五原縣第一中學(xué),內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市 015100

引言

根據(jù)現(xiàn)代市場運行規(guī)律，Ivancevic 在文獻(xiàn)[1]，[2]中提出了一個新的適應(yīng)性非線性薛定諤方程，也稱為Ivancevic 期權(quán)模型(the Ivancvic option price model)：

其中i為虛數(shù)單位，s為股票價格，t為時間變量，φ(s，t)為期權(quán)波函數(shù)，σ，β均為由市場自身決定的常數(shù).在物理學(xué)領(lǐng)域，方程(1)是(1+1)維非線性薛定諤方程，在很多物理領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.

1 Ivancevic 期權(quán)模型的行波約化

如果β=0，則方程(1)退化為線性薛定諤方程.在這里我們考慮β≠0的情形.對于方程(1)，

方程（1）化為如下的二階三次非線性自治常微分方程

在文獻(xiàn)1中，Ivancevic 得到了如下的雅克比橢圓函數(shù)解：

當(dāng)0≤m＜1

m=1：

其中，sn，cn為雅克比橢圓函數(shù)，m為雅克比橢圓模.解φ1，φ2為通解,解φ3為暗孤子解，φ4為亮孤子解 [1]。這些解應(yīng)該在某種程度上可以解釋期權(quán)波函數(shù)φ(s，t)的變化規(guī)律。

本文將在文獻(xiàn)1的基礎(chǔ)上，利用復(fù)方法，通過求解獲得方程(1)的新周期波解.

2 利用復(fù)方法求方程(1)的周期波解

復(fù)方法是 Yuan 等 [4]提出的一種新型的求自治非線性復(fù)常微分方程的方法，具有簡便高效系統(tǒng)的特點，下面我們利用該方法求解方程(2)的周期波解.

為了應(yīng)用該方法，我們先給出如下概念和引理.記函數(shù)集合W={橢圓函數(shù)，有理函數(shù)，的有理函數(shù)}。

考慮如下的常微分方程

其中n∈N,b≠0,c是常數(shù)．

假設(shè)亞純函數(shù)w為方程(3)的具有極點的解．如果把洛朗級數(shù)代入方程(3)，通過平衡各同類項系數(shù)，能依次確定p組系數(shù)即能確定如下的p個洛朗級數(shù)主要部分那么

我們稱方程(3)滿足弱 ＜p，q＞條件.

引理[4]考慮如下的復(fù)域常微分方程

如果p,l,m,n∈N,degP(w,w',Lw(m))＜n，

且方程滿足弱 ＜p，q＞條件，那么它的所有非常數(shù)亞純函數(shù)解w∈W，且必為下面三種形式之一：

（I）w:=R(z)是具有l(wèi)(≤p)個不同的q重極點，形如

的有理函數(shù)．

（II）w:=R(ξ),ξ=eαz(α∈C)，其中R(ξ)是具有l(wèi)(≤p)個不同的q重極點，形如

（III）w是在基本周期格內(nèi)具有l(wèi)(≤p)個不同的q重極點的雙周期2ω1和2ω2橢圓函數(shù)，形如

其中?(z)=?(z,g2,g3)是維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)，g2，g3分別是維爾斯特拉斯橢圓函數(shù)不變量，留數(shù)之和

3 方程(2)的求解

2.1 有理函數(shù)解

根據(jù)(4)式，我們得到方程的有理解為C：

2.2 單周期函數(shù)解

根據(jù)(5)式，我們可以得到方程的單周期函數(shù)解為：

2.3 雙周期函數(shù)解

因為留數(shù)之和等于零，因此方程(2)具有雙周期函數(shù)解.根據(jù)(5)式，我們得到方程的待定雙周期函數(shù)解為：將此待定解代入原方程(4)，可以得到方程的雙周期函數(shù)解為：

4 方程(1)的求解

根據(jù)第3 節(jié)中所給出的方程(2)的解，以及采用的變換變換

我們立刻得到方程(1)的如下的周期波解：

(3)

3 結(jié)語

本文求出的雙周期波解、有理函數(shù)解和單周期波解相對于文獻(xiàn)1-3是新的解，從數(shù)學(xué)角度講，有理函數(shù)解是怪波解，即當(dāng)s-σkt→z0時φ→∞。在一定的條件下，方程存在單周期波解和雙周期波解，這些解是否能在期權(quán)市場中得到驗證仍舊有待研究人員去探索，本文旨在進(jìn)行數(shù)學(xué)上的探究。