王明杰，姬紅兵，劉 龍

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

日益復(fù)雜的戰(zhàn)場環(huán)境對(duì)多目標(biāo)跟蹤技術(shù)提出了越來越嚴(yán)格的要求，也使得多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域受到更多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。由于目標(biāo)會(huì)在未知時(shí)間和未知地點(diǎn)新生或消亡，因此多目標(biāo)跟蹤的目的不僅需要估計(jì)多目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而且需要估計(jì)時(shí)變的目標(biāo)數(shù)目。基于隨機(jī)有限集[1](Random Finite Set, RFS)的多目標(biāo)濾波算法因可以避免計(jì)算目標(biāo)與量測之間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題而得到廣大學(xué)者的青睞。由于在濾波過程中聯(lián)合傳遞目標(biāo)強(qiáng)度和目標(biāo)數(shù)概率分布，基于隨機(jī)有限集的勢概率假設(shè)密度(Cardinalized Probability Hypothesis Density, CPHD)[2-3]濾波能夠獲得較高的多目標(biāo)狀態(tài)和數(shù)目估計(jì)精度。因此，勢概率假設(shè)密度濾波的高斯混合實(shí)現(xiàn)(Gaussian Mixture, GM)[3]被廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜的多目標(biāo)跟蹤問題[4-5]。高斯混合勢概率假設(shè)密度(Gaussian Mixture Cardinalized Probability Hypothesis Density, GM-CPHD)濾波通常假設(shè)過程噪聲和量測噪聲均服從高斯分布。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，過程噪聲與量測噪聲難以滿足這一假設(shè)，尤其當(dāng)噪聲出現(xiàn)野值時(shí)，將不再服從高斯分布。野值可以被定義為位于整體分布之外的采樣值[6-7]。在多目標(biāo)跟蹤場景中，當(dāng)目標(biāo)突然發(fā)生系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型無法匹配的機(jī)動(dòng)時(shí)，則可認(rèn)為出現(xiàn)了過程噪聲野值。觀測目標(biāo)背景變化、傳感器自身的不穩(wěn)定性將導(dǎo)致量測噪聲野值。同時(shí)，由于目標(biāo)散射特性產(chǎn)生的閃爍噪聲亦可看作為量測噪聲野值[8]。含有野值的過程噪聲或量測噪聲服從重尾的非高斯分布，GM-CPHD濾波對(duì)噪聲野值非常敏感，當(dāng)噪聲野值出現(xiàn)時(shí)，其跟蹤性能會(huì)急劇下降，這是由于高斯分布的輕尾特性無法匹配重尾的過程噪聲和量測噪聲野值。

文獻(xiàn)[9]將過程噪聲和量測噪聲建模為學(xué)生t分布，且將目標(biāo)后驗(yàn)概率近似為學(xué)生t分布，從而得到了基于學(xué)生t分布的線性卡爾曼濾波[9]并被擴(kuò)展到非線性系統(tǒng)中[10,12]。但上述方法只能處理單目標(biāo)場景。文獻(xiàn)[13],[14]提出了基于學(xué)生t分布的概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波，然而，該算法的勢估計(jì)精度會(huì)隨著目標(biāo)數(shù)增大而降低。

針對(duì)以上問題，筆者提出了學(xué)生t分布混合勢概率假設(shè)密度(Student’s T Distribution Mixture CPHD, STM-CPHD)濾波算法，該算法將過程噪聲和量測噪聲均建模為學(xué)生t分布，并將多目標(biāo)概率假設(shè)密度近似為學(xué)生t分布混合形式，利用學(xué)生t分布的重尾特性確保在出現(xiàn)噪聲野值時(shí)目標(biāo)能夠獲得一個(gè)不可忽略的權(quán)值，所提算法可以有效處理噪聲野值下的多目標(biāo)跟蹤問題。

1 學(xué)生t分布

假設(shè)V>0,V∈R，服從分布V～Gam(υ/2,υ/2)，其中Gam(α,β)表示形狀參數(shù)為α>0，尺度參數(shù)為β>0的伽馬分布。令隨機(jī)變量z∈Rd，服從均值為0，方差為Σ的高斯分布N(0,Σ)。則

x=μ+(1/V1/2)z，

(1)

其中，服從參數(shù)為μ，Σ和υ的多維學(xué)生t分布[9,15]St(x;μ,Σ,υ)，其概率密度函數(shù)可以表示為

(2)

為了方便，筆者用St(x;μ,Σ,υ)來表示式(2)。

2 學(xué)生t分布混合勢概率假設(shè)密度濾波

針對(duì)過程噪聲和量測噪聲導(dǎo)致GM-CPHD濾波性能下降的問題，提出學(xué)生t分布混合勢概率假設(shè)密度(STM-CPHD)濾波。在提出STM-CPHD濾波前，首先需要給出一些基本假設(shè)和兩條引理。

假設(shè)1過程噪聲wk和量測噪聲vk均服從如下學(xué)生t分布：

p(wk)=St(wk;0,Qk,υ1),p(vk)=St(vk;0,Rk,υ2) 。

(3)

假設(shè)2每個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測似然均服從線性學(xué)生t分布模型，即

