張 磊,王思明

(蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院,蘭州 730070)E-mail:403797195@qq.com

1 引 言

網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)NCSs(networked control systems)是一種在各個(gè)節(jié)點(diǎn)(傳感器與控制器以及控制器與執(zhí)行器)之間使用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸?shù)拈]環(huán)反饋的控制系統(tǒng)[1].將通信網(wǎng)絡(luò)引入控制回路中會產(chǎn)生新的問題.由于網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制,資源競爭等現(xiàn)象,網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯現(xiàn)象在數(shù)據(jù)傳輸是無法避免的,網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯會使系統(tǒng)的控制性能變低,嚴(yán)重的會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)[2].通信網(wǎng)絡(luò)因其傳輸鏈路的不穩(wěn)定,易受到干擾以及發(fā)生數(shù)據(jù)擁塞現(xiàn)象,會導(dǎo)致在傳輸過程中產(chǎn)生數(shù)據(jù)丟失[3,4].

在該類系統(tǒng)中,存在一些限制,其中最主要的是實(shí)際物理環(huán)境的限制,如測量儀器分辨率、有限字長以及數(shù)模轉(zhuǎn)換[5].上述限制會使控制器存在參數(shù)攝動,會使閉環(huán)系統(tǒng)性能下降,更甚者會使系統(tǒng)無法穩(wěn)定.非脆弱控制[6]就是設(shè)計(jì)控制器針對自身參數(shù)攝動引起系統(tǒng)性能下降問題的不敏感或者非脆弱.近些年來,網(wǎng)絡(luò)化非脆弱控制問題得到了國內(nèi)外許多的關(guān)注.文獻(xiàn)[7]將馬爾可夫跳變引入網(wǎng)絡(luò)化控制,同時(shí)將采樣周期等于網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯,且時(shí)延服從馬爾可夫鏈,最后設(shè)計(jì)了具有非脆弱的保性能控制器.文獻(xiàn)[8,9]設(shè)計(jì)了的非脆弱保性能控制器和非脆弱H∞保性能控制器.其網(wǎng)絡(luò)化線性控制系統(tǒng)具有少于一個(gè)采樣周期的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí).文獻(xiàn)[10]針對網(wǎng)絡(luò)化線性系統(tǒng)中具有丟包和時(shí)延的問題,應(yīng)用時(shí)滯系統(tǒng)方法,進(jìn)行非脆弱的保性能控制器.文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了其容錯(cuò)控制器.文獻(xiàn)[12]針對網(wǎng)絡(luò)化線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了具有量化和區(qū)間時(shí)滯的非脆弱H∞控制器.文獻(xiàn)[13]針對時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)化非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了非脆弱保性能控制問題和非脆弱保性能H∞控制問題,其系統(tǒng)為具有長時(shí)延網(wǎng)絡(luò)化Lipschitz非線性系統(tǒng)的.文獻(xiàn)[14]采用Lyapunov函數(shù)方法研究了網(wǎng)絡(luò)化切換的模糊時(shí)滯系統(tǒng),并研究了其非脆弱狀態(tài)反饋控制問題.本文考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包以及控制器參數(shù)攝動等問題對系統(tǒng)的影響,設(shè)計(jì)了能使系統(tǒng)穩(wěn)定的非脆弱控制器,使得被控系統(tǒng)能滿足H∞的性能指標(biāo).

2 問題描述

將被控系統(tǒng)考慮為線性離散時(shí)不變系統(tǒng),如式(1)所示:

(1)

式中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm,w(k)∈Rp,z(k)∈Rq分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、外部擾動輸入和被調(diào)輸出;A,B1,B2,C,D為合適維數(shù)的矩陣[15].

由于網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中通信網(wǎng)絡(luò)自身特性,丟包現(xiàn)象在系統(tǒng)中時(shí)有發(fā)生,使用馬爾可夫鏈來描述丟包過程.用下列矩陣來描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣:

當(dāng)σ(k)=0時(shí),表示數(shù)據(jù)未丟包;σ(k)=1時(shí),表示數(shù)據(jù)丟包[18].

