李海軍　夏靜　史恒惠　劉長良　王梓齊

摘要：針對工業(yè)過程的軟測量建模，為對輸入與輸出變量間的時(shí)滯關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確、快速地估計(jì)，提出一種基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)方法。該方法以模型輸入和輸出數(shù)據(jù)間的復(fù)相關(guān)系數(shù)為指標(biāo)，將時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為多維優(yōu)化問題，進(jìn)而對各輸入變量的時(shí)滯時(shí)間進(jìn)行尋優(yōu)。針對火電廠脫硝系統(tǒng)的NO，排放軟測量，基于實(shí)際的運(yùn)行數(shù)據(jù)和最小二乘支持向量機(jī)算法，對所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證并與其他時(shí)滯估計(jì)方法進(jìn)行對比。結(jié)果表明：基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的時(shí)滯估計(jì)方法計(jì)算速度較快，時(shí)滯估計(jì)結(jié)果較準(zhǔn)確，能在一定程度上提高軟測量模型的準(zhǔn)確度。

關(guān)鍵詞：復(fù)相關(guān)系數(shù);時(shí)滯聯(lián)合估計(jì);NO_x排放;軟測量

中圖分類號：TP206 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）08-0140-05

收稿日期：2018-07-16;收到修改稿日期：2018-09-04

基金項(xiàng)目：北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（4182061）

作者簡介：李海軍（1973-），男，河南焦作市人，工程師，研究方向?yàn)榛痣姍C(jī)組軟測量、遠(yuǎn)程診斷。

0 引言

工業(yè)過程的軟測量建模，除了受輔助變量選取、建模方法等因素的決定外，輔助變量與主導(dǎo)變量間的時(shí)滯關(guān)系同樣會(huì)對模型準(zhǔn)確度產(chǎn)生一定的影響[1]。若不考慮輔助變量的時(shí)滯，會(huì)在一定程度上對模型的準(zhǔn)確度產(chǎn)生負(fù)面影響。對于復(fù)雜的生產(chǎn)過程，很難通過機(jī)理分析確定具體的時(shí)滯時(shí)間。因此，在實(shí)際應(yīng)用中多采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法估計(jì)輔助變量的時(shí)滯時(shí)間，主要分為單變量估計(jì)和聯(lián)合估計(jì)兩種。

單變量估計(jì)獨(dú)立地分析每個(gè)輔助變量與輸出變量間的時(shí)滯關(guān)系，有著便于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]基于相關(guān)系數(shù)確定時(shí)間序列模型中的最優(yōu)時(shí)滯因子并應(yīng)用于交通流量的預(yù)測。文獻(xiàn)[3]基于歸一化互信息確定聚丙烯熔融指數(shù)預(yù)測模型中各自變量的時(shí)滯時(shí)間。文獻(xiàn)[4]提出了一種基于模糊曲線分析的單變量時(shí)滯估計(jì)方法。文獻(xiàn)[5]將模糊曲線分析時(shí)滯估計(jì)與選擇性集成高斯過程回歸算法進(jìn)行結(jié)合，建立了脫丁烷塔底濃度的軟測量模型。但是，單變量估計(jì)在計(jì)算時(shí)中忽略了其他輔助變量對輸出的影響以及輔助變量之間的相互影響，有可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果的不準(zhǔn)確。

聯(lián)合估計(jì)綜合考慮各輔助變量與輸出間以及各輔助變量之間的關(guān)系從而確定時(shí)滯時(shí)間。文獻(xiàn)[6]以所有輔助變量和主導(dǎo)變量間的聯(lián)合互信息作為目標(biāo)函數(shù)對時(shí)滯時(shí)間進(jìn)行尋優(yōu)。文獻(xiàn)[7]以軟測量模型的訓(xùn)練誤差作為目標(biāo)函數(shù)，使用混合差分進(jìn)化算法對時(shí)滯時(shí)間進(jìn)行尋優(yōu)。文獻(xiàn)[8]使用差分進(jìn)化算法對時(shí)滯時(shí)間進(jìn)行尋優(yōu)，并結(jié)合偏最小二乘算法，建立了常壓塔干點(diǎn)的軟測量模型。但是，由于需要計(jì)算聯(lián)合互信息等復(fù)雜函數(shù)或需要對模型進(jìn)行訓(xùn)練，時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)在輸入維數(shù)高、樣本數(shù)量大的情況下往往運(yùn)算時(shí)間較長，不利于實(shí)際的工程實(shí)踐。

