芮孝芳

(河海大學水文水資源學院，江蘇 南京 210098)

作為隨機變量的水文要素或水文特征值之間，由于物理原因，其中有一些或多或少存在著一定的因果聯(lián)系，揭示并應用這些聯(lián)系來處理或解決一些水文學問題，是水文學的重要研究內容之一。筆者第一次在概率統(tǒng)計指導下接觸這一學術領域始于我國著名水文學家劉光文先生的學術講座。筆者已經保存了56年的聽課筆記清楚地記錄著，那是1963年5月20日下午，劉光文先生作了題為“二元機率分配及相關的基本概念”的學術講座。從“二元機率分配的基本概念”，到“變數(shù)之間的關系”，劉光文先生作了縝密而富有啟發(fā)的講解，令人耳目一新，令筆者至今記憶猶新。在日后漫長的歲月中，這一講座所涉及的內容及透視出的科學思想無時無刻不在筆者的學術生涯中起著指導性作用。劉光文先生這一學術講座開啟了我國水文學術界研究水文隨機變量二維分布及其應用的先河。本文試圖根據(jù)半個多世紀以來這一領域的發(fā)展和筆者的思考與實踐，從概念、理論到實際應用，進一步探索二維分布在處理或解決水文學問題中的思路和方法，以期引起研究二維分布及其應用的興趣，踏踏實實，滿懷信心，走守正創(chuàng)新之路。

1 兩個隨機變量之間關系的數(shù)學描述

水文隨機變量之間可能存在函數(shù)關系或相關關系，也可能相互獨立。兩個隨機變量中，若一個隨機變量X的每個現(xiàn)實x，都只與另一個隨機變量Y的一個現(xiàn)實y對應，則稱這兩個隨機變量之間為函數(shù)關系，又稱確定性關系。根據(jù)物理意義，兩水文隨機變量的函數(shù)關系屬于因果函數(shù)關系。水文隨機變量隨時間、空間的變化雖然也是一種函數(shù)關系，但不是因果函數(shù)關系，而是數(shù)量函數(shù)關系。兩個隨機變量中，若對應一個隨機變量X的每個現(xiàn)實x，另一個隨機變量Y將以不同的概率取不同的值，或者說，對應于隨機變量X的每一個實現(xiàn)x，隨機變量Y將有不同的條件分布，則稱這兩個隨機變量之間為相關關系。兩個隨機變量中，若對應一個隨機變量X的每個現(xiàn)實x，另一個隨機變量Y將有完全相同的條件分布，則稱這兩個隨機變量之間為獨立關系。

兩個隨機變量的二維分布函數(shù)就是它們之間關系的最完整描述。因為，若兩個隨機變量X與Y為函數(shù)關系，則由隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)理論知，只要已知其中一個的分布函數(shù)，另一個的分布函數(shù)就可以推導出來。這表明這時二維分布實際上已退化為一維分布了。若兩個隨機變量X和Y相互獨立，則由概率論知，二維分布將等于這兩個隨機變量的分布函數(shù)之乘積：

f(x,y)=fx(x)·fy(y)

(1)

F(x,y)=Fx(x)·Fy(y)

(2)

若兩個隨機變量X與Y為相關關系，則由概率論知，二維分布將為邊際分布與條件分布之乘積：

f(x,y)=fx(x)·fy(yx)=fy(y)·fx(xy)

(3)

或

F(x,y)=Fx(x)·Fy(yx)=Fy(y)·Fx(xy)

(4)

式中：f(x,y)和F(x,y)分別兩個隨機變量X和Y的二維密度函數(shù)和二維分布函數(shù)；fx(x)和Fx(x)分別為隨機變量X的密度函數(shù)和分布函數(shù)，或稱二維分布關于X的邊際密度函數(shù)和邊際分布函數(shù)；fy(y)和Fy(y)分別為隨機變量Y的密度函數(shù)和分布函數(shù)，或稱二維分布關于Y的邊際密度函數(shù)和邊際分布函數(shù)；fy(yx)和Fy(yx)分別為X發(fā)生條件下Y的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù)；fy(yx)和Fy(yx)分別為Y發(fā)生條件下的X的條件密度函數(shù)和條件分布函數(shù)。

