張春琴

摘要指出了農(nóng)業(yè)發(fā)展統(tǒng)籌規(guī)劃中存在的最優(yōu)化問題，運用多目標模糊隨機優(yōu)化模型對農(nóng)作物種植結構的優(yōu)化配置進行研究。模型同時考慮模糊性因素和隨機性因素對優(yōu)化問題的影響，并以經(jīng)濟效益、商品化程度、環(huán)境效益和成本需求最小為主要目標，尋求農(nóng)作物的最優(yōu)種植模式。利用模糊定權的方法計算各個目標的權重，以便更加客觀、合理地體現(xiàn)各個目標在優(yōu)化過程中的重要程度。模型理論嚴謹、計算簡易、操作方便，可實現(xiàn)農(nóng)村人力資源、農(nóng)業(yè)資金以及水-土-作物系統(tǒng)的最佳配置，使各種有限的資源得到充分、合理利用，為區(qū)域農(nóng)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展提供優(yōu)化模型與數(shù)學方法，促使農(nóng)業(yè)發(fā)展獲得更高的綜合效益。

關鍵詞種植結構;模糊隨機優(yōu)化;綜合效益;模糊數(shù)學;相對優(yōu)屬度

中圖分類號S?11+5;O?159文獻標識碼A

文章編號0517-6611（2019）18-0243-04

doi：10.3969/j.issn.0517-6611.2019.18.067

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Fuzzy Stochastic Optimization Model of Crop Planting Structure

ZHANG Chun-qin（Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence/College of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding， Hebei 071002）

AbstractThe optimization problems in the overall planning of agricultural development were pointed out.Using multi-objective fuzzy stochastic optimization model， the optimal allocation of crop planting structure was studied.The model considered the influence of both fuzzy and stochastic factors on the optimization problem， and took economic benefits， commercialized degree， environmental benefits and minimum cost needs as the main objectives to seek the best mode of crop planting.In order to more objectively and rationally reflect the importance of each objective in the optimization process， the weight of each objective was determined by the method named fuzzy decision weight.The model was rigorous in theory， simple in calculation and convenient in operation， it could realize the optimal allocation of rural human resources， agricultural funds and water-soil-crop system， make full and reasonable use of all kinds of limited resources，and provide an optimization model and mathematical method for sustainable development of regional agriculture， so as to achieve higher comprehensive benefits.

Key wordsPlanting structure; Fuzzy stochastic optimization; Comprehensive benefits; Fuzzy mathematics; Relative optimal subordinate ?degree

現(xiàn)代農(nóng)業(yè)雖然提供了豐富的物質(zhì)產(chǎn)品，但化肥和農(nóng)藥的濫用造成了土壤侵蝕等生態(tài)危機。如果人們在農(nóng)業(yè)發(fā)展過程中片面追求經(jīng)濟利益而忽視了對生態(tài)環(huán)境的保護，則會進一步加深農(nóng)業(yè)生態(tài)環(huán)境的惡化，嚴重影響農(nóng)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。此外，我國水資源分布不均（北方地區(qū)缺水嚴重）、大量農(nóng)村人口涌入城市務工都加劇了農(nóng)業(yè)水資源和農(nóng)村人力資源供需的矛盾。因此，只有通過環(huán)境、經(jīng)濟、社會等多維度的協(xié)調(diào)發(fā)展，優(yōu)化農(nóng)作物的種植結構以緩解水資源和人力資源的供需關系，獲取最佳的綜合效益，才能使農(nóng)業(yè)獲得可持續(xù)發(fā)展[1-2]。