復(fù)相關(guān)系數(shù)是反映一個(gè)因變量與一組自變量之間相關(guān)程度的指標(biāo)[9]，其常應(yīng)用于多元相關(guān)分析、多元線性回歸的評價(jià)等數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，文獻(xiàn)[10-11]將復(fù)相關(guān)系數(shù)應(yīng)用于確定數(shù)據(jù)包絡(luò)分析中自變量與因變量間的時(shí)間滯后關(guān)系。復(fù)相關(guān)系數(shù)是通過對輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合進(jìn)而計(jì)算得到的，相比于聯(lián)合互信息或訓(xùn)練數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型，其計(jì)算速度有明顯的優(yōu)勢。

因此，本文提出了一種基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)方法。該方法以輔助變量和輸出變量間的復(fù)相關(guān)系數(shù)為指標(biāo)，將時(shí)滯估計(jì)轉(zhuǎn)化為多維優(yōu)化問題進(jìn)行求解，有著計(jì)算快、準(zhǔn)確度高的特點(diǎn)。以火電廠脫硝系統(tǒng)NO_x排放濃度的軟測量為例，基于實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)對所提出方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)

1.1 過程變量的時(shí)滯估計(jì)

傳統(tǒng)的軟測量建模中往往不考慮輔助變量的時(shí)滯問題，多直接使用同一采樣時(shí)刻的輔助變量和輸出變量數(shù)據(jù)建立模型。但對于工業(yè)過程特別是化工、冶煉、發(fā)電等相關(guān)領(lǐng)域，從工藝流程到測量儀表等環(huán)節(jié)均存在較大的時(shí)滯。因此，有必要在建模過程中考慮各輔助變量的時(shí)滯，從而進(jìn)一步提高軟測量模型的準(zhǔn)確度。

考慮輔助變量時(shí)滯的軟測量模型結(jié)構(gòu)如下：

y（t）=f[x₁（t-τ₁），x₂（t-τ₂），…，x_n（t-τ_n）]（1）式中：y（t）——軟測量模型的輸出變量;

x_k（t-τ_k）——模型的輔助變量;

τ_k——輔助變量x_k的時(shí)滯時(shí)間。

輔助變量的時(shí)滯估計(jì)是采用機(jī)理分析或數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，計(jì)算輔助變量的時(shí)滯時(shí)間τ。對于復(fù)雜的工業(yè)過程，很難使用機(jī)理分析方法精確計(jì)算各輸入變量的時(shí)滯時(shí)間，常用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)時(shí)滯估計(jì)方法的基本思想是將同一采樣時(shí)刻的歷史輸入數(shù)據(jù)X（t）∈Rⁿ進(jìn)行時(shí)序重構(gòu)，得到新的輸入數(shù)據(jù)X_d（t）=[X₁（t-τ₁），X₂（t-τ₂），…，X_n（t-τ_n）]^T。

之后基于某一給定的指標(biāo)（如互信息、相關(guān)系數(shù)等）確定最優(yōu)的時(shí)滯時(shí)間。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)時(shí)滯估計(jì)方法主要分為單變量估計(jì)和聯(lián)合估計(jì)兩種。

單變量時(shí)滯估計(jì)獨(dú)立地分析單個(gè)輔助變量與輸出間的時(shí)滯關(guān)系，即將時(shí)滯估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：其中，f₁可為相關(guān)系數(shù)、互信息等目標(biāo)函數(shù)。

單變量時(shí)滯估計(jì)通過數(shù)個(gè)一維優(yōu)化問題進(jìn)行求解，計(jì)算速度相對較快。但在尋優(yōu)時(shí)僅考慮某個(gè)輔助變量與輸出的關(guān)系而忽略了其他輔助變量與輸出的關(guān)系以及輔助變量之間的關(guān)系，存在一定的片面性，可能會(huì)在一定程度上導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果的不準(zhǔn)確，從而影響軟測量模型的準(zhǔn)確度。