命題“兩個隨機變量之二維分布是它們之間關系的最完整描述”的科學性之所以毋庸置疑是因為，如果兩個隨變量為函數(shù)關系，那么其二維分布必退化為一維分布，反之，如果一個二維分布可表達為一維分布，那么這兩個隨機變量必為函數(shù)關系；如果兩個隨機變量相互獨立，那么必滿足式(1)或式(2)，反之，如果二維分布可表達成式(1)或式(2)，那么這兩個隨機變量必相互獨立；如果兩個隨機變量之間只具有一定的相關關系，那么必滿足式(3)或式(4)，反之，如果二維分布可表達成式(2)或式(3)，那么這兩個隨機變量之間必定只具有一定的相關關系。

因此，所謂兩個隨機變量之間的數(shù)學描述，實際上就是構建兩個隨機變量的二維分布函數(shù)。

2 二維正態(tài)分布的兩個隨機變量之間的關系

二維正態(tài)分布是迄今為止，為數(shù)不多的能給出解析數(shù)學表達式的二維分布，其密度函數(shù)為[1-3]：

(5)

由式(5)可得，二維正態(tài)分布的兩個邊際分布均為一維正態(tài)分布，分別為

(6)

(7)

兩個條件分布也都是一維正態(tài)分布，分別為

(8)

(9)

由以上兩點并非充分條件，因為反之并不一定成立。

由式(5)還可以發(fā)現(xiàn)，當r=0時，式(5)和式(8)、式(9)將分別變?yōu)?/p>

(10)

(11)

(12)

這就說明，對于二維正態(tài)分布，兩個隨機變量X與Y的Pearson相關系數(shù)r=0是與式(10)～(12)完全等價的，也就是說，r=0是服從二維正態(tài)分布的兩個隨機變量相互獨立的必要和充分條件。這個“完全等價”對不服從二維正態(tài)分布的兩個隨機變量則是不成立的。

進一步考察二維正態(tài)分布的條件分布，還會有新的發(fā)現(xiàn)。事實上，由式(8)可知，Y倚X的條件均值和條件均方差分別為

(13)

(14)

由式(9)可知X倚Y的條件均值和條件方差分別為

(15)

(16)

圖1 二維正態(tài)分布不同r的Y倚X的回歸線

圖2 二維正態(tài)分布不同r的條件密度函數(shù)

(17)

(18)

3 Copula函數(shù)理論和方法

若兩個隨機變量均服從正態(tài)分布，則其二維分布即為式(5)。若兩個隨機變量中只有一個為正態(tài)分布或者兩個均不為正態(tài)分布，則其二維分布就不能用式(5)表達，在這種情況下，將如何尋找其二維分布呢？顯然，尋求兩個隨機變量的二維分布函數(shù)一般要比尋求一維隨機變量分布函數(shù)困難得多，正因為如此，在水文學中二維分布的研究相對薄弱。本節(jié)和下一節(jié)僅對確定任意兩個隨機變量二維分布的Copula函數(shù)和形變函數(shù)的理論和方法進行討論。

Copula函數(shù)的起源可追溯到1959年[4],是年，Sklan指出：可以將任意一個n維分布函數(shù)分解為n個邊際分布和一個Copula函數(shù)，其中邊際分布描述每個隨機變量的一維分布函數(shù)，Copula函數(shù)則描述這些隨機變量之間的相關性。因此，Copula函數(shù)是一個將多個隨機變量的一維分布“連接”成為多維分布的函數(shù)，顧名思義，可將Copula函數(shù)譯作“連接函數(shù)”。Sklan這一基本思想是以定理的形式公布于世的，以構建二維分布為例就是：令H為具有邊際分布F和G的兩個隨機變量的二維分布，那么將存一個Copula函數(shù)C，使得

H(x,y)=C[F(x),G(y)]

(19)

