“數(shù)與代數(shù)”作為義務教育階段數(shù)學課程教學的四大內容之一，不僅有數(shù)的概念的學習，還包含了代數(shù)思維的學習。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）明確提出“理解符號[<]，=，[>]的含義”，“能結合生活實際，解決與常見的量有關的簡單問題”，“在具體運算和解決問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系”，“了解等式的性質，會用等式的性質解決簡單的方程”。代數(shù)思維主要體現(xiàn)在符號、簡單的量的關系、等式與方程的過程與結構之中。代數(shù)思維的形成是學生學習數(shù)學的重要轉折點。因此，在算術的學習轉向代數(shù)的學習過程中要做好數(shù)的學習與代數(shù)學習的銜接，這樣有利于學生在知識體系中對代數(shù)有更恰當?shù)睦斫?，為代?shù)的學習奠定基礎。

在現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中，無論哪個版本的教材，都安排了豐富的代數(shù)學習素材，幫助學生由算術思維過渡到代數(shù)思維，從而實現(xiàn)由小學數(shù)學學習到初中數(shù)學學習的無縫銜接。

一、代數(shù)思維的內涵解析

（一）代數(shù)思維的內涵

代數(shù)是由算術演變而來的一種以解方程的原理為中心的、系統(tǒng)的、更普遍的解決各種數(shù)量關系的方法，是對各種數(shù)量問題的解法進行總結并提煉的結果。[1]但代數(shù)思維與算術思維有著本質上的不同。算術思維是從條件出發(fā)，利用具體的數(shù)量計算記錄解答中的思考過程，等式兩邊是不對稱的，表現(xiàn)為：左邊表明的是具體的計算，右邊則是計算所得出的結果。這個過程是程序性的。而代數(shù)思維研究的對象是代數(shù)式及其運算與變換，是通過聯(lián)系條件與問題，利用數(shù)量相等來建立關系后轉化并產(chǎn)生一定的表達式的結構，其本質是一種關系思維。因而代數(shù)思維既有代數(shù)的結構化和符號化的特點，同時又兼具思維的抽象化和概括化的特點。國際數(shù)學教育界認為代數(shù)思維主要包含兩個含義：借助于符號的一般化;符號的形式操作。[2]

（二）代數(shù)思維中的主要數(shù)學思想

數(shù)學思想是數(shù)學課程教學的精髓，是學生學習數(shù)學必備的素養(yǎng)。學生學習數(shù)學不僅僅是掌握包括定理、公式、運算程序以及解題方法在內的數(shù)學知識與技能等必要的數(shù)學知識結論，還需要在學習這些知識結論的過程中獲得數(shù)學思想?？傮w而言，小學數(shù)學代數(shù)思維涉及的主要數(shù)學思想有符號化思想、函數(shù)思想、方程思想以及模型思想。

1.符號化思想

數(shù)學世界是一個符號化的世界。數(shù)學符號因其具有簡明、抽象、清晰和準確等特點成為數(shù)學世界中常用的語言，并促進了數(shù)學的發(fā)展與推廣應用。代數(shù)思維中主要涉及字母、圖形、手勢和行為等符號，這些數(shù)學符號是人們在研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系和空間形式的過程中產(chǎn)生的，由于使用便利，人們對一種符號賦予了一定的含義，使其能夠進行精確的數(shù)學運算和推理證明。例如，在探究“加法交換律”時，學生受認知發(fā)展水平的限制，通過算式的特點能夠理解[a]+2=2+[a]，明白[a]與2之間的數(shù)量關系，進而轉化為可以用符號表示的運算律：[a]+[b]=[b]+[a]。但是對于代數(shù)思維來說，使用字母符號既不是必要的，也不是充分的。代數(shù)思維的核心是“分析+概括”，而非字母本身。[3]也就是說，代數(shù)思維不是必須使用“字母”，而是強調符號化思想。

2.函數(shù)思想

小學數(shù)學蘊含著豐富的函數(shù)思想。函數(shù)是描述自然界中一種量會隨著另一種量的變化而變化的關系，強調量與量的一種依存關系。函數(shù)思想是指用運動發(fā)展變化的眼光去探究具體問題中存在的數(shù)量關系，建立起函數(shù)關系，從變化當中找到不變的規(guī)律，進而對事物的變化規(guī)律進行描述，在相互依存、相互關聯(lián)的量中，根據(jù)其中的一個量表示出另一個量。比如，在教學正比例和反比例的內容時，已知鉛筆每支售價1.2元，要解決的問題是：購買2支、3支……10支鉛筆分別需要的價錢。分析后發(fā)現(xiàn)，鉛筆支數(shù)的增加會導致價錢的變化。如果購買[n]支鉛筆，那么總價錢[m]元和鉛筆[n]支就可以用[m]=1.2[n]來表示。