時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)方法綜合考慮各輔助變量與輸出以及各輔助變量之間的關(guān)系，對各輔助變量的時(shí)滯時(shí)間進(jìn)行聯(lián)合尋優(yōu)，即轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問題：其中，f₂可為聯(lián)合互信息、軟測量模型訓(xùn)練誤差等目標(biāo)函數(shù)。

時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)通過多維優(yōu)化問題進(jìn)行求解，相比于單變量估計(jì)從理論上更為準(zhǔn)確。但是，聯(lián)合估計(jì)在尋優(yōu)過程中需要計(jì)算聯(lián)合互信息等復(fù)雜函數(shù)或需要對軟測量模型進(jìn)行訓(xùn)練，在輸入維數(shù)高、樣本數(shù)量大的情況下耗時(shí)較長，不利于工程實(shí)踐。

1.2 復(fù)相關(guān)系數(shù)及其在時(shí)滯估計(jì)中的應(yīng)用

復(fù)相關(guān)系數(shù)R越大，表明因變量和該組自變量間的線性相關(guān)程度越大。復(fù)相關(guān)系數(shù)R通常使用以下步驟進(jìn)行計(jì)算：

1）使用時(shí)序重構(gòu)后的輸入數(shù)據(jù)X_d（t）和輸出數(shù)據(jù)Y（t）進(jìn)行多元線性回歸。

2）基于線性模型計(jì)算預(yù)測諽Y（t）。

3）計(jì)算實(shí)際值Y（t）和預(yù)測值Y（t）之間的簡單相關(guān)系數(shù)，即為Y（t）和X_d（t）間的復(fù)相關(guān)系數(shù)R，具體的計(jì)算公式如下：其中，Y為實(shí)際值Y（t）的算術(shù)平均值。

除上述步驟外，復(fù)相關(guān)系數(shù)R也可以通過X_d（t）和Y（t）多元線性回歸后得到的決定系數(shù)R²開方得到。

基于復(fù)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)，即求解如下規(guī)劃問題：其中，由于時(shí)滯時(shí)間應(yīng)為采樣間隔的整數(shù)倍，故其定義域應(yīng)為自然數(shù)域N;T為時(shí)滯時(shí)間的上界。

上述規(guī)劃問題是非線性整數(shù)規(guī)劃問題，可采用分支定界法或啟發(fā)式算法進(jìn)行求解。啟發(fā)式算法的結(jié)構(gòu)較為簡單、計(jì)算速度較快，但無法方便處理復(fù)雜的約束條件。由于以上規(guī)劃問題不含等式、非線性等復(fù)雜的約束條件，可使用啟發(fā)式算法進(jìn)行求解。

相比于單變量時(shí)滯估計(jì)，復(fù)相關(guān)系數(shù)在計(jì)算時(shí)充分考慮了自變量間的相關(guān)關(guān)系，估計(jì)結(jié)果相對更為準(zhǔn)確;相比于其他時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)方法，進(jìn)行多元線性回歸所需要的時(shí)間要遠(yuǎn)小于計(jì)算聯(lián)合互信息或訓(xùn)練軟測量模型，實(shí)時(shí)性相對較好。因此，從理論上講，基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)能夠更好地平衡估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性和計(jì)算的快速性。

2 復(fù)相關(guān)系數(shù)時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)在軟測量中的應(yīng)用

2.1 火電廠脫硝系統(tǒng)及NO_x排放軟測量

圖1為火電廠脫硝系統(tǒng)工藝流程的示意圖。脫硝系統(tǒng)布置在鍋爐的省煤器與空預(yù)器之間，其基本工作過程如下[12]：氨氣與風(fēng)機(jī)送來的空氣進(jìn)行混合后通過噴嘴進(jìn)入煙道，與省煤器出口來的煙氣充分混合后進(jìn)入反應(yīng)器，在催化劑的催化作用下發(fā)生還原反應(yīng)，將煙氣中的NO_x還原為氮?dú)馀c水蒸氣。