當(dāng)σ(k)=0時(shí),數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)上傳輸時(shí)將會不可避免地產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延,定義時(shí)延為d(k),則控制器端的狀態(tài)為式(2)和式(3)所示:

x(k)=x(k-d(k))

(2)

0≤d(k)≤d2

(3)

d2為非負(fù)整數(shù)時(shí)滯d(k)的上限.

下式為非脆弱加性狀態(tài)反饋控制器:

u(k)=(K+ΔK)x(k-d(k))

(4)

其中K為增益矩陣;ΔK表示增益攝動矩陣,ΔK=HF(k)E;不確定矩陣F(k)FT(k)≤I.其中,H和E是具有特定維數(shù)的常數(shù)矩陣,F(k)是未知的實(shí)值時(shí)變矩陣[16].

于是,得到閉環(huán)離散控制系統(tǒng)式(5):

(5)

當(dāng)σ(k)=1時(shí),控制器接收不到網(wǎng)絡(luò)傳來的數(shù)據(jù),此時(shí)采用前一時(shí)刻的值,即:

u(k)=u(k-1)=(K+ΔK)x((k-1)-d(k-1))

則網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)可描述為式(6):

(6)

綜合式(5)和式(6),網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可以描述為馬爾可夫跳變系統(tǒng).如式(7)所示:

(7)

其中:Ad=B1(K+ΔK).

定義一個(gè)新的變量如式(8)所示:

y(k)=x(k+1)-x(k)

(8)

由式(6)和式(7)可得式(9):

y(k)=(A-I)x(k)+Adx((k-i)-d(k-i))+B2w(k)i=0,1

(9)

3 穩(wěn)定性分析

定理1.對給定的常數(shù)d2,若存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P>0,Q1>0,R1>0使得如下式(10)成立,那么滿足式(10)的系統(tǒng)在控制器作用下式(7)漸近穩(wěn)定.

(10)

式中:

Γ=ATPA-P+Q1+(A-I)TΘ(A-I)-R1

Γ1=ATPAd+(A-I)TΘAd

Γ3=-Q1-R1

AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,*表示矩陣中對稱位置元素的轉(zhuǎn)置矩陣.

引理1.[17](Jensen不等式)對給定的常數(shù)d>0,正定對稱矩陣R>0和函數(shù)x(k),y(k)k=(1,2,…),其中x(k),y(k)滿足y(k)=x(k+1)-x(k),可得如式(11)所示的不等式成立:

(11)

引理2.[18]給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q=QT,H,E,則

Q+HF(k)E+ETFT(k)HT<0

對所有滿足F(k)FT(k)≤I的F(k)都成立的充要條件是存在一個(gè)正數(shù)ε>0使得式(12)成立:

Q+ε-1HHT+εETE<0

(12)

式(12)等價(jià)于式(13):

(13)

引理3.[19]對于兩個(gè)矩陣Z∈Rn*m,G∈Rn*m,以及對稱矩陣P∈Rn*n,有-GTP-1G≤ZTPZ-GTZ-ZTG,當(dāng)且僅當(dāng)Z=P-1G時(shí)等號成立.

設(shè)w(k)=0,當(dāng)i=0時(shí)式(9)可化為如式(14)所示:

y(k)=(A-I)x(k)+Adx(k-d(k))

(14)

證明:構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii函數(shù):

其中:

對以上三式求其前項(xiàng)差分ΔVi=Vi(k+1)-Vi(k),i=1,2,3,并結(jié)合引理2可知:

ΔV1(k)=xT(k+1)Px(k+1)-xT(k)Px(k)

=xT(k)(ATPA-P)x(k)+2xT(k)ATPAdx

ΔV2(k)=xT(k)Q1x(k)-xT(k-d2)Q1x(k-d2)

綜合式ΔV1,ΔV2,ΔV3,可得:

ΔV(k)=ΔV1+ΔV2+ΔV3

≤xT(k)[ATPA-P+Q1+(A-I)TΘ(A-I)]x(k)+

式中:

ζT(k)=[xT(k)xT(k-d(k))xT(k-d2)]

由矩陣不等式(10)可得如式(15)的矩陣不等式:

Φ<0

(15)

證明完畢,同理可以證明w(k)=0,i=1時(shí)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

定理2.對于給定的非負(fù)整數(shù)d2,若存在具有合適維數(shù)的矩陣P>0,Q1>0,R1>0和標(biāo)量ε>0,使得如式(16)成立,則系統(tǒng)式(7)在有任意允許的參數(shù)不確定性的控制器的作用下漸進(jìn)穩(wěn)定.