農(nóng)業(yè)發(fā)展是一個復雜的過程，對它進行管理規(guī)劃時常常面臨許多最優(yōu)化問題，如水土資源的優(yōu)化配置、農(nóng)業(yè)機械的最佳配備、制定農(nóng)業(yè)資金的最優(yōu)投資方案、確定農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的最佳過程和擬定種植結構的最優(yōu)模式等。目前，已有不少學者對最優(yōu)種植模式進行了研究[3-10]，但對農(nóng)作物種植結構的多目標模糊隨機優(yōu)化配置的研究卻鮮見報道。事實上，農(nóng)業(yè)發(fā)展不但要追求經(jīng)濟效益，還要重視生態(tài)效益、社會需求等目標;農(nóng)作物種植模式的優(yōu)化過程往往會受到氣候、資源、技術、人口和社會等因素的影響，這些因素相互依存、交叉作用，既有人為的模糊性特征，又有客觀的隨機性存在，但以往的很多研究都是僅僅考慮在模糊不確定性或是隨機不確定性的環(huán)境下研究種植結構的優(yōu)化問題。例如，馬建琴等[3]、劉瀟等[4]、熊黑鋼等[5]、黃麗麗等[6]和高明杰[7]研究了模糊環(huán)境下的作物最佳種植模式;而張帆等[9-10]考慮了隨機環(huán)境下的種植結構優(yōu)化方案。但模糊環(huán)境和隨機環(huán)境往往不是獨立存在的，而是相互作用地交織在一起，模糊隨機性就是一種具體的表現(xiàn)[11-13]。為了使作物種植結構的優(yōu)化模型客觀、合理并與事實相符，需要在模糊性和隨機性的混合交互式環(huán)境下建立多目標的模糊隨機決策模型，為農(nóng)作物種植模式的優(yōu)化提供決策支持和數(shù)學方法。鑒于此，筆者運用多目標模糊隨機優(yōu)化模型對農(nóng)作物種植結構的優(yōu)化配置進行研究，旨在為區(qū)域農(nóng)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展提供優(yōu)化模型與數(shù)學方法，促使農(nóng)業(yè)發(fā)展獲得更高的綜合效益。

1種植結構的多目標模糊隨機優(yōu)化模型

為了滿足人們生活的各種需求，一個地區(qū)往往需要種植多種農(nóng)作物。只有科學有效地使用有限的水土資源、人力資源和農(nóng)業(yè)資金，優(yōu)化農(nóng)作物的種植結構，農(nóng)業(yè)發(fā)展才能獲得最佳的綜合效益。在多目標優(yōu)化問題中，由于決策者對方案的評價含有模糊信息，他們對同一目標也可能存在不同的滿意程度。因此，在優(yōu)選識別過程中，農(nóng)作物種植結構方案的優(yōu)劣既沒有嚴格、清晰地劃分，也沒有絕對分明的界限，它們具有中介過渡性，屬于模糊概念。另外，環(huán)境的變化、資金和勞力的可利用量、市場供需關系等都具有隨機性特征。例如，農(nóng)產(chǎn)品的市場需求是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，因而市場需求是一個具有隨機性特征的現(xiàn)象，需借助概率論的相關知識來解決有關問題[14-15]。

1.1相對隸屬度矩陣的確定設需種植n種農(nóng)作物，它們構成方案集為：

X={x1，x2，…，xn}

設優(yōu)化模型有m個目標，它們構成目標集：

S={s1，s2，…，sm}。

對于方案xk（k=1，2，…，n），按第i個目標si進行評價，得到的評價值記為x?ik，從而xk可表示為：

xk={x?1k，x?2k，…，x?mk}T

于是，方案集X可用m×n階矩陣表示：

X=（x?ik）?m×n

優(yōu)化模型中的目標通常有2種類型，即效益型和成本型。效益型目標是越大越好型目標，而成本型目標是越小越好型目標。在實際應用中，目標的物理量綱往往不同，為避免不同量綱對優(yōu)化問題的影響，需將矩陣X變換為相對隸屬度矩陣