在式(19)中，若F和G是連續(xù)的，則Copula函數(shù)C將是唯一的。根據(jù)這一定理，可以得到如下推論：若H為具有邊際分布為F和G的兩個隨機變量的二維分布函數(shù)，C為其Copula函數(shù)，F(xiàn)-1和G-分別為F和G的反函數(shù)，則對于C的定義域I2即[0,1]2內的任意(u,v),有

C(u,v)=H[F-1(u),G-1(v)]

(20)

上述Sklan定理及其推論顯然表明，在兩個隨機變量的二維分布未知時，將可以通過邊際分布和Copula函數(shù)來構建，而在二維分布已知時又可以利用邊際分布的反函數(shù)求出相應的Copula函數(shù)。筆者認為，Copula函數(shù)理論提出的意義不僅在于可以通過尋找Copula函數(shù)，繼而構建出二維分布，而且在于能夠揭示出隱含在二維分布中過去未曾被發(fā)現(xiàn)的Copula函數(shù)及其所描述的相關性質。

現(xiàn)有的文獻表明，根據(jù)生成元的不同，Copula函數(shù)可分為橢圓型、Archimede型、二次型、極值型等類型[5]。其中Archimede型Copula函數(shù)，由于構造方便，使用容易，已得到較為廣泛的應用，它又有3種具體型式：

a. Gumbel-Hougaard Copula函數(shù)，公式為

(21)

式中：u=F(x);v=G(y);θ為Copuar參數(shù)，θ≥1。當θ=1時，u與v相互獨立，當θ→∞時，u與v為函數(shù)關系。由于兩個隨機變量均為較大值時變化敏感，故式(21)能較好地描述具有上尾相關特性的兩個隨機變量之間的相關性。

b. Clayton Copular函數(shù)，公式為

C(u,v)=u+v+[(1-u)-θ+(1-v)-θ]-1

(22)

式中：符號意義同前述。當θ→0時，u與v相應獨立；當θ→∞時，u與v為函數(shù)關系。由于兩個隨機變量均為較小值時變化敏感，故式(22)能較好地描述具有下尾相關特性的兩個隨機變量之間的相關性。

c. Frank Copula函數(shù),公式為

(23)

式中：符號意義同前述。當θ>0時，u與v為正相關；當θ<0時，u與v為負相關；當θ→0時，u與v相互獨立。由于兩個隨機變量無論較大值還是較小值變化均不敏感，故式(23)難以快速捕捉到兩者相關性的尾部變化。

以上3種常用的Copula函數(shù)中均包含有參數(shù)θ，在數(shù)學上現(xiàn)已研究出了一些確定θ值的途徑和方法，其中以根據(jù)Kendall秩次相關系數(shù)τ與θ之間的關系確定θ值最為常見。對于Archimede型Copula函數(shù)，其參數(shù)θ與Kendall秩相關系數(shù)τ之間的關系列于表1。

表1 Archimede型Copula函數(shù)的參數(shù)θ與Kendall秩相關系數(shù)τ的關系

Copula函數(shù)理論和方法在快速發(fā)展的金融業(yè)刺激下，已有了長足的進展，水文學中使用它僅僅是近十多年來的事。

4 形變函數(shù)理論和方法

早在1923年，Narumi就指出,在估計二維樣本的聯(lián)合分布即二維分布時應當考慮二維分布函數(shù)的兩個最重要的數(shù)字特征：兩個隨機變量的回歸線和條件方差[6]。前者描寫了倚變量條件均值隨另一隨機變化的每個現(xiàn)實的變化；后者可看出倚變量的條件方差隨另一隨機變量的每個現(xiàn)實的變化。嗣后，1934年別倫斯謙、1954年薩爾馬諾夫、1951年可歷克賽也夫[7]分別根據(jù)二維分布這兩個重要數(shù)字特征先后提出了剛性相關、彈性相關和撓曲相關等概念，從而豐富了Narumi的學術思想。