(16)

其中:

M1=-P+Q1-R1

M2=-Q1-R1

M3=ATP

M4=d2(A-I)TR1

M5=(B1K)TP

M6=d2(B1K)TR1

證明:對于式(13),由Schur補(bǔ)定理容易得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定條件,如式(17)所示:

(17)

將上面式子中的Ad用B1(K+HF(k)E)來代替,容易得到如(18)所示的式子:

(18)

其中:

Φ1=B1(K+HF(k)E)T

Φ2=d2B1(K+HF(k)E)T

式(18)可以表示成如下式(19)

(19)

其中:

X1=[0 0 0HTd2HT]T

Y1=[0E0 0 0]

由引理2可知,必然存在一個(gè)正數(shù)ε>0使得下面的式(20)成立:

(20)

由引理(3)可知,式(20)等價(jià)于式(21):

(21)

證明完畢.

同理可以證明w(k)=0,i=1時(shí)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

定義1.考慮如式(7)的離散時(shí)延系統(tǒng),對于給定的正常數(shù)γ,如果系統(tǒng)具有以下性質(zhì):

1)系統(tǒng)可以達(dá)到漸近穩(wěn)定.

2)在零初始條件x(k)=0下具有給定的H∞擾動抑制水平γ>0,則稱系統(tǒng)(7)具有H∞性能γ.有:

‖z‖2≤γ‖w‖2,?w∈L2[0,∞)

(22)

證明:在零初始條件下,系統(tǒng)式(7)具有給定的H∞擾動抑制水平γ.對于任意w(k)∈L2[0,∞)有:

V(k+1)-V(k)+zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)<0

進(jìn)一步可以得到:

由于閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,所以有:

滿足所描述的H∞性能要求,進(jìn)而可知:

其中:

此時(shí)ξ1(k)作為表征4個(gè)狀態(tài)變量的矩陣,即:

(23)

式中:

將式(23)中的Ad用B1(K+HF(k)E)來代替,可以表示成如式(24)所示.

(24)

其中:

X1=[0 0 0 0HTd2HTHT]T

Y1=[0E0 0 0 0 0]

由引理2可知,必然存在一個(gè)正數(shù)ε1>0使得下面的式子成立:

(25)

式(25)等價(jià)于:

(26)

同理可以證明i=1時(shí)系統(tǒng)不僅漸進(jìn)穩(wěn)定,而且在零初始條件下具有給定的H∞擾動抑制水平γ.定義1得證.

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本方法的有效性,給出了仿真示例.考慮式(7)的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),參數(shù)如下所示:

1)不存在擾動時(shí),A的特征值為2,1,未達(dá)到穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖1所示.

圖1 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.1 Open loop system status response

在上述控制器的作用下,被控系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)如圖2所示.

圖2 有擾動時(shí)非脆弱控制器的閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)Fig.2 Closed-loop state response of non-fragile controllers with disturbances

從圖2可以得到,考慮到控制器的擾動以及參數(shù)攝動的,本文設(shè)計(jì)的非脆弱控制器可以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并且使網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)滿足H∞性能指標(biāo),驗(yàn)證了方法的可行性.

圖3 擾動w(k)隨機(jī)數(shù)列Fig.3 Disturbancew(k)random sequence

5 結(jié) 論

本文針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯、丟包和控制器參數(shù)攝動等問題.分析網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),使用李雅普諾夫穩(wěn)定理論得到控制器的充分必要條件以及矩陣增益K.上述問題得到有效的解決,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,滿足H∞性能指標(biāo)γ.由仿真結(jié)果表明,設(shè)計(jì)的控制器能滿足系統(tǒng)H∞的性能指標(biāo),同時(shí)也可以使系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定.