R=（γ?ik）?m×n=γ?11γ?12…γ?1n

γ?21γ?22…γ?2n

…

γ?m1γ?m2…γ?mn

其中，相對隸屬度γ?ik按照實際情況，利用下面的式（1）或（2）計算得到。

當目標為越大越好型時，

γ?ik=x?ik-min xkmax xk-min xk????????（1）

當目標為越小越好型時，

γ?ik=max xk-x?ikmax xk-min xk????????（2）

式中max xk、min xk分別是n個方案中目標si的最大、最小值。

顯然，0≤γ?ik≤1，i=1，2，…，m;k=1，2，…，n。

1.2相對優(yōu)屬度的確定

一般而言，不同的目標在優(yōu)選中的地位是不同的，需賦予不同的權重以體現(xiàn)它們的重要程度。設目標權向量為w=（w1，w2，…，wm），且mi=1wi=1。

在多目標規(guī)劃問題中，如果目標在整體優(yōu)化中對優(yōu)的相對隸屬度大，那么該目標的客觀地位就高，通常會引起更多的關注，也會被賦予更大的權重值。根據(jù)模糊數(shù)學知識[16-17]，可將隸屬度定義為權重，即將R轉置得到目標對“重要性”這個模糊概念的相對隸屬度矩陣[18]：

W=RT=γ?11γ?21…γ?m1

γ?12γ?22…γ?m2

…

γ?1nγ?2n…γ?mn

記

W=w?11w?12…w?1m

w?21w?22…w?2m

…

w?n1w?n2…w?nm=（w?ki）?n×m

則w?ki=γ?ik;k=1，2，…，n;i=1，2，…，m。

從矩陣W可以看出，目標si對于“重要性”的相對隸屬度向量為：

w（i）=（w?1i，w?2i，…，w?ni）T

利用文獻[1]提供的模糊定權方法，目標的權重wi（i=1，2，…，m）按式（3）計算

wi=11+nk=1（1-w?ki）nk=1w?ki2（3）

根據(jù)兩級模糊優(yōu)選模型，方案k對最佳綜合效益的相對優(yōu)屬度uk（k=1，2，…，n）按式（4）計算

uk=11+ni=1wi（1-γ?ik）mi=1wiγ?ik2（4）

1.3多目標模糊隨機優(yōu)化模型利用前面得到的數(shù)據(jù)，建立農(nóng)作物種植結構的多目標模糊隨機優(yōu)化模型。

目標函數(shù)為：

MaxV=nk=1ukak

式中，ak為作物k（k=1，2，…，n）的最優(yōu)種植面積。

在以下約束條件求解目標函數(shù)：

①面積約束

nk=1ak≤A

min ak≤ak≤max ak（k=1，2，…，n）

式中，A為可利用的耕地面積總數(shù);minak，maxak分別為作物k的最小和最大種植面積，它們由市場需求、自主需求或?qū)＜医?jīng)驗確定。

②水量約束

nk=1bkak≤B

式中，bk為作物k的灌溉定額;B為可利用的農(nóng)業(yè)用水總量。

③成本約束

nk=1ckak≤C

式中，ck為種植作物k的單位面積所需成本;C為可利用的農(nóng)業(yè)資金總額。

④人工需求約束

nk=1dkak≤D

式中，dk為作物k在某個時期單位面積需求的人工數(shù);D為在相應時期農(nóng)業(yè)可利用的人工總數(shù)。

⑤非負約束

ak≥0，k=1，2，…，n

2實例分析

設某酒廠老板承包了12 000 hm2耕地，用于種植小麥、玉米、高粱和大麥。假設酒廠每年至少需要小麥4 600 t、玉米6 200 t、高粱12 000 t和大麥8 400 t為釀酒材料。同時，老板為回報社會，每年向國家提供500 t小麥和3 000 t玉米作為糧食或其他應急之用。以往資料表明，小麥、玉米、高粱和大麥的平均產(chǎn)量分別為6.0、10.0、7.4和5.6 t/hm2。農(nóng)作物收割后，釀酒所需的部分儲倉備用，再留下回報社會的部分，其余的全部出售。假設該老板有可支配的農(nóng)業(yè)資金總數(shù)為142.02×106元，下面應用所建立的模糊隨機優(yōu)化模型去尋求這4種農(nóng)作物的最優(yōu)種植面積：

