肖 雄，江 帆，吳偉國，陳 炯

（九江職業(yè)技術學院 船舶工程學院，江西九江 332005）

關鍵字：MATLAB；曲面表達；曲面展開；小曲面三角形；鞍形板

0 引言

中國制造2025提出造船自動化、信息化與智能化，船體外板成形加工的自動化和數(shù)字化作為船體分段智能制造中一項關鍵技術[1]，越來越受到人們的重視，國內(nèi)外各研究機構在水火彎板技術和可重構模具沖壓成形這兩個主要方向都投入了大量的人力和財力進行研究，目前以武漢理工大學研制的三維數(shù)控彎板機為代表的板材自動化成形沖壓技術已見初步成效[2]。然而，對于船體外板的原始加工號料信息主要依賴于主流船舶設計軟件（如TRIBON、SPD等）[3]提供的放樣圖、活絡樣板調節(jié)表等數(shù)據(jù)，主要是通過模擬手工放樣得到的，精度不高，需設置一定的余量。

實踐證明，直接運用船舶生產(chǎn)設計軟件提供的外板放樣加工信息，在生產(chǎn)過程中會產(chǎn)生一定的誤差，需在板材號料中加放余量，而目前較為先進的水火彎板技術和數(shù)字化沖壓成形技術對板材的成形精度和質量都有嚴格的要求[4]，先加放后切割的留余量生產(chǎn)方式勢必會影響外板加工成形技術。為此，設計一款專門的外板曲面表達與展開工具很有必要，能夠通過數(shù)學方法盡可能減小曲面的展開誤差，并對展開誤差進行一定的分析與處理，以便在號料加工過程中對誤差量進行補償，為后續(xù)船體外板高精度自動化成形提供可靠的數(shù)據(jù)基礎[5]。

1 曲面表達與展開理論方法

1.1 曲面表達方法

本文三維船體外板曲面的表達是用雙三次樣條曲面插值來實現(xiàn)的，設在uw平面的矩形區(qū)域R：上給定一個矩形網(wǎng)格分割形成的雙三次樣條函數(shù)插值曲面如圖1所示[6]。

圖1 插值雙三次樣條曲面

圖2 網(wǎng)格曲面劃分成小三角形曲

1.2 曲面展開方法

船體外板展開是將那些在投影圖上不能表示出真實形狀的空間曲面實行求出，并攤開在平面上的過程。其目的是為了繪制號料草圖或樣板，以便在平直的鋼板上號料。然而，船體外板大都是復雜雙曲度板，理論上[7]均屬于不可展曲面，不可能精確的求得其展開圖形。小曲面三角形法是先將船體外板曲面利用雙三次樣條函數(shù)插值形成網(wǎng)格曲面，然后連接每個小網(wǎng)格曲面的對角線，可以獲得一系列的小曲面三角形（圖2）。若船體外板型值點間距較大，則在型值點之間插值若干個控制點，以減小曲面三角形三邊弧長的拱高，使其更加接近平面三角形，從而減小開展誤差。

圖3 長條曲面和基準線示意圖

將網(wǎng)格曲面利用橫向樣條曲線劃分成一列列的長條形曲面，取縱向插值樣條曲線中最中間的一條樣條曲線，這條樣條曲線通過每個橫向樣條曲線的中間點P1,P2, ...,Pn（圖3），在這些點中取最靠近曲面中心的一點為展開中心。

在每個長條形曲面中，以基線和長條形邊線交點為坐標原點，建立子直角坐標系（u，v）。首先，將曲面中間的長條形曲面展開，以其基線兩端點之間的直線距離計算出來，以直線代替曲線平鋪在水平軸上，然后通過樣條曲線上插值點的三維坐標計算出長條上下其他三角形三邊長，并以平鋪后的基線為基準，依次沿u軸正負兩個方向疊加展開小三角形。在中間長條曲面展開后，依次在其左右對稱展開其他長條曲面（圖4）[8]。

圖4 小曲面三角形法展開示意圖

圖5 曲線示意圖

1.3 小曲面三角形展開理論誤差分析

1）小曲面三角形逼近理論

將船體曲面劃分成一系列的小曲面三角形，從理論的角度講，無論怎么劃分，這些小曲面三角形依然是不可展曲面。但是從逼近原理出發(fā)，當劃分的小曲面三角形達到一定數(shù)量時，這些小曲面與由三角形三頂點構成的平面之間的拱高將小到可以忽略的程度，這時可以把小曲面三角形視為平面三角形或簡單曲度的曲面三角形而進行精確展開[9]。可以認為，當它們的展開結果與該曲面的真實展開面的形狀和尺寸的誤差，小至某個限度（制造工程中不需要進行補償或修整）時，則這個展開結果是精確的。曲線示意圖見圖5。

設曲線方程y=f(x)

弧長公式為

其中：[xa,xb]為積分區(qū)間，y'為曲線的一階導數(shù)。

式中：y′,y′′,y′′′分別為曲線的一、二、三階導數(shù)。

由上式可知，弧長用梯形法積分有一階精度，對于光順的樣條曲線來說，用二次曲線來擬合局部，誤差可忽略不計。上式可化簡為

由于對于不可展的小曲率板y'與1在同一量級，上式簡化為

因此可以得出：

由式(6)可知，用弦線代替弧線求曲線長度，每段誤差與曲線二階導平方成正比，與區(qū)間長度三次方成正比。由此可知，誤差是隨區(qū)間長度的減小以三次速度收斂于 0，所以，用該方法展開曲度變化較為平緩的船體外板是可行的。

