顏世玉　于清文　趙海濱

摘 ? 要：根據(jù)Duffing混沌系統(tǒng)和期望軌跡建立軌跡誤差系統(tǒng)，采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計滑?？刂破鳎⒉捎没？刂破鬟M行軌跡跟蹤控制。采用Simulink軟件建立仿真實驗系統(tǒng)。仿真結(jié)果表明，滑?？刂破髂軌蜻M行Duffing混沌的軌跡跟蹤控制，軌跡跟蹤誤差漸進收斂到零。

關(guān)鍵詞：滑?？刂破??Duffing混沌 ?軌跡跟蹤 ?仿真實驗

中圖分類號：TP273 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）06（b）-0009-03

Abstract：According to the Duffing chaos and the desired trajectory， trajectory tracking error system is established. The sliding mode controller is designed by linear sliding mode surface and double power reaching law. The sliding mode controller is used for trajectory tracking control. The simulation experiment system was built by Simulink software. The results show that the sliding mode controller can perform trajectory tracking control of Duffing chaos， and the trajectory tracking error converges to zero gradually.

Key Words：Sliding mode controller; Duffing chaos; Trajectory tracking; Simulation experiment

混沌是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，廣泛存在于自然界和人類社會中。Duffing混沌是典型的二階嚴反饋系統(tǒng)[1-2]，只采用單一的控制輸入就能實現(xiàn)軌跡跟蹤控制?；？刂茖δＰ驼`差和外部干擾信號具有很強的魯棒性，并具有響應速度快和容易實現(xiàn)等優(yōu)點[3]?；？刂破鞯脑O計中常用的趨近律有指數(shù)趨近律、冪次趨近律和雙冪次趨近律等[4-5]。

本文根據(jù)Duffing混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程和期望軌跡建立軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)，采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計滑模控制器，最后采用滑模控制器進行Duffing混沌的軌跡跟蹤控制。采用Simulink軟件建立仿真實驗系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明，滑?？刂破髂軌蜻M行Duffing混沌的軌跡跟蹤控制，軌跡跟蹤誤差漸進收斂到零，軌跡跟蹤的速度比較快。

1 ?Duffing混沌的軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)

Duffing混沌為二階非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程為

（1）

其中，x1和x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，p1，p2，p3和ω為常數(shù)。當參數(shù)選擇為p1=-1，p2=0.25，p3=0.3，ω=1時，Duffing系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

對于Duffing混沌系統(tǒng)，狀態(tài)變量x1的期望軌跡為xd，狀態(tài)變量x2的期望軌跡為。xd為連續(xù)函數(shù)，具有二階導數(shù)。Duffing混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差定義為

（2）

對軌跡跟蹤誤差進行求導，可以得到軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)為

（3）

其中，。

期望軌跡設定為

（4）

帶有控制輸入的軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)為

（5）

其中，u為控制輸入。通過控制輸入u對軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)進行平衡控制，軌跡跟蹤誤差漸進收斂到零，實現(xiàn)Duffing混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制。

2 ?滑?？刂破?/p>

對于Duffing混沌軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)，采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計滑?？刂破?，并采用滑?？刂破鬟M行Duffing混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制。

在滑?？刂破鞯脑O計中，采用的線性滑模面為

（6）

其中，k1為常數(shù)，且k1>0。

在滑?？刂破髟O計中，雙冪次趨近律表為

（7）

其中，，，，。

采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計的滑?？刂破鳛?/p>

（8）

3 ?仿真實驗

Simulink軟件是MATLAB軟件的重要組成部分，可以非常方便的進行虛擬仿真實驗[6]。本文采用Simulink中的MATLAB Function模塊和積分模塊等建立Duffing混沌的軌跡跟蹤控制仿真實驗系統(tǒng)，MATLAB Function模塊內(nèi)采用MATLAB語言進行編程[7-8]。本文采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計滑模控制器，只采用單一的滑模控制器進行Duffing混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制，軌跡跟蹤誤差漸進收斂到零。

采用Simulink軟件進行Duffing混沌系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制仿真實驗，采用變步長的ode45算法，最大步長為0.0001s，仿真時間為6s。Duffing混沌系統(tǒng)的初始狀態(tài)設定為，。期望軌跡的初始狀態(tài)為，。軌跡跟蹤誤差的初始狀態(tài)為，。Duffing混沌系統(tǒng)軌跡跟蹤控制的仿真實驗系統(tǒng)，如圖1所示。

在線性滑模面中，參數(shù)設定為k1=4。在雙冪次趨近律中，參數(shù)設定為k2=2，k3=2，α=0.6，β=1.4?；？刂破鞯目刂戚斎?，如圖2所示，采用雙冪次趨近律的滑?？刂破鞅容^平滑，沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象?；Ｃ娴捻憫€，如圖3所示，滑模面快速收斂到零。軌跡跟蹤誤差的響應曲線，如圖4所示，軌跡跟蹤誤差漸進收斂到零，收斂的速度比較快。仿真結(jié)果表明，采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計的滑模控制器能夠進行Duffing混沌的軌跡跟蹤控制，軌跡跟蹤誤差漸進收斂到零。

4 ?結(jié)語

本文根據(jù)Duffing混沌系統(tǒng)和期望軌跡建立軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)，采用線性滑模面和雙冪次趨近律設計滑?？刂破?，并采用滑?？刂破鬟M行Duffing混沌的軌跡跟蹤控制。采用Simulink軟件建立仿真實驗系統(tǒng)，該仿真實驗比較形象和直觀，有助于學生對混沌控制和滑?？刂频鹊睦碚摾斫夂凸こ虘?。

參考文獻

[1] 王曉東，楊紹普，趙志宏.基于改進型Duffing振子的微弱信號檢測研究[J].動力學與控制學報，2016，14（3）：283-288.

[2] 張菁，章文俊，宋萬清. Duffing-Holmes振子在刀具磨損檢測中的應用[J]. 輕工機械，2015，33（1）：52-55.

[3] 劉金琨. 滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真（第3版）[M]. 北京：清華大學出版社，2015.

[4] 張合新，范金鎖，孟飛，等.一種新型滑?？刂齐p冪次趨近律[J].控制與決策，2013，28（2）：289-293.

[5] 李慧潔，蔡遠利.基于雙冪次趨近律的滑模控制方法[J]. 控制與決策，2016，31（3）：498-502.

[6] 石良臣.MATLAB/Simulink系統(tǒng)仿真超級學習手冊[M]，北京：人民郵電出版社，2014.

[7] 薛定宇.控制系統(tǒng)計算機輔助設計-MATLAB語言與應用（第3版）[M]. 北京：清華大學出版社，2012.

[8] 趙海濱.MATLAB應用大全[M].北京：清華大學出版社，2012.