3.方程思想

方程思想是指從分析問題的數(shù)量關系入手，通過假定未知數(shù)（如[x]），把問題中條件的已知量和未知量的數(shù)量關系轉化為方程或方程組的形式，再利用等式的性質求出未知量解決問題。方程思想的核心就是找出未知和已知之間的關系，用不含數(shù)字的數(shù)學符號表示出問題中出現(xiàn)的數(shù)量間等價的關系，建構出對應的數(shù)學模型。

方程思想是典型的代數(shù)思維的體現(xiàn)，從列數(shù)學算式解決問題到列方程解決問題，學生的思維方式發(fā)生了較大的變化。在問題解決過程中，學生能夠快速地通過列算式解決問題，比如在總價問題、折扣問題、路程問題中的條件較為簡單明了，運用算式求解就是不錯的選擇。但是在復雜的問題解決中更強調學生積極使用代數(shù)思維，先分析條件、明確問題，找出問題中的相等關系，然后用方程表示已知量和未知量的相等關系，再結合四則運算的性質和等式的性質解方程。這體現(xiàn)了方程思想把問題中的未知量和已知量放在等同的位置，從而降低分析問題和解決問題的難度，有利于學生解決數(shù)量關系較為復雜的問題。

4.模型思想

模型思想是小學數(shù)學教學中的核心思想。模型思想是指用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的數(shù)學結構來解決實際問題的思想方法。小學生在列方程解決問題時經(jīng)歷的建模過程，主要體現(xiàn)在從一個問題情境中發(fā)現(xiàn)某種關系，再用數(shù)學符號語言對這個關系進行描述，建立起一個含有未知數(shù)的等量關系，或者是在幾個有聯(lián)系的問題情境中發(fā)現(xiàn)相同的數(shù)學結構，用表格、線段圖、圖形等形式來解釋。

二、小學生代數(shù)學習中存在的問題

“數(shù)與代數(shù)”作為小學數(shù)學課程內容的重要組成部分，是學習數(shù)的概念之后的進一步深化和提升，在數(shù)學課程內容中所占比重大，分布較為廣泛，內容主要涉及字母表示數(shù)、式與方程、正比例與反比例等。相比較而言，從表現(xiàn)形式上看，代數(shù)思維是一種形式的符號操作;從思維形式上看，代數(shù)思維是一種基于規(guī)則的推理;從問題解決的本質來看，代數(shù)思維是一種數(shù)學建模活動;從代數(shù)的本質上看，代數(shù)思維是以一般化的思想為核心。[4]小學生的抽象概括能力比較低，如果教師不重視引導學生運用代數(shù)思維解決問題，就會造成小學生在代數(shù)學習中出現(xiàn)一些問題。

（一）在符號表征方面的理解與使用上存在困難

表征是指由符號或符號組成的代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)來表示數(shù)學中的對象或結構。從“代數(shù)”的字面意思來看，可以理解為用符號表示數(shù)。符號強調的是字母、圖形等，用符號表示數(shù)字，實際上就是把符號看成是“待解的已定數(shù)”，使解題的焦點產(chǎn)生轉移。但學生在梳理一些問題的條件時，會在一些具體的問題情境中出現(xiàn)難以理解符號表征的情況，如：○-△=3，□+○=16，△+4=10。□=（ ），○=（ ），△=（ ），○、□和△這些符號在式子中都是用來表示具體的數(shù)，當這些具體的數(shù)暫時被符號所代替時，有的學生就會感到有困難，因為問題的焦點不再是以“某數(shù)”的形式存在，而是轉化為求出這些方程式及其解答方法上了。如果學生仍然糾結于○-△的結果是3、□+○的結果是16、△+4的結果是10的話，就很容易忽視等號兩邊之間相等的關系，也就不能正確理解符號所代表的關系，導致解答錯誤。

（二）將特殊情境聚焦于一般化的解題方法上有難度

《標準》在第二學段的學習目標中提出能用方程表示簡單的數(shù)量關系，能解簡單的方程，要求學生能運用方程思想和函數(shù)思想找出問題情境中的數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)相等的量，跳出題目所給的特殊的情境與數(shù)字。