脫硝系統(tǒng)中發(fā)生的主要化學(xué)反應(yīng)如下：

4NO+4NH₃+O₂→4N₂+6H₂O（6）

8NH₃+6NO₂→7N₂+12H₂O（7）

4NH₃+3O₂→22+6H₂O（8）

除上述反應(yīng)外，還會(huì)發(fā)生一些副反應(yīng)并生成諸如硫酸氫銨等不利的副產(chǎn)物。

由于脫硝系統(tǒng)中氣體分析儀表的測量滯后較大且需要頻繁進(jìn)行吹掃，導(dǎo)致傳統(tǒng)的控制策略往往難以長時(shí)間精確地控制噴氨量。噴氨量偏少會(huì)導(dǎo)致NO_x排放超標(biāo)，而過量噴氨除了會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)上的損失外，還會(huì)造成催化劑壽命縮短、下游設(shè)備堵塞、氨逃逸率增大等不良后果。因此，有必要建立準(zhǔn)確的NO_x排放濃度軟測量模型以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)噴氨量的閉環(huán)優(yōu)化控制。

一般情況下，考慮輔助變量時(shí)滯估計(jì)的軟測量建模步驟如下：

1）根據(jù)過程機(jī)理以及現(xiàn)場實(shí)際測點(diǎn)情況，確定與輸出變量密切相關(guān)的輔助變量。

₂）獲取相應(yīng)的運(yùn)行數(shù)據(jù)并進(jìn)行去離群點(diǎn)、濾波、歸一化等預(yù)處理操作，之后確定軟測量模型的訓(xùn)練樣本和測試樣本。

3）基于訓(xùn)練樣本以及相應(yīng)的時(shí)滯估計(jì)方法，確定各輔助變量的時(shí)滯時(shí)間并對訓(xùn)練、測試樣本進(jìn)行時(shí)序重構(gòu)。

4）基于選定的軟測量建模方法，使用時(shí)序重構(gòu)后的訓(xùn)練、測試樣本對軟測量模型進(jìn)行訓(xùn)練和測試。

2.2 輔助變量選取及數(shù)據(jù)預(yù)處理

結(jié)合2.1中的機(jī)理分析及數(shù)據(jù)庫中實(shí)際的測點(diǎn)情況，同時(shí)考慮機(jī)組負(fù)荷變化對脫硝過程產(chǎn)生的影響，選擇脫硝系統(tǒng)入口 NO_x濃度、入口煙氣含氧量、出口煙氣含氧量、煙氣流量、入口煙氣溫度、噴氨量和機(jī)組負(fù)荷共7個(gè)變量作為軟測量模型的輔助變量，輸出變量為脫硝系統(tǒng)出口的NO_x濃度。

從數(shù)據(jù)庫中導(dǎo)出一段變負(fù)荷工況下的運(yùn)行數(shù)據(jù)，采樣間隔為10s，共1200組?；诶肋_(dá)準(zhǔn)則剔除離群點(diǎn)，之后基于滑動(dòng)窗口法進(jìn)行濾波。剩余1067組數(shù)據(jù)并從中選取1000組數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化后參與軟測量建模，選擇前800組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，后200組數(shù)據(jù)作為測試樣本。歸一化前建模數(shù)據(jù)中各變量的變化范圍如表1所示。

2.3 基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的輔助變量時(shí)滯估計(jì)

考慮到脫硝系統(tǒng)中氣體分析儀表的響應(yīng)時(shí)間一般為30～120s，故設(shè)定各輔助變量時(shí)滯時(shí)間的上界T=120s。為對比各時(shí)滯估計(jì)方法在估計(jì)結(jié)果上的不同，同時(shí)基于復(fù)相關(guān)系數(shù)法、相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法對7個(gè)輔助變量進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)。相關(guān)系數(shù)法使用枚舉法進(jìn)行求解，復(fù)相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法均用遺傳算法求解。遺傳算法的種群規(guī)模設(shè)置為20，迭代次數(shù)為100。