2.1確定各個目標的權重和各種作物的相對優(yōu)屬度

為了得到小麥、玉米、高粱和大麥的最優(yōu)種植結構，使該酒廠老板獲得最佳的綜合效益，優(yōu)化模型以經(jīng)濟效益、商品化程度、環(huán)境效益和成本需求最小化為評價指標。部分定量指標值參考文獻[5]中的數(shù)據(jù)，具體詳見表1。其中，經(jīng)濟效益指標值為灌溉效益分攤值[1];商品化程度指標值為農(nóng)產(chǎn)品的商品產(chǎn)量比例;成本需求指標值為種植各作物單位面積所需的?成本。

對于定性指標“環(huán)境效益”，借助定性指標的定量化方法，根據(jù)實際問題構造恰當?shù)哪：`屬函數(shù)進行量化。假設各作物對“環(huán)境效益”的影響分為{很好，好，較好，不太好，很不好}5個等級，且將這5個等級依次對應為{5，4，3，2，1}。利用模糊數(shù)學連續(xù)量化的方法，取偏大型柯西分布和對數(shù)函數(shù)作為隸屬函數(shù)[16，19]，即

μ（x）=11+α（x-β）2，1≤x≤3

alnx+b，3≤x≤5

式中α，β，a，b均為待定常數(shù)。

根據(jù)專家的經(jīng)驗和知識，可得到如下評定結果：

當作物對“環(huán)境效益”的影響等級為“很好”時，對應的隸屬度為1.00，即μ（5）=1.00;

當作物對“環(huán)境效益”的影響等級為“較好”時，對應的隸屬度為0.80，即μ（3）=0.80;

當作物對“環(huán)境效益”的影響等級為“很不好”時，對應的隸屬度為0.01，即μ（1）=0.01。

由此計算得到α=1.108 6，β=0.894 2，a=0.391 5，b=?0.369 9。于是隸屬函數(shù)為

μ（x）=11+1.108 6（x-0.894 2）2，1≤x≤3

0.391 5lnx+0.369 9，3≤x≤5

根據(jù)實地調(diào)查和專家經(jīng)驗可知，小麥、玉米、高粱和大麥對“環(huán)境效益”的影響等級分別為4、5、3、2，因此這4種作物對于“環(huán)境效益”的隸屬度為

γ?3k=（0.913，1.000，0.800，0.524）

由表1的數(shù)據(jù)和γ?ik的計算方式可知，相對隸屬度矩陣?R為：

R=0.1980.8821010.33300.0830.91310.8000.52400.1870.9501

將R轉置得到目標權重矩陣W：

W=RT=0.19810.91300.8820.33310.187100.8000.95000.0830.5241

利用式（3）計算，得到目標的非歸一化權重向量為

w=（0.540，0.231，0.947，0.568）

將權重向量w歸一化為

w=（0.24，0.10，0.41，0.25）

利用式（4）計算μk（k=1，2，3，4），構成4種農(nóng)作物的綜合效益的相對優(yōu)屬度向量為

μ=（μ1，μ2，μ3，μ4）=（0.544，0.847，0.945，0.826）

2.2確定各種作物的最小、最大種植面積

市場調(diào)查顯示，酒廠所在區(qū)域小麥的市場需求量X（單位t）是1個服從正態(tài)分布的隨機變量，且X～N（30 000，5 00 02）。小麥每售出1 t可獲利720元;若供過于求，賣不出去的部分積壓在庫，則需支付儲存管理費240元/t;若供不應求則從外地調(diào)貨供應，此時僅獲利420元/t。

