(tài)電導(dǎo)g的指數(shù)函數(shù)τM=AeBg，而將Ploss寫成電弧電流絕對值的正比例函數(shù)，在電流的正負(fù)半?yún)^(qū)各用一組參數(shù)來對20 kV 系統(tǒng)樹枝接地的情況進(jìn)行仿真，如圖2，并和試驗進(jìn)行對比，結(jié)果符合較好。但需要注意的是，由于試驗中用了樹枝進(jìn)行接地，屬于高阻接地，電弧電流非常小，為mA 級別，燃弧也較為穩(wěn)定，因此該模型在幾安到幾十安的弧光接地，甚至伴隨間歇性燃弧的情況下，仿真效果可能會不理想。

圖2 TKK仿真電弧電壓和電流波形

4 其他模型

上述模型都是基于弧隙能量平衡推導(dǎo)出的，也有從其他理論出發(fā)進(jìn)行模型推導(dǎo)的。如清華大學(xué)的王賓等人提出的對數(shù)模型[25]，從湯遜理論出發(fā)，通過電離系數(shù)α，利用大量電子的定向運動來表達(dá)電弧電流，再通過實驗得到α與電場強(qiáng)度E之間的近似關(guān)系，從而將電弧電流與電弧的場強(qiáng)聯(lián)系起來，也將電弧電流與電弧電壓聯(lián)系起來，從而直接得到關(guān)于兩者的解析式：

其中u、i分別為電弧兩端的電壓和流過電弧的電流，IS為一與電離系數(shù)有關(guān)的常數(shù)。該方程較好地描述了高阻接地故障的熄弧-重燃動態(tài)特性，如圖3。但是該模型針對的是220 kV輸電線路進(jìn)行，在配網(wǎng)線路上實際應(yīng)用情況如何還有待進(jìn)一步研究。

圖3 對數(shù)模型和Mayr模型、實際波形的對比

上海交通大學(xué)的顧榮斌等人[26]根據(jù)空氣中靜態(tài)電弧的經(jīng)驗表達(dá)式，通過將電弧長度分為幾個區(qū)段，在每個區(qū)段建立相應(yīng)弧長的靜態(tài)電弧表達(dá)式，聯(lián)立方程組合得到不同長度下電弧的特性方程組：

用這種模型對10 kV 中性點不接地系統(tǒng)的單相弧光接地進(jìn)行仿真，其穩(wěn)定燃弧時仿真波形與實際實驗波形一致，證明了模型是適用的。但是這種方法依賴于靜態(tài)電弧經(jīng)驗公式的準(zhǔn)確性，且對于長度只能取固定的離散值，在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時需要全盤調(diào)整參數(shù)，較為繁復(fù)。

5 發(fā)展趨勢

經(jīng)典的Cassie 和Mayr 模型提出時間很早，但限于當(dāng)時的計算能力和測量條件，無法更進(jìn)一步地對模型進(jìn)行改進(jìn)，因此準(zhǔn)確性欠佳[27]。20 世紀(jì)70 年代以后，得益于計算機(jī)技術(shù)的興起，使得學(xué)者們能夠?qū)δＰ瓦M(jìn)行驗證和改進(jìn)?？刂普撃Ｐ碗娀〉膭討B(tài)特性用穩(wěn)態(tài)電導(dǎo)G(ia)和時間特性τ(ia)來描述，G和τ都是隨電弧電流變化的，即隨時間變化的，而經(jīng)典模型對這部分特性是用常數(shù)來表達(dá)，是靜態(tài)的。因此控制論模型更加先進(jìn)，可塑性更強(qiáng)。類似地，修改的Mayr 模型也是從參數(shù)下手，研究τM和Ploss的變化規(guī)律和影響因素，以求得到最符合實驗結(jié)果的表達(dá)式。但兩者的問題都在于如何求解G和τ隨時間的變化。純理論分析很難徹底解決這個問題，一是電弧理論本身就不完善，二是實際工況中的電弧具有隨機(jī)性，僅靠數(shù)學(xué)推導(dǎo)無法完整準(zhǔn)確地反映電弧特性。因此，要進(jìn)一步研究配電網(wǎng)的電弧模型，就必須要有大量不同工況下詳實可靠的實測數(shù)據(jù)來對模型進(jìn)行校正，比如不同海拔、不同接地電阻、不同接地電容等條件下的實測數(shù)據(jù)。由基本理論推導(dǎo)模型表達(dá)式，再根據(jù)實測數(shù)據(jù)對電弧模型進(jìn)行修正，研究模型參數(shù)的變化規(guī)律和影響因素，并對電弧理論進(jìn)行反哺，是今后電弧黑盒理論的發(fā)展趨勢。

6 結(jié)束語

對電弧的黑盒模型的發(fā)展進(jìn)行了梳理，總結(jié)了各個模型的特點，對比了模型的適用條件和其在配電網(wǎng)中的適應(yīng)性。經(jīng)典的Cassie 和Mayr 模型提出時間很早，但一般不直接將其用于電弧建模，多采用后來的學(xué)者們改進(jìn)的模型；控制論模型和修改的Mayr 模型用隨時間變化的參數(shù)描述電弧的動態(tài)特性，理論上有很強(qiáng)的可塑性，也已經(jīng)有學(xué)者通過加入弧長變量，在配網(wǎng)仿真中取得了較好的結(jié)果；其他模型沒有從能量平衡理論出發(fā)，研究者相對較少，有一定的特殊性和針對性，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜且容易變化的配網(wǎng)來說不太適用。而今后配網(wǎng)中電弧黑盒模型的發(fā)展，是遵循“理論-模型-實驗-理論”的閉環(huán)，不斷往復(fù)校正的過程。