各方法時(shí)滯估計(jì)的結(jié)果如表2所示。相關(guān)系數(shù)法計(jì)算耗時(shí)0.05s，復(fù)相關(guān)系數(shù)法耗時(shí)1.%s，聯(lián)合互信息法耗時(shí)51.46s。

從表中可以看出，復(fù)相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法的時(shí)滯估計(jì)結(jié)果較為接近，而與相關(guān)系數(shù)法存在一定的差異。從機(jī)理上分析，入口NO_x濃度和煙氣含氧量這兩個(gè)測點(diǎn)均位于脫硝系統(tǒng)的入口處且使用同一氣體分析儀表進(jìn)行測量，其與輸出變量的時(shí)滯關(guān)系應(yīng)基本一致;而出口煙氣含氧量和出口NO_x濃度的測點(diǎn)位置和測量儀表均相同，兩者間應(yīng)不存在時(shí)滯關(guān)系。因此，復(fù)相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法的估計(jì)結(jié)果要比相關(guān)系數(shù)法更具有準(zhǔn)確性。同時(shí)結(jié)合3種算法的計(jì)算時(shí)間，相比于相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法，復(fù)相關(guān)系數(shù)法時(shí)滯估計(jì)的準(zhǔn)確性和計(jì)算速度均較快，有著一定的優(yōu)勢。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

火電廠的NO_x排放濃度常用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13]、最小二乘支持向量機(jī)[14]等智能方法建立軟測量模型。相比于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法，最小二乘支持向量機(jī)（least square support vector machine，LS-SVM）有著泛化能力較強(qiáng)、能夠收斂至全局最優(yōu)點(diǎn)、訓(xùn)練速度較快的優(yōu)點(diǎn)。因此，本文選擇LS-SVM算法建立NO_x排放的軟測量模型。

LS-SVM的實(shí)現(xiàn)基于Matlab的LS-SVM工具箱，選擇LS-SVM的核函數(shù)為線性函數(shù)，參數(shù)訓(xùn)練選擇貫序最小優(yōu)化（sequentialminimal optimization，SMO）算法?；贚S-SVM分別建立不進(jìn)行輔助變量時(shí)滯估計(jì)和使用復(fù)相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)兩種情況下的NO_x排放軟測量模型。兩個(gè)模型預(yù)測值與實(shí)際值的對比以及預(yù)測殘差間的對比如圖2和圖3所示。

如圖2和圖3所示，使用復(fù)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)后，軟測量模型的準(zhǔn)確度和跟蹤能力均要顯著優(yōu)于無時(shí)滯估計(jì)的模型，說明引入輔助變量的時(shí)滯信息能有效提高軟測量模型的準(zhǔn)確度。

為了比較各時(shí)滯估計(jì)方法對模型準(zhǔn)確度的影響，分別基于相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法的時(shí)滯估計(jì)結(jié)果建立軟測量模型，并在測試樣本上與不進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)和復(fù)相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示。其中RMSE為模型在測試樣本上的均方根誤差， MRE為模型在測試樣本上的平均相對誤差。

由表可知，進(jìn)行輔助變量時(shí)滯估計(jì)后，模型的準(zhǔn)確度都有著一定程度的提高，而相關(guān)系數(shù)法準(zhǔn)確度提高的程度要小于聯(lián)合互信息法和復(fù)相關(guān)系數(shù)法，與1.1中對單變量估計(jì)和聯(lián)合估計(jì)方法的理論分析以及2.3中基于測點(diǎn)位置的機(jī)理分析結(jié)果相一致。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于復(fù)相關(guān)系數(shù)的輔助變量時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)方法并將其應(yīng)用于火電廠脫硝系統(tǒng)的NQ排放軟測量中?；谧冐?fù)荷工況下的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)，結(jié)合LS-SVM算法對所提出的估計(jì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并與不進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)、相關(guān)系數(shù)法和聯(lián)合互信息法進(jìn)行了對比。結(jié)果表明，進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)后軟測量模型的準(zhǔn)確度有了一定的提高且相比于其他時(shí)滯估計(jì)方法，所提出方法的計(jì)算速度較快、估計(jì)結(jié)果較準(zhǔn)確，有著更好的工程應(yīng)用價(jià)值。

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（編輯：商丹丹）