為求得最大的平均收益，設酒廠小麥的供應量為y（單位t），總利潤為（單位元），于是

Y=g（X）=720y+420（X-y），y≤X720X-240（y-X），y>X

另設X的概率密度和分布函數(shù)分別為f（x）和F（x），則有

E（Y）=∫+∞?-∞g（x）f（x）dx=∫y?-∞（960x-240y）f（x）dx+∫+∞y（300y+420x）f（x）dx

=∫y?-∞960xf（x）dx-240yF（y）+300y（1-F（y））+∫+∞y420xf（x）dx

利用數(shù)學分析求極值的方法，令E（Y）關于y求導，并令其導數(shù)為0，得到

E′（Y）=300-540F（y）=0

利用概率論知識可得

F（y）=Φy-30 0005 000=300540≈0.556

其中，Φ（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)。通過查標準正態(tài)分布表，解得y=30 700（t），即賣出小麥30 700 t時，平均收益達到最大。

下面確定小麥的最小和最大種植面積。由于酒廠分別需要4 600和500 t小麥作為釀酒材料和回報社會，于是至少需要5 100 t小麥，對應的種植面積為5 100÷6=850 hm2，即為小麥的最小種植面積。而酒廠向市場供應30 700 t小麥時期望獲利最大，再加上釀酒等所需用量，最好能夠產(chǎn)出?35 800 t小麥，對應的種植面積為35 800÷6=5 967 hm2，即為小麥的最大種植面積。

同樣，調(diào)查資料表明，玉米的市場需求量Z（單位t）是一隨機變量，且Z～N（40 000，5 2002）。玉米每售出1 t可獲利?450元;若供大于求賣，不出去的部分積壓在庫，則損失?150元/t;若供不應求，則從外地調(diào)貨供應，此時獲利270元/t。

利用類似的計算方法求得，當賣出40 650 t玉米時可獲得最大的平均收益。于是，為滿足釀酒用量和完成社會責任，酒廠至少需要9 200 t玉米，對應的種植面積為9 200÷?10=920 hm2，即為玉米的最小種植面積。而酒廠向市場供應40 650 t玉米時期望獲利最大，因此最好能夠產(chǎn)出49 850 t玉米，對應的種植面積為49 850÷10=4 985 hm2，即為玉米的最大種植面積。

此外，酒廠需要12 000 t高粱和8 400 t大麥作為釀酒材料，故高粱和大麥的最小種植面積分別為 1 621.6和?1 500.0 hm2。由以往資料和專家經(jīng)驗得到，酒廠高粱和大麥的最大種植面積分別為2 580和2 410 hm2。

至此，各農(nóng)作物種植面積的范圍已被確定完畢。

2.3確定各種作物的人工需求

下面僅考慮種一季作物所受的人工需求約束。一般春耕和秋收是農(nóng)民最繁忙的一段時間。每年的3—5月為種植各作物的準備期和播種期，這段時間需要大量的人工進行整地和播種，包括犁地、旋地、耙地、澆地、施肥和播種。根據(jù)詳細調(diào)查得知，這個時期小麥、玉米、高粱和大麥所需的人工分別約為小麥60工日/hm2、玉米45工日/hm2、高粱54工日/hm2、大麥52工日/hm2。由于城鎮(zhèn)化進程的加快，農(nóng)村勞動力大量流失，打破了農(nóng)村人力資源配給結構的平衡，出現(xiàn)了農(nóng)村勞力緊張的局面。該區(qū)域在3—5月期間可提供的勞力總數(shù)為68.2×104工日。

在各作物的生長期間也需要人工進行澆水、追肥和打藥等作業(yè)，但需求的人工數(shù)量少，一般不受人工需求的約束。

7—9月為各作物的成熟期和收獲期，這段時間需要許多人力進行收割、運輸、晾曬和入庫等操作。根據(jù)經(jīng)驗和調(diào)查數(shù)據(jù)知，該時期小麥、玉米、高粱和大麥所需的人工分別約為小麥50工日/hm2、玉米35工日/hm2、高粱41工日/hm2、大麥40工日/hm2;該區(qū)域在7—9月期間勞工可利用總數(shù)為49.27×104工日。

