文/周英 李凱 周宇媚

1 引言

濾波是系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。經(jīng)典的卡爾濾波算法提供了線性高斯問(wèn)題的最優(yōu)解決方法。然而現(xiàn)實(shí)生活中存在大量非線性特性的實(shí)際問(wèn)題。粒子濾波算法在非線性、非高斯系統(tǒng)中表現(xiàn)出噪聲模型和系統(tǒng)模型不受限制，精度高等優(yōu)點(diǎn)。因此，它的應(yīng)用十分廣泛，如：目標(biāo)跟蹤、目標(biāo)定位及導(dǎo)航、通信領(lǐng)域、軍事領(lǐng)域等。

標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法中，退化現(xiàn)象無(wú)法避免。經(jīng)過(guò)若干次迭代，少數(shù)有效粒子占據(jù)粒子集的大部分權(quán)值，而大部分粒子的權(quán)值很小。隨著迭代的繼續(xù)進(jìn)行，甚至?xí)霈F(xiàn)一個(gè)或幾個(gè)粒子權(quán)值非常大，而其他粒子權(quán)值基本為零的情況，這就是粒子集的退化分布。若迭代次數(shù)越多，大量的計(jì)算資源就會(huì)消耗在處理那些微不足道的粒子上。

2 粒子濾波及其仿真

粒子濾波以貝葉斯推理和重要性采樣為基本框架。它源于蒙特卡羅思想，即以某事件出現(xiàn)的頻率來(lái)指代該事件的概率。在濾波過(guò)程中，需要用到概率的地方，我們只需對(duì)變量進(jìn)行采樣，以大量采樣及其相應(yīng)的權(quán)值來(lái)近似表示該概率?；诖?，粒子濾波算法可以在濾波過(guò)程中處理任意形式的概率。這也正是粒子濾波的一大優(yōu)勢(shì)。

粒子濾波過(guò)程分為初始狀態(tài)階段、預(yù)測(cè)階段、校正階段、重采樣階段、濾波階段，由此循環(huán)往復(fù)。粒子濾波算法與卡爾曼濾波算法類似，需要知道系統(tǒng)的模型。如果系統(tǒng)模型未知，必須構(gòu)建一個(gè)模型來(lái)進(jìn)行模擬。通常構(gòu)建模型是通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)進(jìn)行，其中包括系統(tǒng)狀態(tài)方程和測(cè)量方程。

本文中采用一個(gè)應(yīng)用廣泛的標(biāo)量模型對(duì)粒子濾波算法應(yīng)用進(jìn)行仿真分析。假定在任意狀態(tài)下，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程式如下：

狀態(tài)方程：

在公式（1）中，xk表示系統(tǒng)在k時(shí)刻狀態(tài)值，xk-1表示系統(tǒng)在k-1時(shí)刻狀態(tài)值，wk表示過(guò)程噪聲，xk和xk-1是非線性關(guān)系。

在公式（2）中，yk表示系統(tǒng)在k時(shí)刻的測(cè)量值，vk表示測(cè)量噪聲，yk和xk也是非線性關(guān)系。

當(dāng)k=0時(shí)，表示系統(tǒng)處于初始狀態(tài)。由于系統(tǒng)開(kāi)始對(duì)x(0)一無(wú)所知，所有我們認(rèn)為x(0)在全狀態(tài)空間內(nèi)平均分布。然后將所有采樣輸入狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，得到預(yù)測(cè)粒子。仿真過(guò)程基于（1）和（2）式，采用SIR粒子濾波算法，每次迭代都用系統(tǒng)重采樣機(jī)制，得出仿真圖如圖1、圖2。

從圖1可以看出測(cè)量噪聲值V、過(guò)程噪聲值W、狀態(tài)值X、觀測(cè)值Y的變化情況；從圖2可以看出，系統(tǒng)在wk、vk均值為0；Qk=10，過(guò)程噪聲方差，Rk=1，測(cè)量噪聲方差的噪聲情況下，得出濾波器估計(jì)值和系統(tǒng)真實(shí)值。該濾波器估計(jì)輸出采用了最大后驗(yàn)概率和后驗(yàn)均值兩種方式，這兩種方式均能反應(yīng)出濾波估計(jì)的狀態(tài)能很好地跟隨真實(shí)狀態(tài)。

3 粒子濾波算法的改進(jìn)及仿真分析

上述基本粒子濾波算法中，因?yàn)镼和R的值獲取比較困難，同時(shí)考慮到粒子退化現(xiàn)象等問(wèn)題，做出改進(jìn)。改進(jìn)的方法有如下幾種：

（1）增加粒子數(shù)；

（2）提高重采樣技術(shù)；

（3）選擇合適的建議密度。

本文從選擇合適的建議密度方法著手，改進(jìn)粒子濾波算法。因在產(chǎn)生建議分布方法中，局部線性化是一種較好的方法。UKF（無(wú)跡卡爾曼濾波）就是局部線性化方法的一種，它要求系統(tǒng)是近似的高斯后驗(yàn)分布模型，是一種遞歸的最小均方誤差估計(jì)方法。將UKF方法引入到粒子濾波算法中，就是本文改進(jìn)策略。

圖1：各參數(shù)值變化情況

圖2：非線性條件下粒子濾波仿真圖

圖3：系統(tǒng)狀態(tài)圖

該算法非常重要的環(huán)節(jié)就是：在采樣期間，用UKF算法給每個(gè)粒子計(jì)算其均值和方差，然后“指導(dǎo)”系統(tǒng)的采樣。也就是在粒子濾波算法的框架下，采用UKF算法得到最新的觀測(cè)信息，給每個(gè)粒子產(chǎn)生合理的高斯建議密度分布。其算法流程如下：

（1）初始化；

（2）重要性采樣；

（3）重采樣；

（4）輸出。

現(xiàn)在選用一維系統(tǒng)來(lái)仿真基本粒子濾波和改進(jìn)粒子濾波算法。假定在任意狀態(tài)下，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程式如下：

從圖3的仿真結(jié)果得出，PF(基本粒子濾波)算法和改進(jìn)的PF算法都較好地跟隨了系統(tǒng)的真實(shí)值；從圖4的仿真結(jié)果可以看出，改進(jìn)的PF算法偏差能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到極低水平，后續(xù)基本維持該水平，而PF算法的偏差值存在不小的波動(dòng)；從圖5的仿真結(jié)果看出改進(jìn)的PF算法所耗去的計(jì)算時(shí)間較PF算法長(zhǎng)，因此實(shí)時(shí)性較差。

4 結(jié)論

本文從改善建議密度分布角度改進(jìn)粒子濾波算法，在跟隨真實(shí)系統(tǒng)的可靠性方面得到改善，但其計(jì)算量較大，響應(yīng)速度不快，同時(shí)系統(tǒng)還局限于高斯模型。因此，PF算法的改進(jìn)還可與其他算法進(jìn)行組合，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等結(jié)合改進(jìn)，使其不受線性高斯模型限制，性能更強(qiáng)。

圖4：系統(tǒng)狀態(tài)偏差圖

圖5：系統(tǒng)實(shí)時(shí)性比較