(4)

其中，fk|k-1(x|ξ)和gk(z|x)分別表示轉(zhuǎn)移概率密度和量測似然函數(shù)。Fk-1和Hk分別為單目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和量測矩陣。

假設(shè)3目標(biāo)的存活概率和檢測概率均假設(shè)為狀態(tài)獨(dú)立的，即

pS,k(x)=pS,pD,k(x)=pD。

(5)

假設(shè)4新生目標(biāo)隨機(jī)有限集的強(qiáng)度表示為學(xué)生t分布混合形式，即

(6)

引理1給定F、m、P和Q，且P和Q為正定矩陣，則下式成立：

(7)

引理2給定H、m、P和R，且P和R為正定矩陣，則下式成立，

(8)

其中，

(9)

以上兩條引理的證明可以參考文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]。

1.STM-CPHD預(yù)測

給定假設(shè)1～4，假設(shè)k-1時(shí)刻多目標(biāo)后驗(yàn)概率假設(shè)密度Dk-1和后驗(yàn)勢分布pk-1已知，且Dk-1近似為如下學(xué)生t混合形式:

(10)

則k時(shí)刻預(yù)測勢分布pk|k-1和概率假設(shè)密度分別為

(11)

Dk|k-1(x)=DS,k|k-1(x)+bk(x) ,

(12)

其中，bk(x)由式(6)給出，

(13)

(14)

下面將給出STM-CPHD預(yù)測的證明推導(dǎo)過程。

證明：根據(jù)勢概率假設(shè)密度濾波勢分布預(yù)測公式[3]以及假設(shè)3，k時(shí)刻多目標(biāo)預(yù)測勢分布pk|k-1計(jì)算為

(15)

根據(jù)勢概率假設(shè)密度濾波存活目標(biāo)概率假設(shè)密度預(yù)測公式[3]以及假設(shè)2和假設(shè)3，k時(shí)刻存活目標(biāo)預(yù)測PHD為

(16)

根據(jù)引理1，式(16)可進(jìn)一步寫為

(17)

證明完畢。

2.STM-CPHD更新

假設(shè)k時(shí)刻多目標(biāo)預(yù)測勢分布pk|k-1(n)和預(yù)測概率假設(shè)密度Dk|k-1(x)已知，且Dk|k-1(x)表示為學(xué)生t混合形式

(18)

則k時(shí)刻后驗(yàn)勢分布pk可由下式計(jì)算:

(19)

且多目標(biāo)后驗(yàn)概率假設(shè)密度Dk(x)可以表示為學(xué)生t混合形式，表示如下

(20)

其中，

(21)

下面給出STM-CPHD濾波的更新證明。

(22)

根據(jù)假設(shè)2和引理1進(jìn)一步可得

(23)

同理，量測更新的概率假設(shè)密度Dz,k|k-1(x)表示為

(24)

根據(jù)引理2，可進(jìn)一步得

(25)

因此,可得式(19)～式(21)。證明完畢。

3.矩匹配

由式(21)可知，隨著遞歸算法的進(jìn)行，學(xué)生t分布的自由度會(huì)隨著遞歸的進(jìn)行會(huì)無限增大，導(dǎo)致學(xué)生t分布混合收斂為高斯混合。所提濾波會(huì)因此失去學(xué)生t分布的重尾特性，無法處理過程噪聲和量測噪聲野值。筆者采用矩匹配算法[9-10]解決該問題，按照式(26)來匹配學(xué)生t分布的一二階矩，

(26)

則量測更新部分的概率假設(shè)密度Dz,k|k-1(x)可以表示為

(27)

4.狀態(tài)提取和修剪合并

5.STM-CPHD與GM-CPHD的關(guān)系

如上所述，當(dāng)自由度參數(shù)趨于無窮大時(shí)，學(xué)生t分布將收斂為高斯分布。因此，GM-CPHD濾波可以被看做為STM-CPHD濾波的一種特殊形式，證明如下。

證明：當(dāng)自由度趨于無窮，STM-CPHD濾波中各學(xué)生t分布混合將收斂為高斯混合，即

(28)

(29)

(30)

(31)

證明完畢。

3 實(shí)驗(yàn)仿真分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，分別將所提算法與GM-CPHD濾波，學(xué)生t分布混合概率假設(shè)密度(STM-PHD)濾波[13]對(duì)多目標(biāo)跟蹤性能進(jìn)行對(duì)比，并采用最優(yōu)子模式分配[16](Optimal Subpattern Assignment, OSPA)距離作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。