2.4求解模糊隨機優(yōu)化模型

設該區(qū)域農(nóng)業(yè)的用水總量為6 261.5×?104m3;小麥、玉米、高粱和大麥在灌溉制度下的灌溉定額依次為6 200、4 800、4 500、6 000 m3/hm2[5]。

利用有關數(shù)據(jù)，建立農(nóng)作物種植結構的多目標模糊隨機優(yōu)化模型為

Max V=0.544a1+0.847a2+0.945a3+0.826a4

式中，a1、a2、a3、a4分別為小麥、玉米、高粱和大麥的最優(yōu)種植面積。

約束條件有：

①面積約束

a1+a2+a3+a4≤12 000

850≤a1≤5 966.7

920≤a2≤4 985

1 621.6≤a3≤2 580.0

1 500≤a4≤2 410

②水量約束

6 200a1+4 800a2+4 500a3+6 000a4≤6 261.5×104

③成本約束

10 900a1+10 450a2+8 610a3+8 490a4≤142.02×106

④人工約束

60a1+45a2+54a3+52a4≤68.2×104

50a1+35a2+41a3+40a4≤49.27×104

⑤非負約束

ak≥0，k=1，2，3，4

根據(jù)最優(yōu)化理論[20]，對變量有界的線性規(guī)劃進行求解，得到該模型的最優(yōu)解為：

（a1，a2，a3，a4）=（2 025，4 985，2 580，2 410）

于是，這4種農(nóng)作物的最優(yōu)種植面積分別為小麥?2 025 hm2、玉米4 985 hm2、高粱2 580 hm2、大麥2 410 hm2，耕地總面積達到最大面積12 000 hm2;各農(nóng)作物在灌溉定額一定條件下，相應的灌溉水量分別為小麥1 255.5×104 m3、玉米?2 392.8×104 m3、高粱1 161×104 m3、大麥1 446×104 m3，用水總量高達6 255.3×104 m3，逼近最大用水限度6 261.5×?104 m3;秋收時期需要人工總數(shù)為477 905工日，接近最大可利用人工數(shù)49.27×104工日。

3結論

為了使農(nóng)業(yè)發(fā)展取得最大綜合效益，克服片面追求經(jīng)濟效益而忽視環(huán)境效益帶來的弊端，建立了農(nóng)作物種植結構的模糊隨機優(yōu)化模型。模型推理嚴謹、計算簡便，利用相對優(yōu)屬度作為決策變量的權系數(shù)，從而更好地解決多目標規(guī)劃問題，為區(qū)域農(nóng)業(yè)的發(fā)展提供了優(yōu)化理論與方法。實例表明，在農(nóng)業(yè)水資源供需矛盾突出、農(nóng)村人力資源不足的情況下，要使農(nóng)業(yè)綜合效益最大，必須優(yōu)化農(nóng)作物的種植結構。通過求解模型發(fā)現(xiàn)，對于綜合效益優(yōu)屬度高的農(nóng)作物玉米、高粱和大麥，其種植面積均達到了約束上界;而對綜合效益優(yōu)屬度低、單位面積用水量最高的作物小麥，其種植面積僅為?2 025 hm2。事實上，在水資源缺乏、農(nóng)村勞動力緊張的情況下，應增加種植單位面積用水量少和人工需求量低的農(nóng)作物。而玉米單位面積的用水量較少、且人工需求最低，對綜合效益優(yōu)屬度較高，因而適宜大量種植，其種植面積高達?4 985 hm2。由此可見，該模糊隨機優(yōu)化模型是客觀、合理和可行的，所得結果符合實際情況，實現(xiàn)了農(nóng)作物的種植面積、水資源、農(nóng)業(yè)資金和勞動力的最佳分配，取得了最大的綜合效益。因此，該優(yōu)化模型值得推廣和應用。

參考文獻

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