一般化是代數(shù)思維的核心，是代數(shù)學習的基礎。[5]在簡單的問題解決中，如果學生只是借用代數(shù)的符號，就題解題，只關注6+7的結果是13（如6+7=13），這實際上運用的還是算術思維，并沒有關注符號背后支撐其相等關系的代數(shù)思維，會影響學生在復雜的問題情境中發(fā)現(xiàn)已知量和未知量之間的關系，形成問題結構化，導致無法順利地解答問題。傳統(tǒng)的數(shù)學教學認為，小學數(shù)學以培養(yǎng)學生的算術思維為主，把學生的代數(shù)思維發(fā)展看作是中學數(shù)學教學的任務，導致教學時對代數(shù)思維中的數(shù)學思想滲透得比較少，這也給小學生的代數(shù)學習及其代數(shù)思維的發(fā)展帶來了障礙。

（三）既有的算術思維習慣和偏愛的阻礙

皮亞杰的兒童認知發(fā)展理論認為，兒童在感知運動階段就能夠對較小的數(shù)量產(chǎn)生反應，因此，進入小學之前就具備較強的算術思維。進入小學后，一直到四年級，學生都是用算術方法解題，到五年級開始學習方程時容易出現(xiàn)不習慣用列方程的方法解題的情況，當看到能用算術方法解題時就會直接運用算術思維解決。此外，已有的研究發(fā)現(xiàn)，學生對體現(xiàn)算術思維背后的數(shù)值性方法的喜愛勝過于用結構化的方法，這是因為小學生接觸的大多數(shù)是簡單的數(shù)量關系，知道如何去做，在這種情況下用方程解題的優(yōu)勢就難以凸顯出來，用方程解決問題的意識就比較薄弱，相應的，列方程解題的能力也會受到影響。

三、小學生代數(shù)思維的培養(yǎng)策略

在學生從算數(shù)思維過渡到代數(shù)思維的學習中存在的困難與問題的研究中發(fā)現(xiàn)，算術思維向代數(shù)思維的過渡絕不僅僅是通過大量的算術練習或符號操演就能解決的。小學生代數(shù)思維的培養(yǎng)可以圍繞關注符號表征、方程思想解題、函數(shù)思想及關系性思維幾個方面展開。

（一）在多元表征的學習中發(fā)展學生的符號表征意識

在教學中，代數(shù)思維的培養(yǎng)要注重符號語言。學生能夠運用自然語言描述量與量之間的關系后，教師可以引導學生思考能否用符號或者含有字母的式子表示，使學生在主動發(fā)現(xiàn)與交流中利用包括符號在內的多種形式表征同一情境，從而加深對不同表征形式中的等價關系的理解，將等價關系推廣到類似的情境中發(fā)展代數(shù)思維。

例如，在教學“整數(shù)乘法的認識”時，教師可以呈現(xiàn)：2+2+2=（ ）×（ ），4+4+4=（ ）×（ ），9+9+9=（ ）×（ ），△+△+△=（ ）×（ ），[a]+[a]+[a]=（ ）×（ ）。通過△、[a]表示算式中相同的加數(shù)，引導學生進一步思考△、[a]可以表示哪些數(shù)，從而理解乘法的意義。在學習運算律時，教師可以引導學生簡化“加法交換律、加法結合律、乘法交換律以及乘法結合律是什么”的自然語言，讓學生用符號語言來呈現(xiàn)，再對符號所代表的數(shù)進行討論，將符號滲透到變量和等量關系中，這對學生學習代數(shù)來說是非常有必要的。符號語言的概括化與一般化也是代數(shù)思維的特點，為在問題解決中的使用提供了便利，也提高了學生的代數(shù)思維能力。

（二）培養(yǎng)學生用列方程解題的意識和能力

《標準》明確了通過“式與方程”的學習，學生頭腦中的數(shù)的概念得以擴展，能更簡明地用符號表達日常生活中的數(shù)量關系及一般規(guī)律?！笆脚c方程”的學習是學生由算術學習轉向代數(shù)學習，由算術思維向代數(shù)思維發(fā)展的必經(jīng)之路。由算術思維過渡到代數(shù)思維，教師需要精心設計教學活動，讓學生經(jīng)歷這一過程。