剛性相關是指倚變量的條件均值隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變，而條件均方差則保持不變的相關。這里回歸線可為線性，也可為非線性。剛性相關的兩個隨機變量相關散點圖如圖3所示。彈性相關是指倚變量的條件均值不隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變，為常數(shù)，但倚變量的條件方差卻隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變，并在引進一個變形函數(shù)后則不隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變的相關。彈性相關的兩個隨機變量散點圖如圖4所示。撓曲相關是指雖然倚變量的條件均值和條件均方差隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變，但在引進一個變形函數(shù)后可以使條件均值和條件均方差都不再隨另一個隨機變量的每個現(xiàn)實而變的相關。撓曲相關的兩個隨機變量相關散點圖如圖5所示。不難看出，剛性相關和彈性相關都是撓曲相關的特例。這3種相關雖不能蓋全，但由于抓住了二維分布中條件均值和條件均方差兩個最主要的數(shù)字特征的變化特點，已能適用于許多情況了，因此，若能解決這3種相關的二維分布構建問題，則就能基本上滿足水文學中構建二維分布的需要了。

圖3 剛性相關散點分布

圖4 彈性相關散點分布

圖5 撓曲相關散點分布

利用形變函數(shù)構建兩個隨機變量二維分布的基本思想是；首先根據(jù)兩個隨機變量X與Y的相關散點圖的點據(jù)分布特點識別相關類型；然后將X和Y的現(xiàn)實x和y經由形變函數(shù)變換成新的變量u和v，以達到消除原隨機變量X與Y之間的相關性的目的 。因為兩個新隨機變量U和V相互獨立，故可得U和V的二維密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(u,v)和F(u,v)；最后通過變換再由求得的f(u,v)和F(u,v)分別得到原隨機變量X與Y的二維密度函數(shù)和分布函數(shù)f(x,y)和F(u,v)。

對于剛性相關，通過下列變換就可將原隨機變量X和Y轉變成兩個相互獨立的新隨機變量U和V：

u=x

(24)

(25)

式中：φ(x)為Y倚X的回歸方程；(1-φ(x)/y)為剛性形變函數(shù)。

對于彈性相關，通過下列變換就可將原隨機變量X和Y轉變成兩個相互獨立的新隨機變量U和V

u=x

(26)

v=yλ(x)

(27)

式中：λ(x)為彈性形變函數(shù)。

一般地，對于撓曲相關，則通過變換：

u=x

(28)

(29)

就可將原隨機X和Y轉變成兩個相互獨立的新隨機變量U和V。式(29)中之λ(x)[1-φ(x)/y]稱為撓曲形變函數(shù)。

由上述可知，根據(jù)形變函數(shù)理論構建剛性相關、彈性相關和撓曲相關的二維分布需要解決的問題有：尋找合適的彈性形變函數(shù)、檢驗新隨機變量U和V的獨立性、導出原隨機變量與新隨機變量的二維分布函數(shù)或密度函數(shù)的數(shù)學關系等。尋找合適的形變函數(shù)，至今尚無理論方法，一般只能根據(jù)相關散點圖的點據(jù)分布特點，用經驗試錯法確定。本文僅就后兩個問題做進一步討論。

在概率論中，檢驗兩個隨機變量之間獨立性的最嚴格方法是它們的二維分布函數(shù)等于兩個邊際分布函數(shù)的乘積，或者是它們的二維密度函數(shù)等于兩個邊際密度函數(shù)的乘積。若對兩個具有相關關系的隨機變量X和Y已經獲得了n個二維現(xiàn)實：(x1，x1)、(x2，x2)、(x3，x3)、…、(xn，xn),這n個二維現(xiàn)實實際上就是一個來自其總體的二維樣本。按照數(shù)理統(tǒng)計理論，利用這個二維樣本可以對總體的二維分布函數(shù)和兩個邊際分布作出估計，事實上有F(xi,yi)=P{x≥xi∩y≥yi},F(xi)=P{X≥xi},F(yi)=P{Y≥yi}(i=1,2,…,n)。因此，如果

P{X≥xi∩Y≥yi}=P{X≥xi}·P{Y≥yi}

(30)