2）展開圖縫隙與重疊

利用小曲面三角形方法[10]對每個長條形曲面展開后，最后要將所有的長條平面拼接起來，形成有縫隙與重疊的展開圖（圖 6）。三維船體外板曲面的展開相當于船體外板成形加工的逆過程，由于曲面的不可展性，不可能無撕裂和皺折的平攤成平面。故而，在船體外板的成形加工過程中，平直鋼板的部分區(qū)域也將出現(xiàn)拉伸或壓縮。所以展開圖上的縫隙實際可以看作是外板成形加工過程中外板的塑性形變量，即拉伸和壓縮形變的大小。這些拉伸與壓縮量，一方面能為板材的成形加工提供很重要的指導與參考，另一方面，將拉伸與壓縮量合攏或攤平，可以獲得更高精度的外板展開圖。

圖6 展開后長條形平面的拼接

2 三維曲面表達與展開系統(tǒng)流程圖

2.1 軟件操作流程圖

軟件操作流程圖如圖7所示。

2.2 軟件主要模塊

該軟件系統(tǒng)是以MATLAB作為編程語言，結合AutoCAD圖形工具開發(fā)的可執(zhí)行EXE程序，主要有4個功能模塊[11]：

1）數(shù)據(jù)導入模塊

本系統(tǒng)設置了2種數(shù)據(jù)格式，一是由主流生產(chǎn)設計軟件TRIBON生成的后綴為lst描述外板加工信息的船體外板活絡樣板調節(jié)表數(shù)據(jù)；另外一種是船體外板型值點三維坐標的EXCEL格式數(shù)據(jù)，以便進行一般數(shù)據(jù)格式的外板展開計算。

2）曲面表達與展開模塊

該模塊對導入的數(shù)據(jù)進行曲面擬合表達與展開計算，將擬合曲面和展開圖形可視化，并結合插值控制點數(shù)、是否去掉展開縫隙等要求對展示圖形進行實時更新，借助MATLAB工具可以對圖形進行放大、旋轉、平移等動態(tài)觀察，以便直觀展示曲面擬合效果和展開圖形狀。

圖7 軟件系統(tǒng)操作流程圖

3）數(shù)據(jù)輸出模塊

數(shù)據(jù)輸出菜單包括輸出曲面插值點的坐標，三維曲面CAD腳本文件，展開圖CAD的腳本文件。腳本文件可以直接導入AutoCAD圖形界面，自動形成三維曲面或展開圖，增強了計算結果的可移植性，便于分析與保存。

4）數(shù)據(jù)分析模塊

該模塊將計算主要結果，如外板展開最大長度與寬度、展開圖上每列縫隙的最大寬度、各部分縫隙的面積等信息，形成TXT文本，對外板加工過程進行指導。

圖8 船體三維曲面外板表達與展開系統(tǒng)

3 系統(tǒng)誤差評定

3.1 曲面擬合表達誤差

為驗證程序在表達船體外板時的可靠性[12]，取一塊已知曲面方程的鞍形板,將插值計算出來的數(shù)值點與理論值相比較并進行誤差分析。鞍形曲面的方程為：并設置網(wǎng)格即步長為60 mm。

為了進行數(shù)學定量分析，首先計算出函數(shù)解析曲面插值之后各個網(wǎng)格交叉點的理論解析解，記為z1，利用雙三次樣條函數(shù)插值構建的馬鞍形曲面的各個插值點的擬合值，記為z2，采用總體平均誤差、均方差、總體方差、均方差率等來計算雙三次樣條函數(shù)構建解析曲面時的誤差[11]。

圖9 網(wǎng)格曲面加密前后圖形顯示

3）總體方差 = |解析曲面方差-擬合曲面方差|

5）準確率 = 1-均方差率

各計算值如表1所示。

表1 擬合曲面相對于原始曲面誤差

從表中數(shù)據(jù)可以看出，擬合曲面相對于原始曲面的準確度超過99.9%，所以該軟件構建表達三維船體外板曲面的能力是很強的。

3.2 展開誤差評定

用原始曲面面積和展開平面面積之差與原始曲面面積之比來表示展開誤差。計算公式為：其中，S空間曲面和S展開平面分別代表空間曲面與其展開平面的面積。由微分幾何知識可知：對于曲面函數(shù)為z=f(x,y)的曲面表面積為：

圖10 鞍形和帆形外板的曲面和展開圖

取x,y方向步長分別為20（即x,y方向插值兩個點），曲面圖和展開圖如圖10所示。

誤差分析如表2所示。

表2 鞍形板展開前后誤差分析

由表2中展開誤差可知，展開后面積和原始曲面面積基本吻合，體現(xiàn)了該方法的準確性，可作為一款專門用作船體三維曲面外板表達與展開的工具。

4 結論

本文系統(tǒng)的論證了小曲面三角形展開船體三維曲面的理論精度，針對船舶生產(chǎn)設計軟件模擬手工放樣展開誤差較大的問題，提出網(wǎng)格曲面加密的數(shù)學方法來控制展開誤差，使展開精度達到加工要求；在此基礎上，開發(fā)出一套完整的曲面表達與展開系統(tǒng)，能夠有效、直觀、精確的生成船體三維曲面圖與展開圖，并能導入AutoCAD中形成通用的圖文格式，并在生成的誤差分析文件，輸出展開圖中的縫隙與重疊區(qū)域尺寸，為外板的無余量加工提供號料、補償、檢驗的數(shù)據(jù)基礎。