朱鳳文

任何事物都是在矛盾中不斷發(fā)展和變化的，在一定的條件下，矛盾著的雙方還可以互相轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)是初中教學(xué)中的重要科目，它不僅對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)發(fā)展有重大意義，而且對(duì)解決生活中的問題也大有益處。解決數(shù)學(xué)問題，一般總是從正面入手進(jìn)行思考，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本的常用的思想方法——綜合法.但是有時(shí)會(huì)遇到從正面考慮比較復(fù)雜甚至無從下手的情況，這時(shí)若能打破思維定勢(shì)從問題的反面去思考，或者逆用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，會(huì)使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而找到解決問題的捷徑，收到事半功倍的效果.這就是解決數(shù)學(xué)問題的另一種思想方法------逆向思維。

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維，也叫求異思維，這種解決問題的思維方法是對(duì)司空見慣的方法或原理進(jìn)行逆向思考，從數(shù)學(xué)方面來講，逆向思維就是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理、公式以及推理的過程中，通過結(jié)論推導(dǎo)出已知條件的思維方法。就是把問題倒過來或從問題的反面思考或逆用某些數(shù)學(xué)公式、法則、運(yùn)算律解決問題。逆向思維方法既可以用在代數(shù)中，也可以用在幾何中，“反證法”就是逆向思維在幾何中的重要應(yīng)用之一。加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，使學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)得到有效的遷移，經(jīng)常運(yùn)用逆向思維解題，有利于鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，提高解題能力和發(fā)展智力。

一、在概念教學(xué)中滲透逆向思維

既能培養(yǎng)學(xué)生雙向思維的習(xí)慣，又能加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解。例如，在學(xué)了數(shù)的平方和絕對(duì)值后，學(xué)生熟悉了（±3）?=9，∣±3∣=3，教師讓學(xué)生填空：（? ）?=9，若∣x∣﹦3，則x﹦？或x?﹦9，則x=？，學(xué)生在思考問題的過程中，就運(yùn)用了逆向思維。類似的概念如：互為相反數(shù)，互為余角等等，通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生就能夠?qū)Ω拍钣懈娴恼J(rèn)識(shí)，從而在今后的解題過程中能夠舉一反三、融會(huì)貫通。

例：a、b是一元二次方程x?-5X+6=0的兩個(gè)根，求a?+b?的值。

分析：由韋達(dá)定理得，a+b=5，ab=6。

二、在定理教學(xué)中滲透逆向思維

對(duì)于定理而言，并不是所有的逆命題都成立.但是在教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理的逆命題是否成立的探討與交流，以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。

例：一個(gè)零件的形狀如圖1，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，你能求出這個(gè)零件的面積嗎？

分析：此題若從正面思考，可能無從下手，因?yàn)樗皇且粋€(gè)特殊的四邊形，要求面積，十分困難，所以若從另一個(gè)角度思考，連接BD，將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，由題中條件應(yīng)用勾股定理及其逆定理即可。

三、在習(xí)題教學(xué)中滲透逆向思維

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，很多數(shù)學(xué)題在求解過程中如果運(yùn)用逆向思維的技巧，就會(huì)得心應(yīng)手。

1.從問題的反面入手

例：若方程X?-mX+m+3=0至多有一個(gè)負(fù)根，試求m的取值范圍。

分析：一元二次方程至多有一個(gè)負(fù)根，那么它的反面就是兩個(gè)根都為負(fù)數(shù)，從這個(gè)角度入手，此題便可很快求得結(jié)果。

例：E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四邊形DEOF，其中錯(cuò)誤的有﹙﹚ A、0個(gè)? B、1個(gè)? C、2個(gè)? D、3個(gè)

分析：此題是一個(gè)綜合性問題，由已知條件從正面分析很容易判斷①、②、④，但是③的推理就不那么容易了，若我們逆向思考從反面入手，假設(shè)AO﹦OE成立，由此推理得出結(jié)論成立的矛盾或條件，問題便可迎刃而解?？烧媸恰吧街厮畯?fù)疑無路，柳暗花明又一村”。

2.從逆常規(guī)思路入手

例：解方程（Y?）?+Y?-4Y?-Y+1=0

分析：解分式方程的基本思路就是把分母去掉轉(zhuǎn)化為整式方程，然而本題卻要將整式方程還原到分式方程來解。

3.逆用公式、法則解題

例：計(jì)算：⑴2-2²-2³-2⁴-2⁵-2⁶-2⁷-2⁸-2⁹+2¹⁰.? ⑵已知2^m=3，2ⁿ=5，求2^3m+2n的值。

分析：（1）注意到2¹⁰-2⁹=2⁹·2-2⁹×1=2⁹·（2-1）=2⁹，同理，2⁹-2⁸=2⁸，…2³-2²=2²，即2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2·2ⁿ-2ⁿ=（2-1）·2ⁿ=2ⁿ.逆用同底數(shù)冪的乘法將2ⁿ⁺¹化為2¹·2ⁿ便可求解。（2）求2^3m+2n的值，由已知條件不能求出m，n的值，因此可以想到將2^m，2ⁿ整體代入，這就需要逆用“同底數(shù)冪的乘法”和“冪的乘方”的運(yùn)算性質(zhì)，從而解決問題。

4.逆序思考解題

有的數(shù)學(xué)問題，關(guān)系比較復(fù)雜，直接從已知條件入手，有時(shí)會(huì)在中途迷失方向，在這樣的情況下，如果從問題的結(jié)論出發(fā)一步一步往上倒推，往往可以找到有效的解題線索。

例：搶“數(shù)”游戲：搶2019，甲、乙兩人每次搶1、2或3個(gè)數(shù)，誰先搶到2019，誰就獲勝.現(xiàn)在由甲先搶，問哪個(gè)人先獲勝？他該怎樣去搶？

分析：如果按問題原來的程序考慮，甲第一次搶“數(shù)”就有三種情況，問題變得十分復(fù)雜，若逆向反過來思考，先從甲最后一次搶“數(shù)”的情況去分析甲的成敗。容易看出，如果還剩1、2或3（記A），甲必獲勝.再往前一步，輪到甲時(shí)，還剩5、6或7時(shí)，甲一定能制造出情況A。由以上分析可知，輪到甲搶“數(shù)”時(shí)，若搶的“數(shù)”是4m+1、4m+2或4m+3，則甲一定勝，原因是對(duì)4m+1、4m+2或4m+3，甲搶1、2或3，剩下4m，由乙去搶;輪到甲搶時(shí)“數(shù)”總不是4的倍數(shù)，而甲搶后，輪到乙去搶時(shí)，剩下數(shù)總是4的倍數(shù)。由于2019=4×504+3，甲第一次搶1、2、3，以后每次按上述關(guān)系來?yè)專瑒t甲一定獲勝。

從以上幾例可以看出，應(yīng)用逆向思維巧解數(shù)學(xué)題，方法獨(dú)特，構(gòu)思新穎。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練，幫助學(xué)生從正向思維逐步過渡到正、逆雙向思維，有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解題的靈活性，大大地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情。