那么X與Y將是相互獨立的。圖6是利用式(30)檢驗兩個隨機變量獨立性的一個實例，圖中點據(jù)“×”為原變量的計算結果，點據(jù)“?”則為由形變變函數(shù)轉換成新變量的計算結果。不難看出，對于兩個具有相關性的隨機變量，引入適當?shù)男巫兒瘮?shù)可使它們的相關性減弱，甚至消除，從而使兩個新隨機變量相互獨立。

圖6 獨立性檢驗

為了導出原隨機變量與新隨變量二維分布函數(shù)之間的數(shù)學關系，只需利用重積分知識，即有

(31)

式中：J為雅可比行列式，其計算式為

(32)

例如：對于剛性相關，可以通過式(24)和式(25)表達的變換來使新隨機變量相互獨立的，因此其雅可比行列應為

(33)

這就表明，對于剛性相關，式(31)變?yōu)?/p>

因為已證明U與V相互獨立，故上式變?yōu)?/p>

(34)

同理可得彈性相關和撓曲相關情況下原隨機變量與新隨機變量二維分布函數(shù)之間的數(shù)學關系。

5 在水文學中的應用

在求解眾多的水文學科學和應用問題時，常常會遇到求解邊際分布、條件分布、復雜事件概率、隨機變數(shù)函數(shù)的分布等問題。求邊際分布指的是在具有相關性的兩個變量中，由一個變量X的分布函數(shù)推求另一個變量Y的分布函數(shù)。由概率論知，這個問題可表達為

(35)

求條件分布指的是：在具有相關性的兩個隨機變量中，當其中一個X取現(xiàn)實x時求另一個Y的分布函數(shù)。由概率論知，這個問題可表達為

(36)

求復雜事件概率指的是推求包括有兩個或兩個以上隨機變量的復雜隨機事件的概率。由概率論知，構成復雜事件有“或”和“交”兩種基本類型。因此，若復雜事件僅涉及兩個隨機變量，則其“或”和“交”的概率分別為

P{X≥x∪Y≥y}=P{X≥x}+P{Y≥y}-

P{X≥x∩Y≥y}=Fx(x)+Fy(y)-F(x,y)

(37)

P{X≥x∩Y≥y}=F(x,y)

(38)

求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)指的是，當隨機變量Z是另外一些隨機變量X1、X2、…的函數(shù)即X=g(X1，X2，…)時，通過X1、X2、…的聯(lián)合分布函數(shù)推求Z的分布函數(shù)。由概率論知，有

(39)

若Z僅是兩上隨機變量X和Y的函數(shù)即Z=g(X,Y)，則式(39)變?yōu)?/p>

(40)

式中：Ω為積分域。

由式(35)～(40)容易看出，無論是求邊際分布和條件分布，還是求復雜事件概率和隨機變量函數(shù)的分布，都要涉及二維或多維分布問題。

在水文學中，資料的插補展延屬于求邊際分布問題[6]。概率水文預報屬于求條件分布問題[7]。非一致性樣本頻率分析，有的屬于求復雜事件概率問題，有的則屬于求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)問題。水工程風險率[8]、設計洪水[9-10]、干支流洪水和洪與潮遭遇組合[9,11]、地貌瞬時單位線[12-14]等一般均屬于求隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)問題。因其中大多數(shù)問題可在現(xiàn)有的文獻中找到，故本文僅對二維分布在不一致性樣本頻率分析中的應用作具體討論。