第一，培養(yǎng)學生用方程解題的意識。小學生在解決問題過程中往往習慣于利用頭腦中已有的算術知識經(jīng)驗，且大多數(shù)剛學習方程的學生并不能意識到方程的優(yōu)點，主觀使用方程解題的意愿不高。對于計算較為復雜的題目，用算術法解題比較復雜，步驟繁瑣，相比較而言，用方程解題有以下優(yōu)勢：可以根據(jù)條件中的數(shù)量關系進行整體的構造，能清晰地解釋問題的結構，避免在算術解題中對中間變量進行解釋;通過將未知數(shù)與已知數(shù)放到對等的位置上操作，能避免算式解題中逆向思維所帶來的困難。所以，教學中教師可以設置一些趣味性的生活問題或稍微復雜的問題情境，讓學生切實感受到列方程解決問題的獨特價值，培養(yǎng)學生用方程解題的意識。

第二，提高學生用方程解題的能力。在日常的問題解決教學中，教師要有意識地訓練學生尋找題目中的數(shù)量關系，弄清楚題目需要的是直接假設還是間接假設需要的量，然后用符號語言建構方程。在用相等的數(shù)量關系寫出方程后，教師再指導學生應用四則運算的性質或利用等式的性質解方程，明確假設的量是使這個方程平衡的值，從而發(fā)展學生用列方程解決實際問題的代數(shù)思維。

（三）創(chuàng)設合適的情境，滲透函數(shù)思想

代數(shù)思維的核心思想是一般化，突破具體問題情境的限制，尋找到一般化的思想也是函數(shù)思想的體現(xiàn)。盡管在《標準》中沒有明確指出第一學段有關函數(shù)思想的內容，但結合現(xiàn)行的小學數(shù)學教材就會發(fā)現(xiàn)，在第一學段的學習中，函數(shù)思想主要是通過表格、找規(guī)律等形式進行滲透。

如下表，教學時教師通過讓學生觀察被減數(shù)和減數(shù)的數(shù)值變化情況，能夠總結出差的變化規(guī)律。當然，也可以表征發(fā)現(xiàn)減數(shù)與差的關系，推廣到減數(shù)與差的和、被減數(shù)之間的等價關系。同時，教師可以詢問學生能不能再寫出滿足這樣關系的量并描述其變化規(guī)律。

減法算式各部分之間的關系[被減數(shù) 70 70 70 70 減數(shù) 14 24 34 44 差 ]

在第二學段，教師可以通過學生熟悉的問題情境去研究變量間更進一步的關系。教學正比例和反比例時，教師要鼓勵學生在分析具體問題和進行數(shù)據(jù)計算后，進一步探究問題中的簡單的表達式，根據(jù)問題中變量之間的呈正比或者呈反比的關系，嘗試建立起自變量、因變量和常數(shù)的關系，同時聯(lián)系生活實際，體會量與量之間一一對應的關系，抓住問題情境中最為本質的函數(shù)關系，引導學生進入真正意義的代數(shù)學習。

（四）關注學生關系性思維的培養(yǎng)

關系性思維是代數(shù)思維的基礎，是基于將等號兩側的表達式和等式看作整體，對各數(shù)量“有聯(lián)系地”進行思考，揭示相互關系的思維。這種“聯(lián)系”是不需要通過常規(guī)的計算得出結果，是通過呈現(xiàn)出的一系列常規(guī)算式在比較中去抓住數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。[6]例如，計算58+37可以利用58接近60，通過58“增加2”，則37“減去2”轉化為60+35。這種轉化就隱含著“[a]+[b]=（[a]+[c]）+（[b]+[c]）”這樣一種代數(shù)關系和結構。受這種關系結構式的啟發(fā)，學生利用這種策略解決不同的數(shù)字問題，不僅體現(xiàn)了代數(shù)思維中對等號兩邊數(shù)量關系的等價，也表現(xiàn)了對“抵消”這一數(shù)字關系的理解。這樣，即使學生思考的對象是算術，實際上卻是代數(shù)思想在支撐著。

參考文獻：

[1]李星云.論中小學數(shù)學教學的銜接[J].廣西教育，2012，（11）：28.

[2]徐文彬.如何在算術教學中也教授代數(shù)思維[J].江蘇教育，2013，（9）：16-17.

[3]鄭毓信.數(shù)學教學與學會思維——“教數(shù)學、想數(shù)學、學數(shù)學”系列之四[J].小學數(shù)學教師，2015，（6）：4-11.

[4][5]周穎嫻.初一學生從算術思維過渡到代數(shù)思維的困難分析[D].蘇州大學，2009：8-12.

[6]張曉霞，宋敏.小學生關系性思維的測試與分析[J].教育與教學研究，2009，（7）：24-27.

[作者簡介]李星云，男，南京師范大學小學教育研究所所長、教授、博士生導師。

（責編 歐孔群）