3.1 參數(shù)設(shè)置

多目標(biāo)場景與文獻(xiàn)[17]類似，含有野值的過程噪聲和量測噪聲分別建模為

(32)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖1給出了STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲野值概率均為0.05時(shí)的目標(biāo)數(shù)估計(jì)結(jié)果。從圖1可以看出，本文所提STM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲出現(xiàn)野值的情況下能夠獲得更精確的目標(biāo)數(shù)估計(jì)，STM-PHD濾波次之，GM-CPHD濾波目標(biāo)數(shù)估計(jì)結(jié)果最差。這是因?yàn)镚M-CPHD濾波的輕尾高斯噪聲假設(shè)無法匹配重尾的過程噪聲和量測噪聲。通過圖2所示的STM-CPHD濾波與STM-PHD濾波目標(biāo)數(shù)估計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)差曲線，可以發(fā)現(xiàn)所提STM-CPHD濾波勢估計(jì)方差明顯小于STM-PHD濾波。這是由于概率假設(shè)密度濾波只傳遞了勢分布的均值，且其勢估計(jì)方差會(huì)隨著目標(biāo)數(shù)增加而增大，勢概率假設(shè)密度濾波傳遞的完整后驗(yàn)勢分布，進(jìn)而能夠得到更精確的目標(biāo)數(shù)估計(jì)結(jié)果。

圖3給出了STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲野值概率均為0.05時(shí)的最優(yōu)子模式分配距離。由圖3可以看出，GM-CPHD濾波性能最差，這是由于野值的出現(xiàn)致使目標(biāo)漏跟，導(dǎo)致較差的目標(biāo)數(shù)估計(jì)結(jié)果，進(jìn)而增大了最優(yōu)子模式分配距離。而所提STM-CPHD濾波的最優(yōu)子模式分配距離整體上低于STM-PHD濾波。這是因?yàn)镾TM-CPHD濾波具有較小的勢估計(jì)方差，從而能夠獲得更精確的多目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)。但是在第20,40,60,70,80時(shí)刻，圖3中STM-CPHD濾波的最優(yōu)子模式分配距離誤差明顯大于STM-PHD濾波。這是由于在這些時(shí)刻有目標(biāo)新生和消亡，而勢概率假設(shè)密度濾波在目標(biāo)數(shù)估計(jì)上比較保守，其雖然能保證較低的勢估計(jì)方差，但對(duì)目標(biāo)數(shù)變化不敏感，導(dǎo)致目標(biāo)數(shù)估計(jì)在目標(biāo)新生和消亡時(shí)具有一定的延時(shí)。

表1給出了STM-PHD濾波、GM-CPHD濾波和STM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲野值概率均為0.05時(shí)的平均運(yùn)行時(shí)間。從表1可以看出，STM-PHD濾波所用時(shí)間最短，而STM-CPHD濾波需計(jì)算勢分布，因此運(yùn)行時(shí)間最長。值得注意的是，GM-CPHD濾波與STM-CPHD濾波的計(jì)算復(fù)雜度理論上相近，但由于GM-CPHD濾波在跟蹤的過程中發(fā)生目標(biāo)漏跟，導(dǎo)致其運(yùn)算時(shí)間減少。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的性能，實(shí)驗(yàn)比較了幾種算法在不同過程噪聲和量測噪聲概率下的平均最優(yōu)子模式分配距離，如圖4所示。由圖中可以看出，3種算法性能隨著噪聲野值概率的增加而下降。GM-CPHD濾波性能下降最快，這是因?yàn)楦叩囊爸党霈F(xiàn)概率將導(dǎo)致目標(biāo)的漏跟幾率增加，進(jìn)而降低了濾波跟蹤性能。所提STM-CPHD濾波優(yōu)于其他兩種方法，這是由于STM-CPHD濾波可以利用學(xué)生t分布的重尾特性來更好地處理過程和量測噪聲野值，同時(shí)具有勢概率假設(shè)密度濾波對(duì)勢估計(jì)穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。圖4顯示當(dāng)野值概率較小時(shí)，GM-CPHD濾波的平均最優(yōu)子模式分配距離略低于STM-PHD濾波，這是由于勢概率假設(shè)密度濾波穩(wěn)定的勢估計(jì)一定程度上弱化了野值的影響，且概率假設(shè)密度濾波本身具有目標(biāo)數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定的缺點(diǎn)。

圖1 STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波的目標(biāo)數(shù)估計(jì)對(duì)比

圖2 STM-CPHD濾波和STM-PHD的目標(biāo)數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差

圖4 STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波在不同噪聲野值概率下的平均OSPA距離對(duì)比

表13種算法平均運(yùn)行時(shí)間

算法STM-PHDGM-CPHDSTM-CPHD運(yùn)行時(shí)間/s1.003 53.215 15.171 7

4 結(jié)束語

筆者針對(duì)傳統(tǒng)GM-CPHD濾波無法處理過程噪聲和量測噪聲野值的問題，提出了一種基于學(xué)生t分布的勢概率假設(shè)密度濾波算法。該算法利用學(xué)生t分布來匹配重尾的過程噪聲和量測噪聲，并近似多目標(biāo)后驗(yàn)概率假設(shè)密度為學(xué)生t分布混合形式，得到了勢概率假設(shè)密度濾波的線性解析解。所提算法是傳統(tǒng)GM-CPHD濾波的廣義形式，當(dāng)學(xué)生t分布的自由度趨于無窮大時(shí)，所提算法將收斂為GM-CPHD濾波。仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提算法能夠有效解決過程噪聲和量測噪聲下的多目標(biāo)跟蹤問題。下一步工作將考慮將所提算法處理噪聲野值下的非線性多目標(biāo)跟蹤問題。