用數(shù)理統(tǒng)計理論和方法確定隨機變量分布函數(shù)的思路，是通過分析樣本的統(tǒng)計規(guī)律來推斷總體的統(tǒng)計規(guī)律。因此前提必然是樣本必須來自同一總體，如果樣本不完全來自同一整體，那么這個樣本就是非一致性樣本，這種不一致性樣本不加區(qū)別地放在一個樣本中顯然是不能反映總體的統(tǒng)計規(guī)律的。從物理成因可知，一個樣本之所以不一致，可能是形成機理上的差異，也可是受到了外因，如人類活動的干擾。由后一個原因導致的樣本不一致性及其改正方法已有許多文獻討論過[15],而由前一個原因導致的樣本不一致性及改正，筆者發(fā)現(xiàn)有一種錯誤的觀點正在流行[16]。這種錯誤觀點認為若樣本中有來自不同總體的兩種信息，則其總體分布函數(shù)F(z)是這兩種信息所對應的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)分別以α和(1-α)為權重的加權平均即F(z)=αF1(x)+(1-α)F2(y)?，F(xiàn)以某站降雨頻率分析為例來說明其錯誤所在。由分析得知該站年最大一日雨量可能出現(xiàn)在梅雨季，也可能出現(xiàn)在臺風季。也就是說，該站年最大一日雨量可能是由梅雨和臺風兩種天氣系統(tǒng)形成的。如果不分形成機理而將所得年最大一日雨量系列作為樣本，那么這個樣本將不具備一致性。在這種情況下，正確的思維應是先分別從梅雨季和臺風季中各選取最大一日雨量樣本，在求得這兩個樣本的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)后，再按式(4)求得該站年最大一日雨量的分布函數(shù)F(z)。因為

{Z≥z}={X≥z∪Y≥z}

所以P{Z≥z}=P{X≥z}+P{Y≥z}-

P{X≥z∩Y≥y}

即F(z)=F1(z)+F2(z)-F(z,z)

(41)

如果欲求該站年降雨量分布函數(shù)，那么由于年降雨量Z為梅雨季雨量X和臺風季雨量Y之和，即Z=X+Y，而梅雨雨量和臺風雨量的形成機理不同，正確的思維應是先分別建立梅雨季雨量樣本和臺風季雨量樣本，在求得這兩個樣本的分布函數(shù)F(x)和F(y)后，再按下式求得年降雨量的分布函數(shù)：

(42)

6 結 語

水文現(xiàn)象是十分復雜的，這不僅表現(xiàn)為其形成機理和時空變化十分復雜，而且表現(xiàn)為變量之間的關系十分復雜。對有些水文問題的解決，一維分布理論和方法已不能適應，而有待引入多維分布理論和方法。多維密度函數(shù)或多維分布函數(shù)是多維變量之間關系的最完整描述。揭示水文現(xiàn)象有關變量之間的關系，尋求多維分布函數(shù)，用于解決有關水文學問題已成為水文學的重要研究內容。

近一個世紀以來，無論是數(shù)學，還是水文學，對二維分布的研究都有了一些進步。在數(shù)學上提出了由兩個邊際分布，通過尋找連結函數(shù)構建二維分布的Copula函數(shù)理論和方法。在水文學上則發(fā)展了根據(jù)兩個隨機變量相關散點圖的特點，通過引入形變函數(shù)構建二維分布的形變函數(shù)理論和方法。這兩種理論和方法，各有千秋，如能深入研究，也許會碰撞出一些新的火花。

迄今為止，二維分布在資料插補展延、概率水文預報、非一致性頻率分析、水工程風險率、設計洪水、干支流洪水及洪與潮遭遇組合、地貌瞬時單位線等水文學問題中得到了應用。筆者將二維分布處理以上問題歸納為三類：一是直接應用二維分布性質，如資料系列插補展延、概率水文預報等問題；二是通過分析事件而應用二維分布，如水工程風險率等問題；三是通過建立功能函數(shù)而應用二維分布，如設計洪水、干支流水和洪與潮遭遇組合、地貌瞬時單位線等。當然也有一些水文學問題涉及以上三類中之二，例如非一致性樣本頻率分析。正確應用二維分布的性質，正確分析事件之關系，以及正確選擇和建立功能函數(shù)，就成為二維分布由理論通向應用的橋梁。

在水文觀測年限不長，水文資料還不夠豐富時，二維分布的使用必然受到很大的限制，因此在半個世紀前談論二維分布在水文學中應用似乎過于超前，但現(xiàn)在面臨的是信息爆炸時代，不失時機地將二維分布的研究提上議事日程，也許是當代水文學者的歷史責任。